В ЧЕТЫРЁХ ИЗМЕРЕНИЯХ СЕМИ КУСКОВ ВСЕГДА ХВАТАЕТ

Возьмите фигуру — любое ограниченное множество точек — и назовите её диаметром наибольшее расстояние между двумя её точками. Теперь разрежьте её на куски так, чтобы каждый кусок был строго уже всей фигуры. Каково наименьшее число кусков, которого хватает всегда, какой бы ни была фигура?

Это число в n измерениях называется числом Борсука b_n. В 1933 году Борсук спросил, всегда ли оно равно n + 1. Меньше оно быть не может: вершинам правильного симплекса — равностороннего треугольника на плоскости, правильного тетраэдра в пространстве — нужно n + 1 кусков, поскольку любые две вершины отстоят друг от друга на целый диаметр. И n + 1 кусков достаточно в одном, двух и трёх измерениях. В 1993 году Кан и Калаи (Kahn, Kalai) показали, что в достаточно высоких размерностях догадка неверна.

Первый открытый случай

Четыре измерения — первое место, где ответа не знает никто. Старая общая оценка Ласака (Lassak), 2ⁿ⁻¹ + 1, даёт там не более девяти кусков. Ранее в 2026 году Толмачёв и Воронов (Tolmachev, Voronov) снизили её до восьми с помощью построения, выполненного с использованием компьютера.

А. Арман и А. Примак (A. Arman, A. Prymak) из Университета Манитобы, А. Бондаренко (A. Bondarenko) из Норвежского университета естественных и технических наук и Д. Радченко (D. Radchenko) из Института высших научных исследований (Institut des Hautes Études Scientifiques) теперь доказывают более сильное утверждение. Любое множество диаметра 1 в четырёх измерениях можно покрыть семью шарами одинакового диаметра, строго меньшего 0,9999. Каждый шар уже множества, поэтому, если отнести каждую точку к одному из шаров, множество разрежется на семь более узких кусков: b₄ ≤ 7. Теперь ответ лежит где-то между пятью и семью.

Начать с наименьшего объемлющего шара

Доказательство начинается с описанного шара: наименьшего шара, содержащего множество. Классическая теорема Юнга ограничивает его размер: его радиус не превышает примерно 0,63 (а квадрат радиуса — 2/5) для множества диаметра 1. Множество касается поверхности описанного шара, и среди этих общих точек не более пяти достаточно, чтобы закрепить шар на месте; авторы называют их точками касания. Они ограничивают, где может находиться остальная часть множества, поскольку ничто в нём не лежит дальше чем на 1 от любой из них.

Затем авторы разбивают задачу на три случая — по размеру описанного шара:

• Малый описанный шар: семь шаров в фиксированном явно заданном расположении покрывают весь описанный шар, каким бы ни было множество внутри. Это доказывается вручную.
• Большой описанный шар: точек касания пять. Пять шаров, центр каждого из которых лежит на 9/20 пути от центра к одной из точек касания, покрывают почти всё; ещё два шара покрывают остаток — две конусообразные области. Это тоже доказывается вручную.
• Промежуточный случай: три точки касания, образующие остроугольный треугольник, сводят любое возможное множество к семейству фигур, описываемых всего четырьмя числами. Здесь и вступает в дело компьютер.

23 494 ячейки, без округления

Четыре числа заполняют четырёхмерный куб возможностей. Для каждой маленькой ячейки этого куба численный поиск предлагает семь центров. Затем точная проверка удостоверяется, что одни и те же семь шаров покрывают каждую фигуру в ячейке.

Приём — классика вычислительной геометрии: если добавить пятую координату, равную квадрату расстояния от начала координат, условия «внутри этого шара» и «вне того шара» превращаются в линейные неравенства. Вопрос сводится к тому, лежит ли многогранник — фигура с плоскими гранями, — вырезанный двенадцатью такими неравенствами, целиком над искривлённой чашей, — а для этого достаточно проверить его вершины. Программа перебирает все 792 вершины-кандидата, используя только целые числа и точные дроби, без какого-либо численного допуска.

Если ячейка не проходит проверку, её разрезают пополам и снова проверяют обе половины. В итоге куб был разрезан на 23 494 ячейки — вплоть до 29 уровней деления пополам, — и каждая прошла проверку. Их объёмы в сумме дают ровно 1: ничего не упущено. Данные и программа проверки находятся в открытом доступе. Авторы отмечают, что программа использует точную арифметику, но не является формальным доказательством, проверенным системой автоматического доказательства (proof assistant).

Как пришла идея

Авторы открыто рассказывают, как к этому пришли. Более ранняя версия их работы доходила только до восьми и требовала гораздо больше вычислений; языковые модели тогда помогали лишь с кодом. Позже они исследовали задачу с ChatGPT Astra, сначала в поисках чисто аналитических рассуждений. Это исследование привело к подходу, построенному на описанном шаре, который значительно сократил компьютерный перебор. Они также использовали ChatGPT для написания кода и редактирования текста, а каждое математическое рассуждение и код проверки проверили сами.

Собственная догадка Борсука для четырёх измерений — пять кусков — по-прежнему не доказана и не опровергнута. От новой оценки её отделяют два шага.