1961లో ఎర్డోష్ అడిగారు. జవాబు: సగం, దాదాపు నిశ్చయంగా

ఒక బహుపది యొక్క ప్రతి గుణకానికీ ఒక నాణెం ఎగరేయండి: బొమ్మ పడితే +1, బొరుసు పడితే −1. ఫలితం ఒక యాదృచ్ఛిక లిటిల్‌వుడ్ బహుపది, 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ. n డిగ్రీ ఉన్న ఏ బహుపదిలాగే దీనికీ n మూలాలు ఉంటాయి — సంకీర్ణ తలంలో దాని విలువ సున్నా అయ్యే బిందువులు.

1961లో గణిత శాస్త్రవేత్త ఎర్డోష్ (Erdős) ఆ మూలాలు ఎక్కడికి వెళ్తాయని అడిగారు. మరింత కచ్చితంగా: డిగ్రీ పెరుగుతున్న కొద్దీ, సంవృత ఏకాంక చక్రం — వ్యాసార్ధం 1 ఉన్న వృత్తం, దాని లోపల ఉన్నదంతా — లోపల ఉన్న మూలాల భిన్నం, సంభావ్యత ఒకటితో, సరిగ్గా సగానికి చేరుతుందా? ఈ ప్రశ్న ఎర్డోష్ సమస్యల జాబితాలో సమస్య #522 అయింది. “దాదాపు నిశ్చయంగా” కాకుండా “అధిక సంభావ్యతతో” నిజమయ్యే బలహీనమైన రూపాన్ని ఇంతకుముందే యాకిర్ (Yakir) నిరూపించారు.

ఇప్పుడు MIT కి చెందిన సెబాస్టియన్ కవాడా (Sebastien Kawada) ఎర్డోష్ ప్రశ్నకు జవాబిస్తున్నారు: అవును.

వృత్తాన్ని అంటిపెట్టుకుని

ఈ పత్రం సగం కంటే ఎక్కువే నిరూపిస్తుంది. దాదాపు అన్ని మూలాలూ ఏకాంక వృత్తం చుట్టూ, 1/n స్థాయి దూరంలో ఉన్న ఒక సన్నని పట్టీలో గుమిగూడతాయి. x = n(|z| − 1) అనే చరరాశితో ఆ పట్టీని దగ్గరగా చూస్తే, వ్యాసార్ధం 1 + x/n ఉన్న వృత్తం లోపల ఉన్న మూలాల వాటా ఒకే వక్రరేఖపై స్థిరపడుతుంది:

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

x = 0 వద్ద ఈ వక్రరేఖ సరిగ్గా ½ ఇస్తుంది: ఎర్డోష్‌కు జవాబు. అదే వక్రరేఖ యాదృచ్ఛిక గుణకాల మొత్తం కుటుంబానికి వర్తిస్తుంది — నాణేల ఎగరవేతలు, వృత్తంపై యాదృచ్ఛిక బిందువులు, గౌసియన్ సంఖ్యలు. శీర్షికలోని సార్వత్రిక (universal) భాగం అదే.

వేర్వేరు డిగ్రీల బహుపదులు ఏ విధంగా ఒకదానితో ఒకటి ముడిపడి ఉన్నా ఈ ఫలితం నిలుస్తుంది: ఒక్కో నాణెం ఎగరవేతను జోడిస్తూ నిర్మించినా, లేక ప్రతి డిగ్రీకి పూర్తిగా కొత్తగా తీసినా. నాణేల ఎగరవేతల విషయంలో, చక్రం లోపల ఉన్న మూలాలు n/2 కంటే ఎంత ఎక్కువ ఉన్నాయో ఆ అదనం సుమారు n^(3/4) కంటే తక్కువగానే ఉంటుంది.

సార్వత్రికత ఆగిపోయే చోటు

తర్వాత పత్రం సగం చుట్టూ ఉండే చిన్న హెచ్చుతగ్గులను పరిశీలిస్తుంది. ఇక్కడ గుణకాల పంపిణీ ప్రాముఖ్యం పొందుతుంది. గౌసియన్ గుణకాలకు, అదనం యొక్క విస్తృతి (variance) 0.3059 × n లాగా పెరుగుతుంది. ఇతర సౌష్ఠవ పంపిణీలకు, అది నాల్గవ క్యుములెంట్ (fourth cumulant) అనే రాశిలో పన్నెండో వంతు మేర మారుతుంది — పంపిణీ తోకలు ఎంత బరువుగా ఉన్నాయో ఈ రాశి కొలుస్తుంది. నాణేల ఎగరవేతలకు స్థిరాంకం 0.3059 − 1/6 అవుతుంది. పది లక్షల వరకు డిగ్రీ ఉన్న 16,384 యాదృచ్ఛిక బహుపదులపై చేసిన కంప్యూటర్ ప్రయోగాలు ఈ అంచనాలతో ఏకీభవిస్తాయి.

ఎలా నిరూపించారు

రెండు సాంప్రదాయ సాధనాలు ప్రధాన భారాన్ని మోస్తాయి. జెన్సెన్ సూత్రం ఒక చక్రంలోని మూలాల లెక్కను, ఒక వృత్తం వెంట బహుపది సంవర్గమానం యొక్క సగటుగా మారుస్తుంది; ఆ సగటు చాలా గట్టిగా కేంద్రీకృతమై ఉంటుందని తేలుతుంది. కష్టమైన అడుగు ఏమిటంటే, డిగ్రీల విరళ శ్రేణి నుంచి ఒకేసారి ప్రతి డిగ్రీకీ చేరుకోవడం. హెచ్చుతగ్గుల కోసం, ఆర్గ్యుమెంట్ సూత్రం (argument principle) మూలాల అదనాన్ని ఒక సంజ్ఞాసహిత లెక్కగా మారుస్తుంది: ఏకాంక వృత్తంపై బహుపది గీసే వక్రరేఖ ఒక సరళరేఖను ఎన్నిసార్లు దాటుతుందో అనే లెక్క.

యంత్రంతో సరిచూశారు

82 పేజీల పత్రంలోని ప్రతి ప్రధాన ఫలితమూ Lean 4 నిరూపణ సహాయకంలో లాంఛనప్రాయంగా ధృవీకరించబడింది. సమస్య #522 నిరూపణను Google DeepMind యొక్క Formal Conjectures ప్రాజెక్టులో దాని లాంఛనప్రాయ ప్రకటనకు పరిష్కారంగా అంగీకరించారు, ఒకే ఫైలుతో ఎవరైనా దాన్ని వెబ్ బ్రౌజర్‌లో తిరిగి నడిపి చూడవచ్చు. MIT లోని మనోలిస్ కెల్లిస్ (Manolis Kellis) ల్యాబ్ అంతర్గత AI మోడళ్లు, భాషా మోడళ్లతో సహా, Lean లాంఛనీకరణలో, అనేక ఉత్పాదనలను సరిచూడడంలో సహాయపడ్డాయని రచయిత రాస్తారు; గణిత విధానం మాత్రం తనదేనని రచయిత పేర్కొంటారు.

ఏప్రిల్ 2026లో ఇదే ప్రకటనకు రెండు అలాంఛనప్రాయ వాదనలు ఎర్డోష్ సమస్యల ఫోరంలో ప్రచురించబడ్డాయి. ఈ నిరూపణ, దాని విధానం మౌలికమైనవని, లాంఛనప్రాయంగా ధృవీకరించబడిన మొదటి నిరూపణ ఇదేనని కవాడా చెబుతారు. ప్రశ్న అడిగిన అరవై ఐదు సంవత్సరాల తర్వాత, యంత్రం సరిచూసిన జవాబు ఇది: సగం, దాదాపు నిశ్చయంగా.