EN CUATRO DIMENSIONES, SIEMPRE BASTAN SIETE PIEZAS

Toma una forma, cualquier conjunto acotado de puntos, y llama diámetro a la mayor distancia entre dos de sus puntos. Ahora córtala en piezas de modo que cada pieza sea estrictamente más estrecha que el todo. ¿Cuál es el menor número de piezas que funciona siempre, sea cual sea la forma?

Ese número, en n dimensiones, se llama número de Borsuk b_n. En 1933, Borsuk se preguntó si siempre es igual a n + 1. No puede ser menor: los vértices de un símplex regular (un triángulo equilátero en el plano, un tetraedro regular en el espacio) necesitan n + 1 piezas, ya que dos vértices cualesquiera están separados por un diámetro completo. Y n + 1 basta en una, dos y tres dimensiones. En 1993, Kahn y Kalai demostraron que la conjetura falla en dimensiones suficientemente altas.

El primer caso abierto

Cuatro dimensiones es el primer lugar donde nadie conoce la respuesta. Una antigua cota general de Lassak, 2ⁿ⁻¹ + 1, da como máximo nueve piezas en ese caso. A principios de 2026, Tolmachev y Voronov la rebajaron a ocho, con una construcción asistida por ordenador.

A. Arman y A. Prymak, de la Universidad de Manitoba, A. Bondarenko, de la Universidad Noruega de Ciencia y Tecnología, y D. Radchenko, del Institut des Hautes Études Scientifiques, demuestran ahora un enunciado más fuerte. Todo conjunto de diámetro 1 en cuatro dimensiones puede cubrirse con siete bolas, todas del mismo diámetro, estrictamente menor que 0,9999. Cada bola es más estrecha que el conjunto, así que asignar cada punto a una bola corta el conjunto en siete piezas más estrechas: b₄ ≤ 7. La respuesta está ahora en algún punto entre cinco y siete.

Partir de la bola envolvente más pequeña

La demostración empieza por la bola circunscrita (circumball): la bola más pequeña que contiene el conjunto. Un teorema clásico de Jung limita su tamaño: su radio es como máximo de unos 0,63 (su cuadrado, como máximo 2/5) para un conjunto de diámetro 1. El conjunto toca la superficie de la bola circunscrita, y entre los puntos donde la toca bastan cinco como máximo para fijar la bola en su sitio; los autores los llaman puntos de contacto. Restringen dónde puede estar el resto del conjunto, ya que nada se encuentra a más de 1 de ninguno de ellos.

Los autores dividen entonces el problema en tres casos, según el tamaño de la bola circunscrita:

• Bola circunscrita pequeña: siete bolas en una disposición fija y explícita cubren toda la bola circunscrita, sea cual sea el conjunto que contiene. Esto se demuestra a mano.
• Bola circunscrita grande: hay cinco puntos de contacto. Cinco bolas, cada una centrada a 9/20 del camino entre el centro y un punto de contacto, lo cubren casi todo; dos bolas más cubren lo que queda, dos regiones en forma de cono. También demostrado a mano.
• Caso intermedio: tres puntos de contacto que forman un triángulo acutángulo reducen todo conjunto posible a una familia de formas descrita por solo cuatro números. Ahí es donde entra el ordenador.

23.494 cajas, sin redondeo

Los cuatro números llenan un cubo de posibilidades de cuatro dimensiones. Para cada pequeña caja de ese cubo, una búsqueda numérica propone siete centros. Después, una prueba exacta comprueba que esas mismas siete bolas cubren todas las formas de la caja.

El truco es un clásico de la geometría computacional: añadir una quinta coordenada igual a la distancia al origen al cuadrado convierte «dentro de esta bola» y «fuera de aquella bola» en desigualdades lineales. La pregunta pasa a ser si un politopo (una forma de caras planas) delimitado por doce de esas desigualdades queda por completo por encima de un cuenco curvo, y para eso basta con comprobar sus vértices. El programa examina los 792 vértices candidatos, usando solo números enteros y fracciones exactas, sin ninguna tolerancia numérica.

Cuando una caja falla, se corta en dos y se vuelven a probar ambas mitades. Al final, el cubo quedó dividido en 23.494 cajas, hasta 29 niveles de división por la mitad, y todas pasaron la prueba. Sus volúmenes suman exactamente 1: no queda nada fuera. Los datos y el programa de verificación son públicos. Los autores señalan que el programa usa aritmética exacta, pero no es una demostración formal comprobada por un asistente de demostración.

Cómo llegó la idea

Los autores explican abiertamente cómo llegaron hasta ahí. Una versión anterior de su trabajo solo alcanzaba ocho y necesitaba mucho más cálculo; los modelos de lenguaje solo les ayudaron entonces con el código. Más tarde exploraron el problema con ChatGPT Astra, buscando primero argumentos puramente analíticos. Esa exploración condujo al enfoque basado en la bola circunscrita, que redujo considerablemente la búsqueda por ordenador. También usaron ChatGPT para programar y para la redacción, y comprobaron ellos mismos cada argumento matemático y el código de verificación.

La propia conjetura de Borsuk para cuatro dimensiones, cinco piezas, sigue sin demostrarse ni refutarse. Dos pasos separan de ella la nueva cota.