চার মাত্রায় সাতটি টুকরোই সবসময় যথেষ্ট

একটি আকৃতি নিন — বিন্দুর যেকোনো সীমাবদ্ধ সেট — আর তার যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে সবচেয়ে বড় দূরত্বকে বলুন তার ব্যাস (diameter)। এবার একে এমনভাবে টুকরো করুন যাতে প্রতিটি টুকরো পুরোটার চেয়ে কঠোরভাবে সরু হয়। আকৃতি যা-ই হোক, সবসময় কাজ করে এমন ন্যূনতম টুকরোর সংখ্যা কত?

n মাত্রায় এই সংখ্যাটিকে বলা হয় বোরসুক সংখ্যা (Borsuk number) b_n। 1933 সালে বোরসুক (Borsuk) প্রশ্ন তুলেছিলেন, এটি কি সবসময় n + 1-এর সমান? এর চেয়ে ছোট হতে পারে না: একটি সুষম সিমপ্লেক্সের (simplex) কোণগুলো — সমতলে একটি সমবাহু ত্রিভুজ, ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি সুষম চতুস্তলক — n + 1টি টুকরো চায়, কারণ যেকোনো দুটি কোণের মধ্যে দূরত্ব পুরো এক ব্যাস। আর এক, দুই ও তিন মাত্রায় n + 1-ই যথেষ্ট। 1993 সালে কান (Kahn) ও কালাই (Kalai) দেখান যে যথেষ্ট উঁচু মাত্রায় অনুমানটি ভুল।

প্রথম অমীমাংসিত ক্ষেত্র

চার মাত্রাই প্রথম জায়গা যেখানে উত্তরটা কেউ জানে না। লাসাকের (Lassak) একটি পুরোনো সাধারণ সীমা, 2ⁿ⁻¹ + 1, সেখানে সর্বোচ্চ নয়টি টুকরো দেয়। 2026 সালের শুরুর দিকে তোলমাচেভ (Tolmachev) ও ভোরোনভ (Voronov) কম্পিউটার-সহায়িত একটি নির্মাণ দিয়ে একে নামিয়ে আনেন আটে।

ইউনিভার্সিটি অব ম্যানিটোবার (University of Manitoba) এ. আরমান (A. Arman) ও এ. প্রিমাক (A. Prymak), নরওয়েজিয়ান ইউনিভার্সিটি অব সায়েন্স অ্যান্ড টেকনোলজির (Norwegian University of Science and Technology) এ. বোন্দারেঙ্কো (A. Bondarenko) এবং ইনস্টিটিউট দে ওত এতুদ সিয়াঁতিফিকের (Institut des Hautes Études Scientifiques) ডি. রাদচেঙ্কো (D. Radchenko) এখন এর চেয়েও জোরালো একটি বিবৃতি প্রমাণ করেছেন। চার মাত্রায় 1 ব্যাসের প্রতিটি সেটকে সাতটি বল দিয়ে ঢাকা যায়, যাদের সবার ব্যাস সমান এবং 0.9999-এর চেয়ে কঠোরভাবে কম। প্রতিটি বল সেটটির চেয়ে সরু, তাই প্রতিটি বিন্দুকে একটি বলের ভাগে দিলে সেটটি সাতটি সরুতর টুকরোয় কাটা হয়ে যায়: b₄ ≤ 7। উত্তর এখন পাঁচ থেকে সাতের মধ্যে কোথাও।

সবচেয়ে ছোট ঘিরে-রাখা বল থেকে শুরু

প্রমাণ শুরু হয় পরিবল (circumball) দিয়ে: সেটটিকে ধারণ করে এমন সবচেয়ে ছোট বল। য়ুঙের (Jung) একটি ধ্রুপদি উপপাদ্য সীমা বেঁধে দেয় এটি কত বড় হতে পারে — 1 ব্যাসের একটি সেটের জন্য এর ব্যাসার্ধ সর্বোচ্চ প্রায় 0.63 (তার বর্গ সর্বোচ্চ 2/5)। সেটটি পরিবলের পৃষ্ঠকে ছোঁয়, আর ছোঁয়ার সেই বিন্দুগুলোর মধ্যে সর্বোচ্চ পাঁচটিই বলটিকে জায়গামতো আটকে রাখতে যথেষ্ট; লেখকেরা এদের বলেন স্পর্শবিন্দু (contact points)। এই বিন্দুগুলো সীমিত করে দেয় সেটের বাকি অংশ কোথায় থাকতে পারে, কারণ এদের যেকোনোটি থেকে 1-এর বেশি দূরে কিছুই নেই।

লেখকেরা তারপর পরিবলের আকার অনুযায়ী সমস্যাটিকে তিনটি ক্ষেত্রে ভাগ করেন:

ছোট পরিবল: একটি নির্দিষ্ট, সুস্পষ্ট বিন্যাসে রাখা সাতটি বল পুরো পরিবলটিকেই ঢেকে দেয়, ভেতরের সেট যা-ই হোক। এটি হাতে-কলমে প্রমাণ করা হয়েছে।
বড় পরিবল: স্পর্শবিন্দু পাঁচটি। পাঁচটি বল, প্রতিটির কেন্দ্র মাঝের কেন্দ্র থেকে একটি স্পর্শবিন্দু পর্যন্ত পথের 9/20 অংশে, প্রায় সবকিছু ঢেকে দেয়; আরও দুটি বল ঢাকে যা বাকি থাকে, দুটি শঙ্কু-আকৃতির অঞ্চল। এটিও হাতে-কলমে প্রমাণিত।
মাঝামাঝি: একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ গড়া তিনটি স্পর্শবিন্দু প্রতিটি সম্ভাব্য সেটকে নামিয়ে আনে মাত্র চারটি সংখ্যা দিয়ে বর্ণনা করা যায় এমন আকৃতির একটি পরিবারে। এখানেই কম্পিউটারের প্রবেশ।

23,494টি বাক্স, কোনো আসন্নীকরণ নেই

চারটি সংখ্যা সম্ভাবনার একটি চার-মাত্রিক ঘনক ভরে তোলে। সেই ঘনকের প্রতিটি ছোট বাক্সের জন্য একটি সাংখ্যিক অনুসন্ধান সাতটি কেন্দ্র প্রস্তাব করে। তারপর একটি নির্ভুল পরীক্ষা যাচাই করে যে একই সাতটি বল বাক্সের প্রতিটি আকৃতিকে ঢেকে দেয়।

কৌশলটি গণনামূলক জ্যামিতির একটি ধ্রুপদি কৌশল: মূলবিন্দু থেকে দূরত্বের বর্গের সমান একটি পঞ্চম স্থানাঙ্ক যোগ করলে “এই বলের ভেতরে” আর “ওই বলের বাইরে” কথাগুলো সরলরৈখিক অসমতায় পরিণত হয়। প্রশ্নটি দাঁড়ায়, এমন বারোটি অসমতা দিয়ে কেটে বের করা একটি বহুতলক (polytope) — সমতল তলবিশিষ্ট একটি আকৃতি — পুরোপুরি একটি বাঁকা বাটির ওপরে বসে আছে কি না — আর তার জন্য এর কোণগুলো যাচাই করাই যথেষ্ট। প্রোগ্রামটি সবকটি 792টি সম্ভাব্য কোণ পরীক্ষা করে, কেবল পূর্ণসংখ্যা আর নির্ভুল ভগ্নাংশ ব্যবহার করে, কোনো সাংখ্যিক সহনসীমা ছাড়া।

কোনো বাক্স ব্যর্থ হলে সেটিকে দুই ভাগে কাটা হয় আর দুটি অর্ধেকই আবার চেষ্টা করা হয়। শেষ পর্যন্ত ঘনকটি কাটা হয়েছিল 23,494টি বাক্সে, অর্ধেক করার 29টি স্তর পর্যন্ত, আর প্রতিটিই উতরে গেছে। তাদের আয়তনের যোগফল ঠিক 1: কিছুই বাদ পড়েনি। ডেটা ও যাচাই-প্রোগ্রাম উন্মুক্ত। লেখকেরা উল্লেখ করেন যে প্রোগ্রামটি নির্ভুল পাটিগণিত ব্যবহার করে, কিন্তু এটি কোনো প্রমাণ-সহায়ক (proof assistant) দিয়ে যাচাই করা আনুষ্ঠানিক প্রমাণ নয়।

ধারণাটি কীভাবে এল

লেখকেরা খোলাখুলি জানান তাঁরা কীভাবে সেখানে পৌঁছেছেন। তাঁদের কাজের একটি আগের সংস্করণ কেবল আট পর্যন্ত পৌঁছেছিল, আর তাতে অনেক বেশি গণনা লাগত; ভাষা মডেলগুলো তখন কেবল কোড নিয়ে সাহায্য করেছিল। পরে তাঁরা ChatGPT Astra নিয়ে সমস্যাটি খতিয়ে দেখেন, প্রথমে খাঁটি বিশ্লেষণাত্মক যুক্তির খোঁজে। সেই অনুসন্ধান থেকেই পরিবলের ওপর গড়া পদ্ধতিটি আসে, যা কম্পিউটার-অনুসন্ধানকে উল্লেখযোগ্যভাবে ছোট করে দেয়। তাঁরা কোডিং ও সম্পাদনার জন্যও ChatGPT ব্যবহার করেছেন, আর প্রতিটি গাণিতিক যুক্তি ও যাচাই-কোড নিজেরা যাচাই করেছেন।

চার মাত্রার জন্য বোরসুকের নিজের অনুমান, পাঁচটি টুকরো, এখনো প্রমাণিতও হয়নি, খণ্ডিতও হয়নি। নতুন সীমা থেকে তা দুই ধাপ দূরে।