چار ابعاد میں سات ٹکڑے ہمیشہ کافی ہیں
کوئی شکل لیجیے — نقاط کا کوئی بھی محدود (bounded) مجموعہ — اور اس کے دو نقاط کے درمیان سب سے بڑے فاصلے کو اس کا قطر (diameter) کہیے۔ اب اسے ٹکڑوں میں اس طرح کاٹیے کہ ہر ٹکڑا پوری شکل سے سختی سے کم چوڑا ہو۔ ٹکڑوں کی وہ کم سے کم تعداد کیا ہے جو ہمیشہ کام کرے، شکل چاہے کوئی بھی ہو؟
n ابعاد میں اس تعداد کو بورسک عدد (Borsuk number) b_n کہا جاتا ہے۔ 1933 میں بورسک (Borsuk) نے سوال اٹھایا کہ کیا یہ ہمیشہ n + 1 کے برابر ہوتا ہے۔ یہ اس سے کم نہیں ہو سکتا: ایک باقاعدہ سمپلیکس (regular simplex) — مستوی میں ایک مساوی الاضلاع مثلث، فضا میں ایک باقاعدہ چہار سطحی (regular tetrahedron) — کے کونوں کو n + 1 ٹکڑے درکار ہیں، کیونکہ کوئی سے بھی دو کونے ایک دوسرے سے پورے ایک قطر کے فاصلے پر ہیں۔ اور ایک، دو اور تین ابعاد میں n + 1 کافی ہے۔ 1993 میں کاہن (Kahn) اور کالائی (Kalai) نے دکھایا کہ کافی زیادہ ابعاد میں یہ قیاس غلط ہے۔
پہلی کھلی صورت
چار ابعاد وہ پہلا مقام ہے جہاں کوئی جواب نہیں جانتا۔ لاساک (Lassak) کی ایک پرانی عمومی حد، 2ⁿ⁻¹ + 1، وہاں زیادہ سے زیادہ نو ٹکڑے دیتی ہے۔ 2026 کے شروع میں تولماچیف (Tolmachev) اور وورونوف (Voronov) نے کمپیوٹر کی مدد سے کی گئی ایک تعمیر کے ذریعے اسے گھٹا کر آٹھ کر دیا۔
یونیورسٹی آف مینیٹوبا (University of Manitoba) کے اے۔ آرمان (A. Arman) اور اے۔ پریماک (A. Prymak)، نارویجن یونیورسٹی آف سائنس اینڈ ٹیکنالوجی (Norwegian University of Science and Technology) کے اے۔ بونڈارینکو (A. Bondarenko) اور Institut des Hautes Études Scientifiques کے ڈی۔ رادچینکو (D. Radchenko) اب ایک زیادہ مضبوط بیان ثابت کرتے ہیں۔ چار ابعاد میں قطر 1 والے ہر مجموعے کو سات کروں سے ڈھانپا جا سکتا ہے، جن سب کا قطر یکساں اور 0.9999 سے سختی سے کم ہو۔ ہر کرہ مجموعے سے کم چوڑا ہے، اس لیے ہر نقطے کو کسی ایک کرے کے سپرد کرنے سے مجموعہ سات کم چوڑے ٹکڑوں میں کٹ جاتا ہے: b₄ ≤ 7۔ جواب اب پانچ اور سات کے درمیان کہیں ہے۔
سب سے چھوٹے احاطی کرے سے آغاز
ثبوت محیطی کرے (circumball) سے شروع ہوتا ہے: وہ سب سے چھوٹا کرہ جس میں پورا مجموعہ سما جائے۔ یونگ (Jung) کا ایک کلاسیکی قضیہ (theorem) یہ حد مقرر کرتا ہے کہ یہ کتنا بڑا ہو سکتا ہے — قطر 1 والے مجموعے کے لیے اس کا نصف قطر زیادہ سے زیادہ تقریباً 0.63 ہے (اور اس کا مربع زیادہ سے زیادہ 2/5)۔ مجموعہ محیطی کرے کی سطح کو چھوتا ہے، اور ان چھونے والے نقاط میں سے زیادہ سے زیادہ پانچ کرے کو اپنی جگہ پر قائم رکھنے کے لیے کافی ہیں؛ مصنفین انہیں نقاطِ تماس (contact points) کہتے ہیں۔ یہ نقاط محدود کرتے ہیں کہ باقی مجموعہ کہاں ہو سکتا ہے، کیونکہ کوئی بھی نقطہ ان میں سے کسی سے بھی 1 سے زیادہ فاصلے پر نہیں۔
پھر مصنفین محیطی کرے کی جسامت کے لحاظ سے مسئلے کو تین صورتوں میں بانٹتے ہیں:
- چھوٹا محیطی کرہ: ایک مقررہ، صریح ترتیب میں رکھے گئے سات کرے پورے محیطی کرے کو ڈھانپ لیتے ہیں، اندر کا مجموعہ چاہے کچھ بھی ہو۔ یہ ہاتھ سے ثابت کیا گیا ہے۔
- بڑا محیطی کرہ: نقاطِ تماس پانچ ہیں۔ پانچ کرے، جن میں سے ہر ایک کا مرکز، مرکز سے کسی ایک نقطۂ تماس تک کے راستے کے 9/20 پر ہے، تقریباً سب کچھ ڈھانپ لیتے ہیں؛ دو مزید کرے باقی ماندہ حصہ، یعنی دو مخروطی خطے، ڈھانپ لیتے ہیں۔ یہ بھی ہاتھ سے ثابت کیا گیا ہے۔
- درمیانی صورت: حادہ زاویہ مثلث (acute triangle) بنانے والے تین نقاطِ تماس ہر ممکنہ مجموعے کو شکلوں کے ایک ایسے خاندان تک محدود کر دیتے ہیں جسے صرف چار اعداد سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ یہیں کمپیوٹر کا کردار شروع ہوتا ہے۔
23,494 ڈبے، اعداد کو گول کیے بغیر
یہ چار اعداد امکانات کا ایک چار جہتی مکعب بھرتے ہیں۔ اس مکعب کے ہر چھوٹے ڈبے کے لیے ایک عددی تلاش سات مراکز تجویز کرتی ہے۔ پھر ایک عین (exact) جانچ تصدیق کرتی ہے کہ یہی سات کرے ڈبے کی ہر شکل کو ڈھانپ لیتے ہیں۔
ترکیب حسابی جیومیٹری (computational geometry) کی ایک کلاسیکی ترکیب ہے: مبدأ سے فاصلے کے مربع کے برابر ایک پانچواں محدد (coordinate) شامل کرنے سے “اس کرے کے اندر” اور “اُس کرے کے باہر” جیسی شرطیں ہموار (خطی) عدم مساوات میں بدل جاتی ہیں۔ سوال یہ بن جاتا ہے کہ کیا ایسی بارہ عدم مساوات سے تراشا گیا ایک کثیر سطحی (polytope) — چپٹی سطحوں والی ایک شکل — پوری طرح ایک خمیدہ پیالے کے اوپر واقع ہے — اور اس کے لیے اس کے کونوں کی جانچ کافی ہے۔ پروگرام تمام 792 امیدوار کونوں کا جائزہ لیتا ہے، صرف صحیح اعداد (whole numbers) اور عین کسریں استعمال کرتے ہوئے، کسی عددی رواداری (numerical tolerance) کے بغیر۔
جب کوئی ڈبہ ناکام ہوتا ہے تو اسے دو حصوں میں کاٹ دیا جاتا ہے اور دونوں حصوں کو دوبارہ آزمایا جاتا ہے۔ آخرکار مکعب کو 23,494 ڈبوں میں کاٹا گیا، نصف کرنے کی 29 سطحوں تک، اور ہر ایک کامیاب رہا۔ ان کے حجموں کا مجموعہ ٹھیک 1 بنتا ہے: کچھ بھی باہر نہیں رہ گیا۔ ڈیٹا اور تصدیقی پروگرام عوامی طور پر دستیاب ہیں۔ مصنفین نشاندہی کرتے ہیں کہ پروگرام عین حساب استعمال کرتا ہے لیکن یہ کوئی باضابطہ ثبوت (formal proof) نہیں جس کی جانچ کسی ثبوتی معاون (proof assistant) نے کی ہو۔
خیال کیسے آیا
مصنفین کھل کر بتاتے ہیں کہ وہ یہاں تک کیسے پہنچے۔ ان کے کام کا ایک پچھلا نسخہ صرف آٹھ تک پہنچا تھا، اور اسے کہیں زیادہ حساب درکار تھا؛ اس وقت لسانی ماڈلز نے صرف کوڈ میں مدد کی تھی۔ بعد میں انہوں نے ChatGPT Astra کے ساتھ اس مسئلے کو کھنگالا، پہلے خالصتاً تحلیلی (analytic) دلائل کی تلاش میں۔ اسی کھوج سے محیطی کرے پر مبنی طریقہ نکلا، جس نے کمپیوٹر تلاش کو کافی حد تک مختصر کر دیا۔ انہوں نے کوڈنگ اور ادارت کے لیے بھی ChatGPT استعمال کیا، اور ہر ریاضیاتی دلیل اور تصدیقی کوڈ کی جانچ خود کی۔
چار ابعاد کے لیے بورسک کا اپنا قیاس، یعنی پانچ ٹکڑے، نہ ثابت ہوا ہے نہ رد۔ نئی حد اور اس کے درمیان دو قدم کا فاصلہ ہے۔