في أربعة أبعاد، تكفي سبع قطع دائمًا
خذ شكلًا، أي مجموعة محدودة من النقاط، وسمِّ قُطره أكبر مسافة بين نقطتين منه. ثم اقطعه إلى قطع بحيث تكون كل قطعة أضيق تمامًا من الكل. ما أصغر عدد من القطع ينجح دائمًا، أيًّا كان الشكل؟
هذا العدد، في n بُعدًا، يُسمّى عدد بورسوك (Borsuk number) b_n. في عام 1933، سأل بورسوك هل يساوي دائمًا n + 1. ولا يمكن أن يكون أصغر: فرؤوس المِبسَط المنتظم (simplex)، أي المثلث المتساوي الأضلاع في المستوى ورباعي الأوجه المنتظم في الفضاء، تحتاج إلى n + 1 قطعة، لأن المسافة بين أي رأسين منها تساوي قطرًا كاملًا. وn + 1 تكفي في بُعد واحد وفي بُعدين وفي ثلاثة أبعاد. وفي عام 1993، أظهر كان (Kahn) وكالاي (Kalai) أن التخمين يسقط في الأبعاد العالية بما يكفي.
أول حالة مفتوحة
الأبعاد الأربعة هي أول موضع لا يعرف فيه أحد الإجابة. فحدٌّ عام قديم وضعه لاساك (Lassak)، 2ⁿ⁻¹ + 1، يعطي هناك تسع قطع على الأكثر. وفي وقت سابق من عام 2026، خفّضه تولماتشيف (Tolmachev) وفورونوف (Voronov) إلى ثمانٍ، ببناء استعان بالحاسوب.
ويُثبت الآن A. Arman وA. Prymak من جامعة مانيتوبا، وA. Bondarenko من الجامعة النرويجية للعلوم والتكنولوجيا، وD. Radchenko من معهد الدراسات العلمية العليا (Institut des Hautes Études Scientifiques) عبارةً أقوى. كل مجموعة قُطرها 1 في أربعة أبعاد يمكن تغطيتها بسبع كرات، لها جميعًا القطر نفسه، الذي يقل تمامًا عن 0.9999. وكل كرة أضيق من المجموعة، لذا فإن إسناد كل نقطة إلى كرة واحدة يقطع المجموعة إلى سبع قطع أضيق: b₄ ≤ 7. والإجابة تقع الآن في مكان ما بين خمس وسبع.
البدء من أصغر كرة محيطة
يبدأ البرهان من الكرة المحيطة (circumball): أصغر كرة تحتوي المجموعة. وتحدّ مبرهنةٌ كلاسيكية ليونغ (Jung) من حجمها: فنصف قطرها لا يتجاوز نحو 0.63 (ومربعه لا يتجاوز 2/5) لمجموعة قُطرها 1. وتلمس المجموعة سطح الكرة المحيطة، ومن بين النقاط التي تلمسها تكفي خمس على الأكثر لتثبيت الكرة في مكانها، ويسمّيها المؤلفون نقاط تماس. وهي تقيّد موضع بقية المجموعة، إذ لا شيء منها يبعد أكثر من 1 عن أيٍّ منها.
ثم يقسّم المؤلفون المسألة إلى ثلاث حالات، بحسب حجم الكرة المحيطة:
- كرة محيطة صغيرة: سبع كرات في ترتيب ثابت وصريح تغطي الكرة المحيطة بأكملها، أيًّا كانت المجموعة داخلها. ويُبرهَن ذلك يدويًا.
- كرة محيطة كبيرة: هناك خمس نقاط تماس. خمس كرات، مركز كلٍّ منها عند 9/20 من المسافة بين المركز وإحدى نقاط التماس، تغطي كل شيء تقريبًا؛ وكرتان إضافيتان تغطيان ما تبقّى، وهما منطقتان على شكل مخروط. ويُبرهَن ذلك يدويًا أيضًا.
- بين هذا وذاك: ثلاث نقاط تماس تشكّل مثلثًا حادّ الزوايا تختزل كل مجموعة ممكنة إلى عائلة من الأشكال توصف بـأربعة أعداد فقط. وهنا يأتي دور الحاسوب.
23,494 صندوقًا، بلا تقريب
تملأ الأعداد الأربعة مكعبًا رباعي الأبعاد من الاحتمالات. ولكل صندوق صغير من هذا المكعب، يقترح بحثٌ عددي سبعة مراكز. ثم يتحقّق اختبار دقيق من أن الكرات السبع نفسها تغطي كل شكل في الصندوق.
والحيلة من كلاسيكيات الهندسة الحاسوبية: إضافة إحداثي خامس يساوي مربع المسافة عن نقطة الأصل تحوّل «داخل هذه الكرة» و«خارج تلك الكرة» إلى متباينات خطية. فيصبح السؤال هو هل يقع متعدد سطوح (polytope)، أي شكل ذو أوجه مستوية، تقتطعه اثنتا عشرة متباينة من هذا النوع بكامله فوق وعاء منحنٍ، ولهذا الغرض يكفي التحقق من رؤوسه. ويفحص البرنامج جميع الرؤوس المرشّحة البالغة 792، مستخدمًا الأعداد الصحيحة والكسور الدقيقة وحدها، دون أي هامش تسامح عددي.
وحين يفشل صندوق، يُقطع إلى نصفين ويُعاد اختبار كلا النصفين. وفي النهاية، قُطّع المكعب إلى 23,494 صندوقًا، حتى 29 مستوى من التنصيف، ونجحت كلها. ومجموع أحجامها يساوي 1 بالضبط: لم يُترك شيء. والبيانات وبرنامج التحقق متاحة للعموم. ويشير المؤلفون إلى أن البرنامج يستخدم حسابًا دقيقًا لكنه ليس برهانًا صوريًا تحقّق منه مساعد برهان (proof assistant).
كيف جاءت الفكرة
يتحدث المؤلفون بصراحة عن الطريق الذي أوصلهم إلى هنا. فنسخة سابقة من عملهم لم تبلغ إلا ثمانيًا، واحتاجت إلى حسابات أكثر بكثير؛ ولم تساعد النماذج اللغوية آنذاك إلا في كتابة الشيفرة. ثم استكشفوا المسألة لاحقًا مع ChatGPT Astra، باحثين أولًا عن حجج تحليلية خالصة. وقاد ذلك الاستكشاف إلى المقاربة المبنية على الكرة المحيطة، التي قلّصت البحث الحاسوبي تقليصًا كبيرًا. واستخدموا ChatGPT أيضًا في كتابة الشيفرة والتحرير، وتحقّقوا بأنفسهم من كل حجة رياضية ومن شيفرة التحقق.
أما تخمين بورسوك نفسه للأبعاد الأربعة، أي خمس قطع، فلا يزال لم يُبرهَن ولم يُدحَض. وتفصل بينه وبين الحد الجديد خطوتان.