एर्डोशने 1961 मध्ये विचारले. उत्तर: निम्मे, जवळजवळ निश्चितपणे

बहुपदीच्या प्रत्येक सहगुणकासाठी एक नाणे उडवा: छापा आला तर +1, काटा आला तर −1. यातून मिळते ती यादृच्छिक लिटलवुड बहुपदी, 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ. घात n असलेल्या कोणत्याही बहुपदीप्रमाणे तिलाही n मुळे असतात — संमिश्र प्रतलातील असे बिंदू जिथे तिचे मूल्य शून्य होते.

1961 मध्ये गणितज्ञ एर्डोश (Erdős) याने विचारले की ही मुळे कुठे जातात. अधिक नेमकेपणाने: घात वाढत जातो तसतसे बंद एकक चकतीच्या — त्रिज्या 1 असलेले वर्तुळ आणि त्याच्या आतले सर्व काही — आत असलेल्या मुळांचे प्रमाण संभाव्यता एकसह बरोबर निम्म्याकडे जाते का? हा प्रश्न एर्डोश समस्यांच्या यादीतील समस्या #522 बनला. “जवळजवळ निश्चितपणे” ऐवजी “उच्च संभाव्यतेने” खरी ठरणारी याची एक दुर्बल आवृत्ती आधी याकिर (Yakir) यांनी सिद्ध केली होती.

आता MIT मधील सेबॅस्टियन कावाडा (Sebastien Kawada) एर्डोशच्या प्रश्नाचे उत्तर देतात: होय.

वर्तुळाला बिलगलेली मुळे

हा शोधनिबंध निम्म्यापेक्षा अधिक काही सिद्ध करतो. जवळजवळ सर्व मुळे एकक वर्तुळाभोवतीच्या, 1/n क्रमाच्या अंतरावरील एका पातळ पट्ट्यात गर्दी करतात. x = n(|z| − 1) या चलाने त्या पट्ट्यावर झूम केल्यास, त्रिज्या 1 + x/n असलेल्या वर्तुळाच्या आत असलेल्या मुळांचा वाटा एकाच वक्रावर स्थिरावतो:

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

x = 0 वर हा वक्र बरोबर ½ देतो: एर्डोशचे उत्तर. हाच वक्र यादृच्छिक सहगुणकांच्या एका संपूर्ण कुटुंबासाठी लागू होतो — नाणेफेक, वर्तुळावरील यादृच्छिक बिंदू, गॉसियन संख्या. शीर्षकातील सार्वत्रिक (universal) भाग तो हाच.

वेगवेगळ्या घातांच्या बहुपदी कोणत्याही प्रकारे एकमेकींशी जोडलेल्या असल्या तरीही हा निकाल लागू होतो: एकेक नाणेफेक जोडत बांधलेल्या असोत, किंवा प्रत्येक घातासाठी पूर्णपणे नव्याने काढलेल्या असोत. नाणेफेकीच्या बाबतीत, चकतीच्या आत असलेल्या मुळांची n/2 पेक्षा जास्त असलेली संख्या साधारण n^(3/4) च्या खालीच राहते.

सार्वत्रिकता कुठे थांबते

त्यानंतर शोधनिबंध निम्म्याभोवतीच्या लहान चढ-उतारांकडे पाहतो. इथे सहगुणकांचे वितरण महत्त्वाचे ठरू लागते. गॉसियन सहगुणकांसाठी, जादा मुळांचे प्रचरण (variance) 0.3059 × n प्रमाणे वाढते. इतर सममित वितरणांसाठी ते चौथ्या क्युम्युलंट (fourth cumulant) नावाच्या राशीच्या बाराव्या भागाने बदलते — ही राशी वितरणाची टोके किती जड आहेत हे मोजते. नाणेफेकीसाठी हा स्थिरांक 0.3059 − 1/6 होतो. दहा लाखांपर्यंत घात असलेल्या 16,384 यादृच्छिक बहुपदींवरील संगणकीय प्रयोग या भाकितांशी जुळतात.

सिद्धता कशी केली

दोन अभिजात साधने मुख्य काम करतात. जेन्सनचे सूत्र चकतीतील मुळांच्या मोजणीचे रूपांतर एका वर्तुळावरील बहुपदीच्या लॉगरिदमच्या सरासरीत करते; ही सरासरी अगदी घट्टपणे एकवटलेली असते असे दिसून येते. अवघड पायरी म्हणजे घातांच्या विरळ क्रमापासून एकाच वेळी प्रत्येक घातापर्यंत पोहोचणे. चढ-उतारांसाठी, आर्ग्युमेंट तत्त्व (argument principle) जादा मुळांचे रूपांतर एका चिन्हांकित मोजणीत करते: एकक वर्तुळावर बहुपदीने काढलेला वक्र एखादी रेषा किती वेळा ओलांडतो, याची मोजणी.

यंत्राने तपासलेली

82 पानांच्या शोधनिबंधातील प्रत्येक मुख्य निकाल Lean 4 या सिद्धता-सहाय्यकात औपचारिकपणे पडताळलेला आहे. समस्या #522 ची सिद्धता Google DeepMind च्या Formal Conjectures प्रकल्पात तिच्या औपचारिक विधानाची उकल म्हणून स्वीकारली गेली, आणि एकच फाइल वापरून कोणीही ती वेब ब्राउझरमध्ये पुन्हा चालवून पाहू शकतो. लेखक लिहितात की MIT मधील मॅनोलिस केलिस (Manolis Kellis) यांच्या प्रयोगशाळेच्या अंतर्गत AI मॉडेलनी, भाषा-मॉडेलसह, Lean मधील औपचारिकीकरणात आणि अनेक व्युत्पत्ती तपासण्यात मदत केली; गणितीय दृष्टिकोन मात्र स्वतःचा असल्याचे लेखक नमूद करतात.

एप्रिल 2026 मध्ये याच विधानासाठी दोन अनौपचारिक युक्तिवाद एर्डोश समस्यांच्या मंचावर प्रसिद्ध झाले. कावाडा म्हणतात की ही सिद्धता आणि तिचा दृष्टिकोन मौलिक आहेत, आणि औपचारिकपणे पडताळलेली ही पहिलीच सिद्धता आहे. प्रश्न विचारल्यानंतर पासष्ट वर्षांनी, यंत्राने तपासलेले उत्तर असे आहे: निम्मे, जवळजवळ निश्चितपणे.