ERDŐS BERTANYA PADA 1961. SEPARUH, HAMPIR PASTI

Lemparkan koin untuk setiap koefisien sebuah polinomial: gambar memberi +1, angka memberi −1. Hasilnya adalah polinomial Littlewood acak, 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ. Seperti setiap polinomial berderajat n, polinomial ini memiliki n akar — titik-titik pada bidang kompleks tempat nilainya nol.

Pada 1961, matematikawan Erdős bertanya ke mana akar-akar itu pergi. Lebih tepatnya: saat derajatnya membesar, apakah proporsi akar yang terletak di dalam cakram satuan tertutup — lingkaran berjari-jari 1 beserta seluruh isinya — menuju tepat setengah, dengan probabilitas satu? Pertanyaan ini menjadi Masalah #522 dalam daftar masalah Erdős. Versi yang lebih lemah, yang benar “dengan probabilitas tinggi” alih-alih “hampir pasti”, sebelumnya telah dibuktikan oleh Yakir.

Sebastien Kawada dari MIT kini menjawab pertanyaan Erdős: ya.

Menempel pada lingkaran

Makalah ini membuktikan lebih dari sekadar setengah. Hampir semua akar berdesakan dalam pita tipis di sekitar lingkaran satuan, pada jarak berorde 1/n. Perbesar pita itu dengan variabel x = n(|z| − 1), dan proporsi akar di dalam lingkaran berjari-jari 1 + x/n mengikuti satu kurva tunggal:

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

Pada x = 0, kurva ini memberi tepat ½: jawaban untuk Erdős. Kurva yang sama berlaku untuk seluruh keluarga koefisien acak — lemparan koin, titik acak pada lingkaran, bilangan Gauss. Itulah bagian universal dari judulnya.

Hasil ini bahkan tetap berlaku ketika polinomial-polinomial dengan derajat berbeda saling terkait dengan cara apa pun: dibangun dengan menambahkan satu lemparan koin setiap kali, atau diundi ulang sepenuhnya pada setiap derajat. Untuk lemparan koin, kelebihan jumlah akar di dalam cakram dibandingkan n/2 tetap di bawah kira-kira n^(3/4).

Di mana universalitas berhenti

Makalah ini kemudian menelaah fluktuasi kecil di sekitar setengah. Di sini, distribusi koefisien mulai berpengaruh. Untuk koefisien Gauss, variansi kelebihan itu tumbuh seperti 0,3059 × n. Untuk distribusi simetris lainnya, nilainya bergeser sebesar seperdua belas dari suatu besaran yang disebut kumulan keempat, yang mengukur seberapa tebal ekor distribusi itu. Untuk lemparan koin, konstantanya menjadi 0,3059 − 1/6. Eksperimen komputer pada 16.384 polinomial acak berderajat hingga satu juta sesuai dengan prediksi ini.

Bagaimana membuktikannya

Dua alat klasik melakukan pekerjaan beratnya. Rumus Jensen mengubah hitungan akar di dalam sebuah cakram menjadi rata-rata logaritma polinomial di sepanjang sebuah lingkaran; rata-rata itu ternyata sangat terkonsentrasi. Langkah tersulit adalah beralih dari barisan derajat yang jarang ke semua derajat sekaligus. Untuk fluktuasinya, prinsip argumen mengubah kelebihan akar menjadi hitungan bertanda dari seberapa sering sebuah kurva, yang digambar oleh polinomial pada lingkaran satuan, memotong sebuah garis.

Diperiksa oleh mesin

Setiap hasil utama dari makalah setebal 82 halaman ini diverifikasi secara formal dengan asisten pembuktian Lean 4. Bukti Masalah #522 diterima sebagai solusi atas pernyataan formalnya dalam proyek Formal Conjectures milik Google DeepMind, dan satu berkas tunggal memungkinkan siapa pun memutarnya ulang di peramban web. Penulis menuliskan bahwa model-model AI internal dari laboratorium Manolis Kellis di MIT, termasuk model bahasa, membantu formalisasi Lean dan pemeriksaan beberapa penurunan; penulis menyatakan bahwa pendekatan matematisnya adalah miliknya sendiri.

Pada April 2026, dua argumen informal untuk pernyataan yang sama diunggah di forum masalah Erdős. Kawada mengatakan bahwa bukti ini dan pendekatannya orisinal, dan bahwa inilah bukti pertama yang diverifikasi secara formal. Enam puluh lima tahun setelah pertanyaan itu diajukan, jawaban yang diperiksa mesin berbunyi: separuh, hampir pasti.