DALAM EMPAT DIMENSI, TUJUH POTONGAN SELALU CUKUP

Ambil sebuah bentuk — himpunan titik terbatas apa pun — dan sebut diameter-nya jarak terbesar antara dua titiknya. Sekarang potong bentuk itu menjadi beberapa bagian sehingga setiap bagian benar-benar lebih sempit daripada keseluruhannya. Berapa jumlah potongan terkecil yang selalu berhasil, apa pun bentuknya?

Bilangan itu, dalam n dimensi, disebut bilangan Borsuk b_n. Pada 1933, Borsuk bertanya apakah bilangan itu selalu sama dengan n + 1. Bilangan itu tidak mungkin lebih kecil: titik-titik sudut sebuah simpleks beraturan — segitiga sama sisi di bidang, tetrahedron beraturan di ruang — memerlukan n + 1 potongan, karena setiap dua titik sudut terpisah sejauh satu diameter penuh. Dan n + 1 sudah cukup dalam satu, dua, dan tiga dimensi. Pada 1993, Kahn dan Kalai menunjukkan bahwa dugaan itu gagal dalam dimensi yang cukup tinggi.

Kasus terbuka pertama

Empat dimensi adalah tempat pertama ketika tak seorang pun tahu jawabannya. Sebuah batas umum lama dari Lassak, 2ⁿ⁻¹ + 1, memberikan paling banyak sembilan potongan di sana. Awal 2026, Tolmachev dan Voronov menurunkannya menjadi delapan, dengan konstruksi berbantuan komputer.

A. Arman dan A. Prymak dari University of Manitoba, A. Bondarenko dari Norwegian University of Science and Technology, dan D. Radchenko dari Institut des Hautes Études Scientifiques kini membuktikan pernyataan yang lebih kuat. Setiap himpunan berdiameter 1 dalam empat dimensi dapat ditutupi oleh tujuh bola, semuanya dengan diameter yang sama, yang benar-benar kurang dari 0,9999. Setiap bola lebih sempit daripada himpunan itu, sehingga memasukkan setiap titik ke dalam satu bola memotong himpunan itu menjadi tujuh potongan yang lebih sempit: b₄ ≤ 7. Jawabannya kini berada di antara lima dan tujuh.

Mulai dari bola pelingkup terkecil

Bukti itu dimulai dengan bola lingkaran luar (circumball): bola terkecil yang memuat himpunan itu. Sebuah teorema klasik dari Jung membatasi seberapa besar bola itu: jari-jarinya paling besar sekitar 0,63 (kuadratnya paling besar 2/5) untuk himpunan berdiameter 1. Himpunan itu menyentuh permukaan bola lingkaran luar, dan di antara titik-titik sentuh itu paling banyak lima sudah cukup untuk mengunci bola di tempatnya; para penulis menyebutnya titik kontak. Titik-titik itu membatasi letak bagian lain himpunan, karena tidak ada bagian himpunan yang berjarak lebih dari 1 dari titik mana pun di antaranya.

Para penulis lalu membagi masalah itu menjadi tiga kasus, menurut ukuran bola lingkaran luar:

Bola lingkaran luar kecil: tujuh bola dalam susunan tetap yang eksplisit menutupi seluruh bola lingkaran luar, apa pun himpunan di dalamnya. Ini dibuktikan secara manual.
Bola lingkaran luar besar: ada lima titik kontak. Lima bola, masing-masing berpusat pada 9/20 jalan dari pusat menuju satu titik kontak, menutupi hampir segalanya; dua bola lagi menutupi sisanya, yaitu dua wilayah berbentuk kerucut. Juga dibuktikan secara manual.
Di antara keduanya: tiga titik kontak yang membentuk segitiga lancip mereduksi setiap himpunan yang mungkin menjadi satu keluarga bentuk yang dideskripsikan oleh hanya empat bilangan. Di situlah komputer berperan.

23.494 kotak, tanpa pembulatan

Keempat bilangan itu mengisi sebuah kubus kemungkinan berdimensi empat. Untuk setiap kotak kecil dari kubus itu, sebuah pencarian numerik mengusulkan tujuh pusat. Lalu sebuah uji eksak memeriksa bahwa tujuh bola yang sama itu menutupi setiap bentuk di dalam kotak tersebut.

Triknya adalah klasik geometri komputasional: menambahkan koordinat kelima yang sama dengan kuadrat jarak dari titik asal mengubah “di dalam bola ini” dan “di luar bola itu” menjadi ketaksamaan linear. Pertanyaannya menjadi apakah sebuah politop — bentuk bersisi datar — yang dibatasi oleh dua belas ketaksamaan semacam itu seluruhnya berada di atas sebuah mangkuk melengkung — dan untuk itu, cukup memeriksa titik-titik sudutnya. Program itu memeriksa seluruh 792 calon titik sudut, hanya menggunakan bilangan bulat dan pecahan eksak, tanpa toleransi numerik.

Ketika sebuah kotak gagal, kotak itu dipotong dua dan kedua belahannya dicoba lagi. Pada akhirnya, kubus itu terpotong menjadi 23.494 kotak, hingga 29 tingkat pembelahan, dan setiap kotak lolos. Jumlah volumenya tepat 1: tidak ada yang terlewat. Data dan program verifikasinya terbuka untuk umum. Para penulis mencatat bahwa program itu menggunakan aritmetika eksak tetapi bukan bukti formal yang diperiksa oleh asisten pembuktian (proof assistant).

Bagaimana gagasan itu muncul

Para penulis terbuka tentang cara mereka sampai ke sana. Versi sebelumnya dari karya mereka hanya mencapai delapan, dan memerlukan komputasi yang jauh lebih banyak; saat itu model bahasa hanya membantu dalam penulisan kode. Belakangan, mereka menjelajahi masalah itu dengan ChatGPT Astra, mula-mula mencari argumen yang murni analitik. Penjelajahan itu menghasilkan pendekatan yang bertumpu pada bola lingkaran luar, yang sangat memperkecil pencarian dengan komputer. Mereka juga menggunakan ChatGPT untuk penulisan kode dan penyuntingan, serta memeriksa sendiri setiap argumen matematis dan kode verifikasinya.

Dugaan Borsuk sendiri untuk empat dimensi, lima potongan, belum terbukti maupun terbantahkan. Dua langkah memisahkan batas baru itu darinya.