4次元では、7つのピースで必ず足りる

図形を1つ考えよう。有界な点の集合なら何でもよい。その2点間の距離のうち最大のものを、その図形の直径と呼ぶ。次に、どのピースも全体より厳密に細くなるように、図形をピースに切り分ける。図形がどんなものであっても必ずうまくいくピースの最小の数はいくつだろうか。

n次元でのその数は、Borsuk数（Borsuk number）b_nと呼ばれる。1933年、Borsukは、それが常にn + 1に等しいかどうかを問うた。それより小さくはなりえない。正単体（平面では正三角形、空間では正四面体）の頂点は、どの2つもちょうど直径だけ離れているので、n + 1個のピースを必要とする。そして1次元、2次元、3次元では、n + 1で足りる。1993年、KahnとKalaiは、十分に高い次元ではこの予想が成り立たないことを示した。

未解決の最初のケース

4次元は、誰も答えを知らない最初の次元だ。Lassakによる古い一般的な上限2ⁿ⁻¹ + 1からは、4次元では最大9個のピースという結果が得られる。2026年に入ってから、TolmachevとVoronovが、コンピューター支援による構成でこれを8まで下げた。

マニトバ大学のA. ArmanとA. Prymak、ノルウェー科学技術大学のA. Bondarenko、高等科学研究所（Institut des Hautes Études Scientifiques）のD. Radchenkoは今回、より強い主張を証明した。4次元における直径1のあらゆる集合は、直径がすべて等しく、0.9999より厳密に小さい7つの球で覆うことができる。 どの球も集合より細いので、各点を1つの球に割り当てれば、集合はより細い7つのピースに切り分けられる。つまりb₄ ≤ 7だ。答えはいまや、5から7のあいだのどこかにある。

最小の包含球から始める

証明は外接球（circumball）から始まる。集合を含む最小の球だ。Jungによる古典的な定理が、その大きさを制限する。直径1の集合では、その半径は最大で約0.63（2乗で最大2/5）だ。集合は外接球の表面に触れており、触れている点のうち最大で5つあれば、球の位置を固定するのに十分だ。著者たちはそれらを接点と呼ぶ。これらの点が集合の残りの部分のありかを制約する。どの接点からも1より遠くには何もないからだ。

著者たちは次に、外接球の大きさによって問題を3つのケースに分ける。

• 外接球が小さい場合：固定された明示的な配置の7つの球が、内側の集合がどんなものであれ、外接球全体を覆う。これは手計算で証明される。
• 外接球が大きい場合：接点は5つある。中心からそれぞれの接点へ向かう道のりの9/20の位置に中心を置いた5つの球が、ほぼすべてを覆う。残る部分、つまり2つの円錐形の領域は、さらに2つの球が覆う。これも手計算で証明される。
• その中間：鋭角三角形をなす3つの接点によって、考えられるあらゆる集合が、わずか4つの数で記述される図形の族に帰着する。ここでコンピューターの出番となる。

23,494個の箱、丸めなし

4つの数は、可能性からなる4次元の立方体を埋める。その立方体の小さな箱1つ1つについて、数値探索が7つの中心を提案する。続いて厳密なテストで、同じ7つの球が箱の中のすべての図形を覆うことを確かめる。

その仕掛けは計算幾何学の定番だ。原点からの距離の2乗に等しい5番目の座標を加えると、「この球の内側」や「あの球の外側」が線形の不等式に変わる。問題は、そうした12個の不等式で切り出される多面体（平らな面でできた図形）が、曲がったお椀形の面より完全に上にあるかどうかになる。そしてそれには、多面体の頂点を確かめれば十分だ。プログラムは、整数と厳密な分数だけを使い、数値的な許容誤差なしで、候補となる792個の頂点すべてを調べる。

ある箱がテストに通らなければ、それを2つに切り、両方の半分でもう一度試す。最終的に立方体は、最大29段階の二等分を経て23,494個の箱に切り分けられ、そのすべてが合格した。それらの体積を合計するとちょうど1になる。取りこぼしはない。データと検証プログラムは公開されている。著者たちは、このプログラムは厳密な算術を使っているものの、証明支援系でチェックされた形式的証明ではないと注意している。

アイデアはどうやって生まれたか

著者たちは、そこにたどり着いた経緯を率直に語っている。彼らの研究の以前のバージョンは8までしか届かず、はるかに多くの計算を必要としていた。そのとき言語モデルが手助けしたのは、コードだけだった。その後、彼らはChatGPT Astraを使ってこの問題を探り、まず純粋に解析的な議論を探した。その探索から外接球にもとづく手法が生まれ、コンピューターによる探索は大幅に縮小した。彼らはまたコーディングと編集にもChatGPTを使い、すべての数学的議論と検証コードを自分たちで確かめた。

4次元についてのBorsuk自身の予想、つまり5つのピースは、いまも証明も反証もされていない。新しい上限との隔たりは、あと2段階だ。