ERDŐS HỎI NĂM 1961. MỘT NỬA, GẦN NHƯ CHẮC CHẮN

Tung một đồng xu cho mỗi hệ số của một đa thức: mặt ngửa cho +1, mặt sấp cho −1. Kết quả là một đa thức Littlewood ngẫu nhiên, 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ. Như mọi đa thức bậc n, nó có n nghiệm — những điểm trên mặt phẳng phức mà tại đó nó bằng không.

Năm 1961, nhà toán học Erdős đặt câu hỏi các nghiệm đó đi về đâu. Chính xác hơn: khi bậc tăng lên, tỷ lệ nghiệm nằm trong đĩa đơn vị đóng — đường tròn bán kính 1 cùng mọi thứ bên trong — có tiến tới đúng một nửa với xác suất bằng một không? Câu hỏi trở thành Bài toán #522 trong danh sách các bài toán Erdős. Một phiên bản yếu hơn, đúng “với xác suất cao” thay vì “hầu chắc chắn”, đã được Yakir chứng minh trước đó.

Giờ đây Sebastien Kawada ở MIT trả lời câu hỏi của Erdős: có.

Bám sát đường tròn

Bài báo chứng minh nhiều hơn con số một nửa. Gần như mọi nghiệm đều tụ lại trong một dải mỏng quanh đường tròn đơn vị, ở khoảng cách cỡ 1/n. Phóng to dải đó bằng biến x = n(|z| − 1), tỷ lệ nghiệm nằm trong đường tròn bán kính 1 + x/n sẽ ổn định trên một đường cong duy nhất:

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

Tại x = 0, đường cong cho đúng ½: câu trả lời cho Erdős. Cùng đường cong đó đúng cho cả một họ hệ số ngẫu nhiên — tung đồng xu, điểm ngẫu nhiên trên đường tròn, số Gauss. Đó là phần phổ quát trong tiêu đề.

Kết quả thậm chí vẫn đúng khi các đa thức có bậc khác nhau liên kết với nhau theo bất kỳ cách nào: được dựng bằng cách thêm từng lần tung đồng xu một, hay được rút hoàn toàn mới ở mỗi bậc. Với tung đồng xu, phần dư số nghiệm bên trong đĩa so với n/2 luôn nhỏ hơn khoảng n^(3/4).

Nơi tính phổ quát dừng lại

Sau đó bài báo xem xét những dao động nhỏ quanh con số một nửa. Ở đây, phân phối của các hệ số bắt đầu có ý nghĩa. Với hệ số Gauss, phương sai của phần dư tăng như 0,3059 × n. Với các phân phối đối xứng khác, nó dịch đi một phần mười hai của một đại lượng gọi là tích lũy bậc bốn (fourth cumulant), đại lượng đo độ nặng của phần đuôi phân phối. Với tung đồng xu, hằng số trở thành 0,3059 − 1/6. Các thí nghiệm máy tính trên 16.384 đa thức ngẫu nhiên có bậc lên tới một triệu khớp với những dự đoán này.

Chứng minh như thế nào

Hai công cụ cổ điển gánh phần việc nặng nhất. Công thức Jensen chuyển việc đếm nghiệm trong một đĩa thành trung bình của logarit của đa thức trên một đường tròn; trung bình này hóa ra tập trung rất chặt. Bước khó là đi từ một dãy bậc thưa thớt đến mọi bậc cùng một lúc. Với các dao động, nguyên lý argument chuyển phần dư số nghiệm thành một phép đếm có dấu: số lần một đường cong, do đa thức vẽ ra trên đường tròn đơn vị, cắt qua một đường thẳng.

Được máy kiểm tra

Mọi kết quả chính của bài báo dài 82 trang đều được kiểm chứng hình thức bằng trợ lý chứng minh Lean 4. Chứng minh Bài toán #522 đã được chấp nhận là lời giải cho phát biểu hình thức của nó trong dự án Formal Conjectures của Google DeepMind, và một tệp duy nhất cho phép bất kỳ ai chạy lại nó trong trình duyệt web. Tác giả viết rằng các mô hình AI nội bộ từ phòng thí nghiệm của Manolis Kellis tại MIT, bao gồm cả mô hình ngôn ngữ, đã giúp hình thức hóa trong Lean và kiểm tra một số phép suy dẫn; tác giả khẳng định cách tiếp cận toán học là của riêng mình.

Vào tháng 4 năm 2026, hai lập luận không hình thức cho cùng phát biểu đã được đăng trên diễn đàn các bài toán Erdős. Kawada cho biết chứng minh này và cách tiếp cận của nó là nguyên bản, và đây là chứng minh đầu tiên được kiểm chứng hình thức. Sáu mươi lăm năm sau khi câu hỏi được đặt ra, câu trả lời được máy kiểm tra là: một nửa, gần như chắc chắn.