TRONG BỐN CHIỀU, BẢY MẢNH LUÔN LÀ ĐỦ

Lấy một hình — bất kỳ tập hợp điểm bị chặn nào — và gọi đường kính của nó là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm của nó. Giờ hãy cắt nó thành các mảnh sao cho mỗi mảnh đều hẹp hơn hẳn tổng thể. Số mảnh nhỏ nhất luôn đủ, dù hình là gì, là bao nhiêu?

Con số đó, trong n chiều, được gọi là số Borsuk b_n. Năm 1933, Borsuk đặt câu hỏi liệu nó có luôn bằng n + 1 hay không. Nó không thể nhỏ hơn: các đỉnh của một đơn hình đều — một tam giác đều trong mặt phẳng, một tứ diện đều trong không gian — cần n + 1 mảnh, vì hai đỉnh bất kỳ đều cách nhau đúng một đường kính. Và n + 1 là đủ trong một, hai và ba chiều. Năm 1993, Kahn và Kalai chỉ ra rằng phỏng đoán này sai ở những chiều đủ cao.

Trường hợp mở đầu tiên

Bốn chiều là nơi đầu tiên mà chưa ai biết câu trả lời. Một cận tổng quát cũ của Lassak, 2ⁿ⁻¹ + 1, cho tối đa chín mảnh ở đó. Đầu năm 2026, Tolmachev và Voronov đã hạ nó xuống tám, với một cách dựng có sự hỗ trợ của máy tính.

A. Arman và A. Prymak thuộc Đại học Manitoba, A. Bondarenko thuộc Đại học Khoa học và Công nghệ Na Uy và D. Radchenko thuộc Institut des Hautes Études Scientifiques giờ đây chứng minh một mệnh đề mạnh hơn. Mọi tập hợp có đường kính 1 trong bốn chiều đều có thể được phủ bởi bảy quả cầu, tất cả có cùng đường kính, nhỏ hẳn hơn 0,9999. Mỗi quả cầu hẹp hơn tập hợp, nên việc gán mỗi điểm cho một quả cầu sẽ cắt tập hợp thành bảy mảnh hẹp hơn: b₄ ≤ 7. Câu trả lời giờ nằm đâu đó giữa năm và bảy.

Bắt đầu từ quả cầu bao nhỏ nhất

Chứng minh bắt đầu với quả cầu ngoại tiếp (circumball): quả cầu nhỏ nhất chứa tập hợp. Một định lý cổ điển của Jung giới hạn độ lớn của nó — bán kính của nó tối đa khoảng 0,63 (bình phương của nó tối đa là 2/5) với một tập hợp có đường kính 1. Tập hợp chạm vào bề mặt của quả cầu ngoại tiếp, và trong số những điểm chạm đó, nhiều nhất năm điểm là đủ để giữ cố định quả cầu; các tác giả gọi chúng là điểm tiếp xúc. Những điểm này ràng buộc vị trí mà phần còn lại của tập hợp có thể nằm, vì không có gì nằm cách bất kỳ điểm nào trong số chúng quá 1.

Các tác giả sau đó chia bài toán thành ba trường hợp, theo kích thước của quả cầu ngoại tiếp:

• Quả cầu ngoại tiếp nhỏ: bảy quả cầu theo một cách sắp xếp cố định, tường minh, phủ toàn bộ quả cầu ngoại tiếp, dù tập hợp bên trong là gì. Điều này được chứng minh bằng tay.
• Quả cầu ngoại tiếp lớn: có năm điểm tiếp xúc. Năm quả cầu, mỗi quả có tâm nằm ở 9/20 quãng đường từ tâm đến một điểm tiếp xúc, phủ gần như mọi thứ; hai quả cầu nữa phủ phần còn lại, hai vùng hình nón. Cũng được chứng minh bằng tay.
• Ở giữa: ba điểm tiếp xúc tạo thành một tam giác nhọn đưa mọi tập hợp có thể về một họ các hình được mô tả chỉ bằng bốn con số. Đó là lúc máy tính vào cuộc.

23.494 hộp, không làm tròn

Bốn con số này lấp đầy một khối lập phương bốn chiều các khả năng. Với mỗi hộp nhỏ của khối lập phương đó, một phép tìm kiếm số đề xuất bảy tâm. Rồi một phép kiểm tra chính xác xác nhận rằng cùng bảy quả cầu đó phủ mọi hình trong hộp.

Mẹo ở đây là một kỹ thuật kinh điển của hình học tính toán: thêm một tọa độ thứ năm bằng bình phương khoảng cách tới gốc tọa độ sẽ biến “bên trong quả cầu này” và “bên ngoài quả cầu kia” thành các bất đẳng thức tuyến tính. Câu hỏi trở thành liệu một khối đa diện (polytope, một hình có các mặt phẳng) được cắt ra bởi mười hai bất đẳng thức như vậy có nằm hoàn toàn phía trên một cái bát cong hay không — và để biết điều đó, chỉ cần kiểm tra các đỉnh của nó. Chương trình xem xét toàn bộ 792 đỉnh ứng viên, chỉ dùng số nguyên và phân số chính xác, không có dung sai số nào.

Khi một hộp không đạt, nó được cắt đôi và cả hai nửa được thử lại. Cuối cùng, khối lập phương được cắt thành 23.494 hộp, qua tới 29 cấp chia đôi, và hộp nào cũng đạt. Tổng thể tích của chúng đúng bằng 1: không có gì bị bỏ sót. Dữ liệu và chương trình kiểm chứng được công khai. Các tác giả lưu ý rằng chương trình dùng số học chính xác nhưng không phải là một chứng minh hình thức được kiểm tra bởi một trợ lý chứng minh (proof assistant).

Ý tưởng đã đến như thế nào

Các tác giả thẳng thắn về con đường đưa họ đến đó. Một phiên bản trước của công trình chỉ đạt tới tám, và cần nhiều tính toán hơn hẳn; khi đó các mô hình ngôn ngữ chỉ giúp với phần mã. Sau đó họ khám phá bài toán với ChatGPT Astra, ban đầu tìm kiếm những lập luận thuần túy giải tích. Cuộc khám phá đó dẫn tới hướng tiếp cận xây dựng trên quả cầu ngoại tiếp, giúp thu hẹp đáng kể việc tìm kiếm bằng máy tính. Họ cũng dùng ChatGPT để viết mã và biên tập, và tự mình kiểm tra mọi lập luận toán học cũng như mã kiểm chứng.

Phỏng đoán của chính Borsuk cho bốn chiều, năm mảnh, vẫn chưa được chứng minh mà cũng chưa bị bác bỏ. Hai bước còn ngăn cách cận mới với nó.