DÖRT BOYUTTA YEDİ PARÇA HER ZAMAN YETİYOR

Bir şekil alın — herhangi bir sınırlı nokta kümesi — ve iki noktası arasındaki en büyük uzaklığa onun çapı deyin. Şimdi onu, her parça bütünden kesinlikle daha dar olacak biçimde parçalara kesin. Şekil ne olursa olsun her zaman işe yarayan en küçük parça sayısı nedir?

n boyutta bu sayıya Borsuk sayısı b_n denir. Borsuk 1933’te bunun her zaman n + 1’e eşit olup olmadığını sordu. Daha küçük olamaz: düzgün bir simpleksin köşeleri — düzlemde bir eşkenar üçgen, uzayda bir düzgün dörtyüzlü — n + 1 parça gerektirir, çünkü herhangi iki köşe arasında tam bir çap uzaklığı vardır. Ve n + 1, bir, iki ve üç boyutta yeterlidir. Kahn ve Kalai 1993’te tahminin yeterince yüksek boyutlarda çöktüğünü gösterdi.

İlk açık durum

Dört boyut, kimsenin yanıtı bilmediği ilk yer. Lassak’ın eski bir genel sınırı, 2ⁿ⁻¹ + 1, orada en fazla dokuz parça veriyor. 2026’nın başlarında Tolmachev ve Voronov, bilgisayar destekli bir yapıyla bunu sekize indirdi.

University of Manitoba’dan A. Arman ve A. Prymak, Norwegian University of Science and Technology’den A. Bondarenko ve Institut des Hautes Études Scientifiques’ten D. Radchenko şimdi daha güçlü bir önermeyi kanıtlıyor. Dört boyutta çapı 1 olan her küme, hepsi aynı çapa sahip ve bu çap kesinlikle 0,9999’dan küçük olan yedi yuvarla örtülebilir. Her yuvar kümeden daha dar olduğundan, her noktayı bir yuvara atamak kümeyi yedi daha dar parçaya keser: b₄ ≤ 7. Yanıt artık beş ile yedi arasında bir yerde.

Çevreleyen en küçük yuvardan başlamak

Kanıt çevrel yuvarla (circumball) başlıyor: kümeyi içeren en küçük yuvar. Jung’un klasik bir teoremi bunun ne kadar büyük olabileceğini sınırlıyor — çapı 1 olan bir küme için yarıçapı en fazla yaklaşık 0,63 (karesi en fazla 2/5). Küme, çevrel yuvarın yüzeyine dokunuyor ve bu değme noktalarından en fazla beşi yuvarı yerinde sabitlemeye yetiyor; yazarlar bunlara temas noktaları diyor. Bu noktalar kümenin geri kalanının nerede olabileceğini kısıtlıyor, çünkü hiçbir şey bunların herhangi birinden 1’den daha uzakta değil.

Yazarlar ardından sorunu, çevrel yuvarın büyüklüğüne göre üç duruma ayırıyor:

• Küçük çevrel yuvar: sabit, açık bir düzende yerleştirilmiş yedi yuvar, içindeki küme ne olursa olsun çevrel yuvarın tamamını örtüyor. Bu elle kanıtlanıyor.
• Büyük çevrel yuvar: beş temas noktası var. Her birinin merkezi, merkezden bir temas noktasına giden yolun 9/20’sinde bulunan beş yuvar neredeyse her şeyi örtüyor; iki yuvar daha geriye kalanı, koni biçimli iki bölgeyi örtüyor. Bu da elle kanıtlanıyor.
• Arada kalan: dar açılı bir üçgen oluşturan üç temas noktası, olası her kümeyi yalnızca dört sayıyla tanımlanan bir şekiller ailesine indirgiyor. Bilgisayar işte burada devreye giriyor.

23.494 kutu, hiç yuvarlama yok

Dört sayı, dört boyutlu bir olasılıklar küpünü dolduruyor. Bu küpün her küçük kutusu için sayısal bir arama yedi merkez öneriyor. Ardından kesin bir test, aynı yedi yuvarın kutudaki her şekli örttüğünü denetliyor.

Kullanılan hile hesaplamalı geometrinin bir klasiği: başlangıç noktasına olan uzaklığın karesine eşit beşinci bir koordinat eklemek, “bu yuvarın içinde” ve “şu yuvarın dışında” ifadelerini doğrusal eşitsizliklere dönüştürüyor. Soru, bu türden on iki eşitsizlikle kesilip çıkarılan bir politopun — düz yüzlü bir biçimin — eğri bir çanağın tamamen üstünde durup durmadığına dönüşüyor — bunun için de köşelerini denetlemek yetiyor. Program 792 aday köşenin hepsini, yalnızca tam sayılar ve kesin kesirler kullanarak, hiçbir sayısal tolerans olmadan inceliyor.

Bir kutu başarısız olduğunda ikiye kesiliyor ve iki yarı yeniden deneniyor. Sonunda küp, 29 yarılama düzeyine kadar inilerek 23.494 kutuya kesildi ve hepsi geçti. Hacimlerinin toplamı tam olarak 1: dışarıda hiçbir şey kalmıyor. Veriler ve doğrulama programı herkese açık. Yazarlar, programın kesin aritmetik kullandığını ama bir ispat asistanıyla (proof assistant) denetlenmiş biçimsel bir kanıt olmadığını belirtiyor.

Fikir nasıl geldi

Yazarlar oraya nasıl vardıklarını açıkça anlatıyor. Çalışmalarının daha önceki bir sürümü yalnızca sekize ulaşıyordu ve çok daha fazla hesaplama gerektiriyordu; dil modelleri o zaman yalnızca kodda yardımcı olmuştu. Daha sonra sorunu ChatGPT Astra ile keşfettiler, önce tamamen analitik argümanlar aradılar. Bu keşif, bilgisayar aramasını önemli ölçüde küçülten, çevrel yuvar üzerine kurulu yaklaşıma götürdü. Ayrıca kodlama ve düzenleme için ChatGPT kullandılar; her matematiksel argümanı ve doğrulama kodunu kendileri denetlediler.

Borsuk’un dört boyut için kendi tahmini, beş parça, ne kanıtlandı ne de çürütüldü. Yeni sınırı ondan iki adım ayırıyor.