EN DIMENSION 4, SEPT MORCEAUX SUFFISENT TOUJOURS

Prenez une forme — n’importe quel ensemble borné de points — et appelez diamètre la plus grande distance entre deux de ses points. Découpez-la maintenant en morceaux de sorte que chacun soit strictement plus étroit que le tout. Quel est le plus petit nombre de morceaux qui marche toujours, quelle que soit la forme ?

Ce nombre, en dimension n, s’appelle le nombre de Borsuk b_n. En 1933, Borsuk a demandé s’il valait toujours n + 1. Il ne peut pas être plus petit : les sommets d’un simplexe régulier — un triangle équilatéral dans le plan, un tétraèdre régulier dans l’espace — exigent n + 1 morceaux, puisque deux sommets quelconques sont à une pleine distance de diamètre l’un de l’autre. Et n + 1 suffit en dimensions un, deux et trois. En 1993, Kahn et Kalai ont montré que le pari échoue en dimension assez grande.

Le premier cas ouvert

La dimension 4 est le premier endroit où personne ne connaît la réponse. Une vieille borne générale de Lassak, 2ⁿ⁻¹ + 1, y donne au plus neuf morceaux. Plus tôt en 2026, Tolmachev et Voronov l’ont abaissée à huit, grâce à une construction assistée par ordinateur.

A. Arman et A. Prymak, de l’université du Manitoba, A. Bondarenko, de l’Université norvégienne de sciences et de technologie, et D. Radchenko, de l’Institut des hautes études scientifiques, démontrent maintenant un énoncé plus fort. Tout ensemble de diamètre 1 en dimension 4 peut être recouvert par sept boules, toutes de même diamètre, strictement inférieur à 0,9999. Chaque boule est plus étroite que l’ensemble ; en attribuant chaque point à une boule, on découpe donc l’ensemble en sept morceaux plus étroits : b₄ ≤ 7. La réponse se trouve désormais entre cinq et sept.

Partir de la plus petite boule englobante

La preuve commence par la boule circonscrite : la plus petite boule qui contient l’ensemble. Un théorème classique de Jung limite sa taille — son rayon vaut au plus environ 0,63 (son carré au plus 2/5) pour un ensemble de diamètre 1. L’ensemble touche la surface de cette boule ; parmi ces points, cinq au plus suffisent à la maintenir en place, et les auteurs les appellent points de contact. Ils contraignent l’emplacement du reste de l’ensemble, puisque rien n’en est éloigné de plus de 1.

Les auteurs découpent alors le problème en trois cas, selon la taille de la boule circonscrite :

• Petite boule : sept boules disposées selon un schéma fixe et explicite recouvrent toute la boule circonscrite, quel que soit l’ensemble qu’elle contient. Démontré à la main.
• Grande boule : il y a cinq points de contact. Cinq boules, chacune centrée aux 9/20 du chemin entre le centre et un point de contact, couvrent presque tout ; deux boules de plus couvrent le reste, deux régions en forme de cône. Démontré à la main aussi.
• Entre les deux : trois points de contact formant un triangle aux angles aigus ramènent tous les ensembles possibles à une famille de formes décrites par seulement quatre nombres. C’est là qu’intervient l’ordinateur.

23 494 boîtes, sans arrondi

Les quatre nombres remplissent un cube à quatre dimensions de possibilités. Pour chaque petite boîte de ce cube, une recherche numérique propose sept centres. Puis un test exact vérifie que les mêmes sept boules couvrent toutes les formes de la boîte.

L’astuce est un classique de la géométrie algorithmique : ajouter une cinquième coordonnée égale au carré de la distance à l’origine transforme « dans cette boule » et « hors de cette boule » en inégalités du premier degré. La question devient : un polytope — une forme à faces planes — découpé par douze de ces inégalités se trouve-t-il tout entier au-dessus d’une cuvette courbe ? Et pour cela, il suffit de vérifier ses sommets. Le programme examine les 792 sommets candidats, avec uniquement des nombres entiers et des fractions exactes, sans aucune tolérance numérique.

Quand une boîte échoue, on la coupe en deux et on reprend les deux moitiés. Au bout du compte, le cube a été découpé en 23 494 boîtes, jusqu’à 29 niveaux de découpe, et toutes ont passé le test. Leurs volumes totalisent exactement 1 : rien n’est oublié. Les données et le programme de vérification sont publics. Les auteurs précisent que ce programme calcule en arithmétique exacte, mais n’est pas une preuve formelle vérifiée par un assistant de preuve.

D’où est venue l’idée

Les auteurs racontent ouvertement leur chemin. Une version antérieure de leur travail n’atteignait que huit et demandait bien plus de calcul ; les modèles de langage n’y servaient qu’à écrire du code. Ils ont ensuite exploré le problème avec ChatGPT Astra, en cherchant d’abord des arguments purement analytiques. Cette exploration a mené à l’approche fondée sur la boule circonscrite, qui a fortement réduit la recherche par ordinateur. Ils ont aussi utilisé ChatGPT pour le code et la rédaction, et ont vérifié eux-mêmes chaque argument mathématique et le programme de vérification.

Le pari de Borsuk pour la dimension 4, cinq morceaux, n’est ni démontré ni réfuté. Deux marches séparent encore la nouvelle borne de lui.