IN VIER DIMENSIONEN GENÜGEN IMMER SIEBEN STÜCKE

Nimm eine Form – irgendeine beschränkte Menge von Punkten – und nenne ihren Durchmesser den größten Abstand zwischen zwei ihrer Punkte. Zerschneide sie nun so in Stücke, dass jedes Stück streng schmaler ist als das Ganze. Was ist die kleinste Zahl von Stücken, die immer funktioniert, welche Form es auch sei?

Diese Zahl heißt in n Dimensionen die Borsuk-Zahl b_n. 1933 fragte Borsuk, ob sie immer gleich n + 1 ist. Kleiner kann sie nicht sein: Die Ecken eines regulären Simplex – ein gleichseitiges Dreieck in der Ebene, ein reguläres Tetraeder im Raum – brauchen n + 1 Stücke, da je zwei Ecken einen vollen Durchmesser voneinander entfernt sind. Und n + 1 genügt in einer, zwei und drei Dimensionen. 1993 zeigten Kahn und Kalai, dass die Vermutung in hinreichend hohen Dimensionen scheitert.

Der erste offene Fall

Vier Dimensionen sind der erste Fall, in dem niemand die Antwort kennt. Eine alte allgemeine Schranke von Lassak, 2ⁿ⁻¹ + 1, ergibt dort höchstens neun Stücke. Anfang 2026 senkten Tolmachev und Voronov sie mit einer computergestützten Konstruktion auf acht.

A. Arman und A. Prymak von der University of Manitoba, A. Bondarenko von der Norwegischen Technisch-Naturwissenschaftlichen Universität und D. Radchenko vom Institut des Hautes Études Scientifiques beweisen nun eine stärkere Aussage. Jede Menge vom Durchmesser 1 in vier Dimensionen lässt sich durch sieben Kugeln überdecken, alle mit demselben Durchmesser, streng kleiner als 0,9999. Jede Kugel ist schmaler als die Menge; ordnet man also jeden Punkt einer Kugel zu, zerfällt die Menge in sieben schmalere Stücke: b₄ ≤ 7. Die Antwort liegt nun irgendwo zwischen fünf und sieben.

Ausgangspunkt: die kleinste umschließende Kugel

Der Beweis beginnt mit der Umkugel: der kleinsten Kugel, die die Menge enthält. Ein klassischer Satz von Jung begrenzt, wie groß sie sein kann – ihr Radius beträgt für eine Menge vom Durchmesser 1 höchstens etwa 0,63 (sein Quadrat höchstens 2/5). Die Menge berührt die Oberfläche der Umkugel, und unter diesen Berührungspunkten genügen höchstens fünf, um die Kugel festzulegen; die Autoren nennen sie Kontaktpunkte. Sie schränken ein, wo der Rest der Menge liegen kann, da nichts weiter als 1 von irgendeinem von ihnen entfernt ist.

Die Autoren teilen das Problem dann nach der Größe der Umkugel in drei Fälle auf:

Kleine Umkugel: Sieben Kugeln in einer festen, expliziten Anordnung überdecken die gesamte Umkugel, welche Menge auch darin liegt. Das wird von Hand bewiesen.
Große Umkugel: Es gibt fünf Kontaktpunkte. Fünf Kugeln, deren Mittelpunkte jeweils bei 9/20 des Weges vom Zentrum zu einem Kontaktpunkt liegen, überdecken fast alles; zwei weitere Kugeln überdecken den Rest, zwei kegelförmige Bereiche. Ebenfalls von Hand bewiesen.
Dazwischen: Drei Kontaktpunkte, die ein spitzwinkliges Dreieck bilden, reduzieren jede mögliche Menge auf eine Familie von Formen, die durch nur vier Zahlen beschrieben wird. Hier kommt der Computer ins Spiel.

23.494 Kästen, keine Rundung

Die vier Zahlen füllen einen vierdimensionalen Würfel von Möglichkeiten. Für jeden kleinen Kasten dieses Würfels schlägt eine numerische Suche sieben Mittelpunkte vor. Dann prüft ein exakter Test, ob dieselben sieben Kugeln jede Form im Kasten überdecken.

Der Trick ist ein Klassiker der algorithmischen Geometrie: Fügt man eine fünfte Koordinate hinzu, die gleich dem quadrierten Abstand vom Ursprung ist, werden „innerhalb dieser Kugel“ und „außerhalb jener Kugel“ zu linearen Ungleichungen. Die Frage lautet dann, ob ein Polytop (eine Form mit ebenen Seitenflächen), das durch zwölf solcher Ungleichungen ausgeschnitten wird, vollständig oberhalb einer gekrümmten Schale liegt – und dafür genügt es, seine Ecken zu prüfen. Das Programm untersucht alle 792 Kandidaten für Ecken und verwendet dabei nur ganze Zahlen und exakte Brüche, ohne jede numerische Toleranz.

Scheitert ein Kasten, wird er halbiert, und beide Hälften werden erneut geprüft. Am Ende war der Würfel in 23.494 Kästen zerlegt, bis hinunter zu 29 Halbierungsstufen, und jeder einzelne bestand. Ihre Volumina ergeben zusammen genau 1: Nichts wird ausgelassen. Die Daten und das Prüfprogramm sind öffentlich. Die Autoren merken an, dass das Programm zwar exakte Arithmetik verwendet, aber kein formaler, von einem Beweisassistenten geprüfter Beweis ist.

Wie die Idee entstand

Die Autoren legen offen, wie sie dorthin gelangt sind. Eine frühere Version ihrer Arbeit kam nur bis acht und erforderte weit mehr Rechenaufwand; Sprachmodelle halfen damals nur beim Code. Später erkundeten sie das Problem mit ChatGPT Astra und suchten zunächst nach rein analytischen Argumenten. Diese Erkundung führte zu dem Ansatz über die Umkugel, der die Computersuche erheblich verkleinerte. Sie nutzten ChatGPT außerdem zum Programmieren und Redigieren und prüften jedes mathematische Argument und den Prüfcode selbst.

Borsuks eigene Vermutung für vier Dimensionen, fünf Stücke, ist weder bewiesen noch widerlegt. Zwei Schritte trennen die neue Schranke noch von ihr.