EM QUATRO DIMENSÕES, SETE PEDAÇOS SEMPRE BASTAM

Pegue uma forma — qualquer conjunto limitado de pontos — e chame de seu diâmetro a maior distância entre dois de seus pontos. Agora corte-a em pedaços de modo que cada pedaço seja estritamente mais estreito que o todo. Qual é o menor número de pedaços que sempre funciona, qualquer que seja a forma?

Esse número, em n dimensões, chama-se número de Borsuk b_n. Em 1933, Borsuk perguntou se ele é sempre igual a n + 1. Não pode ser menor: os vértices de um simplex regular — um triângulo equilátero no plano, um tetraedro regular no espaço — exigem n + 1 pedaços, já que quaisquer dois vértices estão a um diâmetro inteiro de distância. E n + 1 basta em uma, duas e três dimensões. Em 1993, Kahn e Kalai mostraram que o palpite falha em dimensões suficientemente altas.

O primeiro caso em aberto

Quatro dimensões é o primeiro lugar onde ninguém sabe a resposta. Um antigo limite geral de Lassak, 2ⁿ⁻¹ + 1, dá ali no máximo nove pedaços. No início de 2026, Tolmachev e Voronov o reduziram para oito, com uma construção assistida por computador.

A. Arman e A. Prymak, da Universidade de Manitoba, A. Bondarenko, da Universidade Norueguesa de Ciência e Tecnologia, e D. Radchenko, do Institut des Hautes Études Scientifiques, demonstram agora um enunciado mais forte. Todo conjunto de diâmetro 1 em quatro dimensões pode ser coberto por sete bolas, todas com o mesmo diâmetro, estritamente menor que 0,9999. Cada bola é mais estreita que o conjunto; assim, atribuir cada ponto a uma bola corta o conjunto em sete pedaços mais estreitos: b₄ ≤ 7. A resposta agora está em algum lugar entre cinco e sete.

Partir da menor bola que envolve o conjunto

A demonstração começa pela bola circunscrita: a menor bola que contém o conjunto. Um teorema clássico de Jung limita seu tamanho — seu raio é no máximo de cerca de 0,63 (seu quadrado, no máximo 2/5) para um conjunto de diâmetro 1. O conjunto toca a superfície da bola circunscrita, e entre os pontos onde a toca bastam no máximo cinco para fixar a bola no lugar; os autores os chamam de pontos de contato. Eles restringem onde o resto do conjunto pode estar, já que nada fica a mais de 1 de distância de qualquer um deles.

Os autores dividem então o problema em três casos, segundo o tamanho da bola circunscrita:

• Bola circunscrita pequena: sete bolas num arranjo fixo e explícito cobrem toda a bola circunscrita, qualquer que seja o conjunto dentro dela. Isso é demonstrado à mão.
• Bola circunscrita grande: há cinco pontos de contato. Cinco bolas, cada uma centrada a 9/20 do caminho entre o centro e um ponto de contato, cobrem quase tudo; mais duas bolas cobrem o que resta, duas regiões em forma de cone. Também demonstrado à mão.
• Entre os dois: três pontos de contato formando um triângulo acutângulo reduzem todo conjunto possível a uma família de formas descrita por apenas quatro números. É aí que entra o computador.

23.494 caixas, sem arredondamento

Os quatro números preenchem um cubo de possibilidades em quatro dimensões. Para cada pequena caixa desse cubo, uma busca numérica propõe sete centros. Em seguida, um teste exato verifica que as mesmas sete bolas cobrem todas as formas da caixa.

O truque é um clássico da geometria computacional: acrescentar uma quinta coordenada igual ao quadrado da distância à origem transforma “dentro desta bola” e “fora daquela bola” em desigualdades lineares. A questão passa a ser se um politopo — uma forma de faces planas — delimitado por doze dessas desigualdades fica inteiramente acima de uma tigela curva — e, para isso, basta verificar seus vértices. O programa examina todos os 792 vértices candidatos, usando apenas números inteiros e frações exatas, sem nenhuma tolerância numérica.

Quando uma caixa falha, ela é cortada em duas e as duas metades são testadas de novo. No fim, o cubo foi cortado em 23.494 caixas, com até 29 níveis de divisão ao meio, e todas passaram. Seus volumes somam exatamente 1: nada fica de fora. Os dados e o programa de verificação são públicos. Os autores observam que o programa usa aritmética exata, mas não é uma prova formal verificada por um assistente de provas.

Como a ideia surgiu

Os autores são francos sobre o caminho que os levou até lá. Uma versão anterior do trabalho só chegava a oito e exigia muito mais cálculo; os modelos de linguagem então ajudavam apenas com o código. Mais tarde, eles exploraram o problema com o ChatGPT Astra, buscando primeiro argumentos puramente analíticos. Essa exploração levou à abordagem baseada na bola circunscrita, que reduziu consideravelmente a busca por computador. Eles também usaram o ChatGPT para programação e revisão de texto, e verificaram eles mesmos cada argumento matemático e o código de verificação.

O próprio palpite de Borsuk para quatro dimensões, cinco pedaços, continua sem ter sido demonstrado nem refutado. Dois passos separam dele o novo limite.