KATIKA VIPIMO VINNE, VIPANDE SABA HUTOSHA KILA MARA

Chukua umbo — seti yoyote ya nukta yenye mipaka — na uite kipenyo chake umbali mkubwa zaidi kati ya nukta zake mbili. Sasa likate vipande ili kila kipande kiwe chembamba zaidi kuliko umbo zima, kikamilifu. Ni idadi gani ndogo zaidi ya vipande inayofanya kazi kila mara, liwe umbo lolote?

Idadi hiyo, katika vipimo n, inaitwa namba ya Borsuk (Borsuk number) b_n. Mwaka 1933, Borsuk aliuliza kama daima ni sawa na n + 1. Haiwezi kuwa ndogo zaidi: pembe za simpleksi ya kawaida (regular simplex) — pembetatu sawa pande katika bapa, tetrahedroni ya kawaida katika nafasi — zinahitaji vipande n + 1, kwa kuwa pembe zozote mbili zimeachana kwa kipenyo kizima. Na n + 1 hutosha katika kipimo kimoja, viwili na vitatu. Mwaka 1993, Kahn na Kalai walionyesha kwamba dhana hiyo inashindwa katika vipimo vingi vya kutosha.

Hali ya kwanza ambayo haijatatuliwa

Vipimo vinne ndipo mahali pa kwanza ambapo hakuna anayejua jibu. Kikomo cha zamani cha jumla cha Lassak, 2ⁿ⁻¹ + 1, kinatoa vipande tisa kwa zaidi hapo. Mapema mwaka 2026, Tolmachev na Voronov walikishusha hadi vinane, kwa ujenzi uliosaidiwa na kompyuta.

A. Arman na A. Prymak wa University of Manitoba, A. Bondarenko wa Norwegian University of Science and Technology na D. Radchenko wa Institut des Hautes Études Scientifiques sasa wanathibitisha kauli yenye nguvu zaidi. Kila seti yenye kipenyo 1 katika vipimo vinne inaweza kufunikwa na tufe saba, zote zenye kipenyo kilekile, kilicho chini kikamilifu ya 0.9999. Kila tufe ni nyembamba kuliko seti, kwa hiyo kuipa kila nukta tufe moja kunaikata seti kuwa vipande saba vyembamba zaidi: b₄ ≤ 7. Jibu sasa liko mahali fulani kati ya tano na saba.

Kuanza na tufe ndogo zaidi inayozunguka

Uthibitisho unaanza na tufe-zingira (circumball): tufe ndogo zaidi inayoibeba seti. Nadharia ya kale ya Jung inaweka kikomo cha ukubwa wake — nusu-kipenyo chake ni takriban 0.63 kwa zaidi (mraba wake ni 2/5 kwa zaidi) kwa seti yenye kipenyo 1. Seti inagusa uso wa tufe-zingira, na kati ya nukta hizo za kugusa, tano kwa zaidi zinatosha kuishikilia tufe mahali pake; waandishi wanaziita nukta za mguso. Nukta hizo zinabana mahali ambapo sehemu iliyobaki ya seti inaweza kuwa, kwa kuwa hakuna kitu kilicho mbali zaidi ya 1 kutoka yoyote kati yake.

Kisha waandishi wanaligawa tatizo katika hali tatu, kulingana na ukubwa wa tufe-zingira:

Tufe-zingira ndogo: tufe saba katika mpangilio maalum, ulio wazi, zinafunika tufe-zingira yote, iwe seti yoyote ndani yake. Hili linathibitishwa kwa mkono.
Tufe-zingira kubwa: kuna nukta tano za mguso. Tufe tano, kila moja ikiwa na kitovu chake katika 9/20 ya njia kutoka kitovu hadi nukta moja ya mguso, zinafunika karibu kila kitu; tufe mbili zaidi zinafunika kilichobaki, maeneo mawili yenye umbo la koni. Hili pia linathibitishwa kwa mkono.
Katikati: nukta tatu za mguso zinazounda pembetatu ya pembe kali zinapunguza kila seti inayowezekana kuwa familia ya maumbo yanayoelezwa na namba nne tu. Hapo ndipo kompyuta inapoingia.

Visanduku 23,494, bila kukadiria

Namba hizo nne zinajaza mchemraba wa vipimo vinne wa uwezekano. Kwa kila kisanduku kidogo cha mchemraba huo, utafutaji wa kinamba unapendekeza vitovu saba. Kisha jaribio kamili linakagua kwamba tufe hizohizo saba zinafunika kila umbo ndani ya kisanduku.

Mbinu hiyo ni ya kawaida katika jiometri ya kikokotozi: kuongeza kiratibu cha tano kilicho sawa na mraba wa umbali kutoka asili kunageuza “ndani ya tufe hii” na “nje ya tufe ile” kuwa milinganyo isiyo sawa bapa (linear). Swali linakuwa kama politopu (polytope, umbo lenye nyuso bapa) inayokatwa na milinganyo isiyo sawa kumi na miwili ya aina hiyo iko kabisa juu ya bakuli lililopinda — na kwa hilo, inatosha kukagua pembe zake. Programu inachunguza pembe zote 792 zinazowezekana, ikitumia namba kamili na sehemu kamili tu, bila uvumilivu wowote wa kinamba.

Kisanduku kinaposhindwa, kinakatwa sehemu mbili na nusu zote mbili zinajaribiwa tena. Mwishowe, mchemraba ulikatwa kuwa visanduku 23,494, hadi ngazi 29 za kugawa nusu, na kila kimoja kilifaulu. Ujazo wao unajumlika kuwa 1 kamili: hakuna kilichoachwa nje. Data na programu ya uhakiki ziko wazi kwa umma. Waandishi wanabainisha kwamba programu inatumia hesabu kamili lakini si uthibitisho rasmi uliokaguliwa na msaidizi wa uthibitisho (proof assistant).

Jinsi wazo lilivyokuja

Waandishi wako wazi kuhusu jinsi walivyofika hapo. Toleo la awali la kazi yao lilifika vinane tu, na lilihitaji ukokotozi mwingi zaidi; wakati huo modeli za lugha zilisaidia na msimbo tu. Baadaye walichunguza tatizo kwa kutumia ChatGPT Astra, mwanzoni wakitafuta hoja za kiuchanganuzi tupu. Uchunguzi huo ulielekeza kwenye mbinu inayojengwa juu ya tufe-zingira, iliyopunguza utafutaji wa kompyuta kwa kiasi kikubwa. Pia walitumia ChatGPT kwa kuandika msimbo na kuhariri, na walikagua kila hoja ya kihisabati na msimbo wa uhakiki wenyewe.

Dhana ya Borsuk mwenyewe kwa vipimo vinne, vipande vitano, bado haijathibitishwa wala kukanushwa. Hatua mbili zinatenganisha kikomo kipya na dhana hiyo.