ERDŐS LO PREGUNTÓ EN 1961. LA MITAD, CASI SEGURO

Lance una moneda para cada coeficiente de un polinomio: cara da +1, cruz da −1. El resultado es un polinomio de Littlewood aleatorio, 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ. Como cualquier polinomio de grado n, tiene n raíces: puntos del plano complejo donde vale cero.

En 1961, el matemático Erdős se preguntó adónde van esas raíces. Más exactamente: a medida que crece el grado, ¿la fracción de raíces que caen dentro del disco unidad cerrado —el círculo de radio 1 y todo lo que contiene— tiende exactamente a la mitad, con probabilidad uno? La pregunta se convirtió en el Problema n.º 522 de la lista de problemas de Erdős. Una versión más débil, cierta “con alta probabilidad” en lugar de “casi seguro”, ya había sido demostrada por Yakir.

Sebastien Kawada, del MIT, responde ahora a la pregunta de Erdős: sí.

Pegadas al círculo

El artículo demuestra más que la mitad. Casi todas las raíces se apiñan en una banda estrecha alrededor del círculo unidad, a una distancia del orden de 1/n. Si se amplía esa banda con la variable x = n(|z| − 1), la proporción de raíces dentro del círculo de radio 1 + x/n se ajusta a una única curva:

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

En x = 0, la curva da exactamente ½: la respuesta de Erdős. La misma curva vale para toda una familia de coeficientes aleatorios: lanzamientos de moneda, puntos aleatorios sobre un círculo, números gaussianos. Esa es la parte universal del título.

El resultado se mantiene incluso cuando los polinomios de distintos grados están relacionados de cualquier forma: construidos añadiendo un lanzamiento de moneda cada vez o sorteados completamente de nuevo en cada grado. Para los lanzamientos de moneda, el exceso de raíces dentro del disco sobre n/2 se mantiene por debajo de aproximadamente n^(3/4).

Donde termina la universalidad

Después, el artículo estudia las pequeñas fluctuaciones en torno a la mitad. Aquí empieza a importar la ley de los coeficientes. Para coeficientes gaussianos, la varianza del exceso crece como 0,3059 × n. Para otras leyes simétricas, se desplaza en una doceava parte de una cantidad llamada cuarto cumulante, que mide lo pesadas que son las colas de la ley. Para los lanzamientos de moneda, la constante pasa a ser 0,3059 − 1/6. Experimentos por ordenador con 16.384 polinomios aleatorios de grado de hasta un millón concuerdan con estas predicciones.

Cómo se demuestra

Dos herramientas clásicas hacen el trabajo pesado. La fórmula de Jensen convierte un recuento de raíces en un disco en un promedio del logaritmo del polinomio a lo largo de un círculo; resulta que ese promedio está muy concentrado. El paso difícil es pasar de una sucesión dispersa de grados a todos los grados a la vez. Para las fluctuaciones, el principio del argumento convierte el exceso de raíces en un recuento con signo de las veces que una curva, trazada por el polinomio sobre el círculo unidad, cruza una recta.

Verificado por máquina

Todos los resultados principales del artículo, de 82 páginas, están verificados formalmente en el asistente de demostración Lean 4. La demostración del Problema n.º 522 fue aceptada como solución de su enunciado formal en el proyecto Formal Conjectures de Google DeepMind, y un único archivo permite a cualquiera reproducirla en un navegador web. El autor escribe que modelos de IA internos del laboratorio de Manolis Kellis en el MIT, incluidos modelos de lenguaje, ayudaron con la formalización en Lean y con la comprobación de varias deducciones; el autor afirma que el enfoque matemático es suyo.

En abril de 2026 se publicaron en el foro de problemas de Erdős dos argumentos informales para el mismo enunciado. Kawada afirma que esta demostración y su enfoque son originales, y que es la primera verificada formalmente. Sesenta y cinco años después de que se planteara la pregunta, la respuesta comprobada por máquina dice: la mitad, casi seguro.