నాలుగు కొలతల్లో, ఏడు ముక్కలు ఎప్పుడూ సరిపోతాయి

ఒక ఆకారాన్ని — ఏదైనా పరిబద్ధ (bounded) బిందువుల సమితిని — తీసుకుని, దానిలోని రెండు బిందువుల మధ్య ఉండే అతిపెద్ద దూరాన్ని దాని వ్యాసం అని పిలవండి. ఇప్పుడు ప్రతి ముక్కా మొత్తం కంటే కచ్చితంగా ఇరుకుగా ఉండేలా దాన్ని ముక్కలుగా కోయండి. ఆకారం ఏదైనా, ఎప్పుడూ పనిచేసే అతి చిన్న ముక్కల సంఖ్య ఏది?

n కొలతల్లో ఆ సంఖ్యను బోర్సుక్ సంఖ్య b_n అంటారు. 1933లో, బోర్సుక్ అది ఎప్పుడూ n + 1కి సమానమా అని అడిగారు. అది ఇంతకంటే తక్కువ ఉండలేదు: ఒక సమ సింప్లెక్స్ (regular simplex) మూలలకు — సమతలంలో సమబాహు త్రిభుజం, అంతరాళంలో సమ చతుర్ముఖి — n + 1 ముక్కలు కావాలి, ఎందుకంటే ఏ రెండు మూలల మధ్య దూరమైనా పూర్తి వ్యాసమే. మరియు ఒకటి, రెండు, మూడు కొలతల్లో n + 1 సరిపోతుంది. 1993లో, కాన్, కలాయ్ తగినంత ఎక్కువ కొలతల్లో ఈ ఊహ విఫలమవుతుందని చూపించారు.

ఇంకా తేలని మొదటి సందర్భం

ఎవరికీ జవాబు తెలియని మొదటి చోటు నాలుగు కొలతలు. లసాక్ ఇచ్చిన పాత సాధారణ పరిమితి, 2ⁿ⁻¹ + 1, అక్కడ గరిష్ఠంగా తొమ్మిది ముక్కలను ఇస్తుంది. 2026 ఆరంభంలో, టోల్మాచెవ్, వొరొనొవ్ కంప్యూటర్ సహాయంతో చేసిన ఒక నిర్మాణంతో దాన్ని ఎనిమిదికి తగ్గించారు.

మానిటోబా విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన A. ఆర్మన్, A. ప్రిమాక్, నార్వేజియన్ సైన్స్ అండ్ టెక్నాలజీ విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన A. బొండారెంకో, Institut des Hautes Études Scientifiquesకు చెందిన D. రాడ్చెంకో ఇప్పుడు ఇంతకంటే బలమైన ప్రకటనను నిరూపిస్తున్నారు. నాలుగు కొలతల్లో వ్యాసం 1 ఉన్న ప్రతి సమితినీ, అన్నీ ఒకే వ్యాసం — 0.9999 కంటే కచ్చితంగా తక్కువ — కలిగిన ఏడు బంతులతో కప్పవచ్చు. ప్రతి బంతీ సమితి కంటే ఇరుకైనది, కాబట్టి ప్రతి బిందువునూ ఒక బంతికి కేటాయిస్తే సమితి ఏడు ఇరుకైన ముక్కలుగా కోయబడుతుంది: b₄ ≤ 7. జవాబు ఇప్పుడు ఐదు నుంచి ఏడు మధ్య ఎక్కడో ఉంది.

అతి చిన్న ఆవరించే బంతి నుంచి మొదలు

నిరూపణ పరిబంతి (circumball)తో మొదలవుతుంది: సమితిని లోపల ఉంచుకునే అతి చిన్న బంతి. యుంగ్ ఇచ్చిన ఒక సాంప్రదాయ సిద్ధాంతం అది ఎంత పెద్దదిగా ఉండగలదో పరిమితం చేస్తుంది — వ్యాసం 1 ఉన్న సమితికి, దాని వ్యాసార్ధం గరిష్ఠంగా సుమారు 0.63 (దాని వర్గం గరిష్ఠంగా 2/5). సమితి పరిబంతి ఉపరితలాన్ని తాకుతుంది, ఆ తాకే బిందువుల్లో బంతిని దాని స్థానంలో స్థిరపరచడానికి గరిష్ఠంగా ఐదు చాలు; రచయితలు వాటిని స్పర్శ బిందువులు అంటారు. ఆ బిందువులు సమితిలో మిగతా భాగం ఎక్కడ ఉండగలదో నిర్బంధిస్తాయి, ఎందుకంటే వాటిలో దేని నుంచైనా 1 కంటే ఎక్కువ దూరంలో ఏదీ ఉండదు.

తర్వాత రచయితలు, పరిబంతి పరిమాణం ఆధారంగా, సమస్యను మూడు సందర్భాలుగా విభజిస్తారు:

• చిన్న పరిబంతి: స్థిరమైన, స్పష్టమైన అమరికలో ఉన్న ఏడు బంతులు, లోపల ఉన్న సమితి ఏదైనా, మొత్తం పరిబంతినే కప్పుతాయి. దీన్ని చేతితో నిరూపించారు.
• పెద్ద పరిబంతి: ఐదు స్పర్శ బిందువులు ఉంటాయి. ఒక్కొక్కటీ కేంద్రం నుంచి ఒక స్పర్శ బిందువు వరకు ఉన్న దూరంలో 9/20 వద్ద కేంద్రం కలిగిన ఐదు బంతులు దాదాపు అన్నిటినీ కప్పుతాయి; మిగిలినదాన్ని — శంకువు ఆకారపు రెండు ప్రాంతాలను — మరో రెండు బంతులు కప్పుతాయి. దీన్ని కూడా చేతితో నిరూపించారు.
• మధ్యస్థం: లఘుకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరిచే మూడు స్పర్శ బిందువులు, సాధ్యమయ్యే ప్రతి సమితినీ కేవలం నాలుగు సంఖ్యలతో వర్ణించే ఆకారాల కుటుంబానికి కుదిస్తాయి. కంప్యూటర్ రంగంలోకి దిగేది అక్కడే.

23,494 పెట్టెలు, రౌండింగ్ లేదు

ఆ నాలుగు సంఖ్యలు సాధ్యతల యొక్క ఒక నాలుగు-కొలతల ఘనాన్ని నింపుతాయి. ఆ ఘనంలోని ప్రతి చిన్న పెట్టెకూ, ఒక సంఖ్యాత్మక శోధన ఏడు కేంద్రాలను ప్రతిపాదిస్తుంది. తర్వాత ఒక కచ్చితమైన పరీక్ష, అవే ఏడు బంతులు పెట్టెలోని ప్రతి ఆకారాన్నీ కప్పుతాయని సరిచూస్తుంది.

ఈ కిటుకు గణన జ్యామితిలో ఒక సాంప్రదాయ పద్ధతి: మూలబిందువు నుంచి దూరపు వర్గానికి సమానమైన ఐదో నిరూపకాన్ని (coordinate) చేర్చడం, “ఈ బంతి లోపల”, “ఆ బంతి బయట” అనే షరతులను చదునైన (రేఖీయ) అసమానతలుగా మారుస్తుంది. అప్పుడు ప్రశ్న, అలాంటి పన్నెండు అసమానతలు కత్తిరించిన ఒక బహుతలీయం (polytope) — చదునైన తలాలున్న ఆకారం — పూర్తిగా ఒక వంపు గిన్నె పైన ఉందా లేదా అన్నదిగా మారుతుంది — దానికోసం, దాని మూలలను సరిచూస్తే చాలు. ప్రోగ్రామ్ సాధ్యమైన మొత్తం 792 మూలలనూ పరిశీలిస్తుంది — పూర్ణ సంఖ్యలు, కచ్చితమైన భిన్నాలను మాత్రమే వాడుతూ, ఎలాంటి సంఖ్యాత్మక సహనం (tolerance) లేకుండా.

ఒక పెట్టె విఫలమైనప్పుడు, దాన్ని రెండుగా కోసి, రెండు సగాలనూ మళ్ళీ ప్రయత్నిస్తారు. చివరికి, ఘనాన్ని 23,494 పెట్టెలుగా కోశారు — 29 స్థాయిల వరకు సగం చేస్తూ — మరియు ప్రతి ఒక్కటీ ఉత్తీర్ణమైంది. వాటి ఘనపరిమాణాల మొత్తం సరిగ్గా 1: ఏదీ వదిలివేయబడలేదు. డేటా, సరిచూసే ప్రోగ్రామ్ బహిరంగంగా అందుబాటులో ఉన్నాయి. ప్రోగ్రామ్ కచ్చితమైన అంకగణితాన్ని వాడుతుంది కానీ, అది నిరూపణ సహాయక సాఫ్ట్‌వేర్ (proof assistant) సరిచూసిన అధికారిక నిరూపణ కాదని రచయితలు గమనిస్తారు.

ఆలోచన ఎలా వచ్చింది

తాము అక్కడికి ఎలా చేరుకున్నారో రచయితలు బహిరంగంగా చెబుతారు. వారి పని పాత రూపం ఎనిమిది వరకు మాత్రమే చేరింది, పైగా దానికి చాలా ఎక్కువ గణన అవసరమైంది; అప్పట్లో భాషా మోడళ్ళు కేవలం కోడ్‌లో మాత్రమే సాయపడ్డాయి. తర్వాత వారు ChatGPT Astraతో ఈ సమస్యను అన్వేషించారు, మొదట పూర్తిగా విశ్లేషణాత్మక వాదనల కోసం వెతికారు. ఆ అన్వేషణ పరిబంతిపై నిర్మించిన పద్ధతికి దారితీసింది, అది కంప్యూటర్ శోధనను గణనీయంగా కుదించింది. వారు కోడింగ్‌కు, సవరణకు కూడా ChatGPTని వాడారు, ప్రతి గణిత వాదననూ, సరిచూసే కోడ్‌నూ తామే సరిచూశారు.

నాలుగు కొలతలకు బోర్సుక్ సొంత ఊహ, ఐదు ముక్కలు, ఇంకా నిరూపితమూ కాలేదు, ఖండితమూ కాలేదు. కొత్త పరిమితికి, దానికి మధ్య రెండు అడుగుల దూరం ఉంది.