چار ڈائمینشناں وچ، ست ٹوٹے ہمیشہ کافی نیں
اک شکل لوو — نقطیاں دا کوئی وی حد والا مجموعہ (bounded set) — تے اوہدے کسے وی دو نقطیاں وچکار سب توں وڈے فاصلے نوں اوہدا قطر (diameter) آکھو۔ ہُن اوہنوں اجیہے ٹوٹیاں وچ کٹو کہ ہر ٹوٹا پوری شکل نالوں سچ مچ گھٹ چوڑا ہووے۔ ٹوٹیاں دی سب توں نکی گنتی کیہ اے جو ہمیشہ کم کردی اے، شکل بھاویں کوئی وی ہووے؟
n ڈائمینشناں وچ، ایس گنتی نوں Borsuk نمبر (Borsuk number) b_n آکھدے نیں۔ 1933 وچ، Borsuk نے پچھیا کہ کیہ ایہہ ہمیشہ n + 1 دے برابر ہوندا اے۔ ایہہ ایس توں نکا نہیں ہو سکدا: اک باقاعدہ سمپلیکس (regular simplex) دے کونے — سطح اُتے برابر ضلعاں والی تکون، خلا وچ باقاعدہ ٹیٹراہیڈرن (tetrahedron) — n + 1 ٹوٹے منگدے نیں، کیونکہ کوئی وی دو کونے اک دوجے توں پورے قطر جِنے دُور نیں۔ تے اک، دو تے تِن ڈائمینشناں وچ n + 1 کافی اے۔ 1993 وچ، Kahn تے Kalai نے وکھایا کہ کافی ودھ ڈائمینشناں وچ ایہہ اٹکل غلط نکلدی اے۔
پہلا کھلا کیس
چار ڈائمینشناں پہلی تھاں اے جتھے کسے نوں جواب نہیں پتہ۔ Lassak دی اک پرانی عام حد، 2ⁿ⁻¹ + 1، اوتھے ودھ توں ودھ نَو ٹوٹے دیندی اے۔ 2026 دے شروع وچ، Tolmachev تے Voronov نے کمپیوٹر دی مدد نال کیتی اک بنتر نال ایہنوں اٹھ تیکر تھلے لے آندا۔
یونیورسٹی آف مینیٹوبا (University of Manitoba) دے A. Arman تے A. Prymak، ناروے دی یونیورسٹی آف سائنس اینڈ ٹیکنالوجی (Norwegian University of Science and Technology) دے A. Bondarenko تے Institut des Hautes Études Scientifiques دے D. Radchenko ہُن اک ہور تکڑا بیان ثابت کردے نیں۔ چار ڈائمینشناں وچ قطر 1 والے ہر مجموعے نوں ست گولیاں نال ڈھکیا جا سکدا اے، سارے اکو قطر والے، جو 0.9999 توں سچ مچ گھٹ اے۔ ہر گولا مجموعے نالوں گھٹ چوڑا اے، ایس لئی ہر نقطے نوں کسے اک گولے دے حوالے کرن نال مجموعہ ست گھٹ چوڑے ٹوٹیاں وچ کٹیا جاندا اے: b₄ ≤ 7۔ جواب ہُن پنج تے ست دے وچکار کِتے اے۔
سب توں نکے گھیرن والے گولے توں شروع کرو
ثبوت گھیرن والے گولے (circumball) توں شروع ہوندا اے: اوہ سب توں نکا گولا جیہدے وچ مجموعہ آ جاندا اے۔ Jung دا اک کلاسیکی تھیورم (theorem) حد لاندا اے کہ ایہہ کِنا وڈا ہو سکدا اے — قطر 1 والے مجموعے لئی ایہدا رداس ودھ توں ودھ لگ بھگ 0.63 اے (تے ایہدا مربع ودھ توں ودھ 2/5)۔ مجموعہ گھیرن والے گولے دی سطح نوں چھوہندا اے، تے اوہناں چھوہن والیاں تھاواں وچوں ودھ توں ودھ پنج گولے نوں اوہدی تھاں ٹکاؤن لئی کافی نیں؛ لکھاری اوہناں نوں چھوہن والے نقطے (contact points) آکھدے نیں۔ ایہہ نقطے حد لاندے نیں کہ باقی مجموعہ کتھے ہو سکدا اے، کیونکہ کوئی وی شے اوہناں وچوں کسے توں 1 نالوں ودھ دُور نہیں۔
فیر لکھاری، گھیرن والے گولے دے سائز دے حساب نال، مسئلے نوں تِن کیساں وچ ونڈدے نیں:
- نکا گھیرن والا گولا: اک پکی، صاف دسی ترتیب وچ ست گولے پورے گھیرن والے گولے نوں ڈھک لیندے نیں، اندر مجموعہ بھاویں کوئی وی ہووے۔ ایہہ ہتھ نال ثابت کیتا گیا اے۔
- وڈا گھیرن والا گولا: پنج چھوہن والے نقطے ہوندے نیں۔ پنج گولے، ہر اک دا مرکز، مرکز توں کسے اک چھوہن والے نقطے تیکر دے رستے دے 9/20 اُتے، لگ بھگ سب کجھ ڈھک لیندے نیں؛ دو ہور گولے جو بچدا اے اوہنوں ڈھکدے نیں، دو کون (cone) ورگے حصے۔ ایہہ وی ہتھ نال ثابت کیتا گیا اے۔
- وچکار: تِکھے کونیاں والی تکون بناؤن والے تِن چھوہن والے نقطے ہر ممکن مجموعے نوں اجیہیاں شکلاں دے اک ٹبر تیکر گھٹا دیندے نیں جو صرف چار نمبراں نال بیان ہوندیاں نیں۔ اوتھے کمپیوٹر آؤندا اے۔
23,494 ڈبے، کوئی گولائی نہیں
ایہہ چار نمبر امکاناں دا اک چار ڈائمینشنی مکعب (cube) بھردے نیں۔ اوس مکعب دے ہر نکے ڈبے لئی، اک عددی (numerical) کھوج ست مرکز تجویز کردی اے۔ فیر اک پکا ٹیسٹ جانچدا اے کہ اوہو ست گولے ڈبے دی ہر شکل نوں ڈھکدے نیں۔
چال حسابی جیومیٹری (computational geometry) دی اک کلاسیکی گل اے: اک پنجواں کوآرڈینیٹ (coordinate) جوڑنا جو مبدا (origin) توں فاصلے دے مربع دے برابر ہووے، «ایس گولے دے اندر» تے «اوس گولے دے باہر» نوں پدھریاں (لکیری) نامساواتاں (inequalities) وچ بدل دیندا اے۔ سوال ایہہ بن جاندا اے کہ کیہ ایہو جیہیاں بارہ نامساواتاں نال کٹیا گیا اک پولی ٹوپ (polytope) — پدھرے پاسیاں والی اک شکل — پورے دا پورا اک ونگے کٹورے توں اُتے اے — تے ایہدے لئی، اوہدے کونے جانچنا کافی اے۔ پروگرام سارے 792 امیدوار کونے جانچدا اے، صرف پورے نمبر تے پکیاں کسراں ورت کے، بنا کسے عددی چھوٹ (numerical tolerance) دے۔
جدوں کوئی ڈبا فیل ہوندا اے، اوہنوں دو حصیاں وچ کٹیا جاندا اے تے دوہاں اَدھاں نوں فیر جانچیا جاندا اے۔ اخیر وچ، مکعب 23,494 ڈبیاں وچ کٹیا گیا، اَدھا کرن دے 29 درجیاں تیکر، تے ہر اک پاس ہو گیا۔ اوہناں دے حجماں دا جوڑ ٹھیک 1 بندا اے: کجھ وی باہر نہیں رہ گیا۔ ڈیٹا تے جانچ والا پروگرام سب لئی کھلے نیں۔ لکھاری دسدے نیں کہ پروگرام پکا حساب ورتدا اے پر ایہہ کسے ثبوت جانچن والے پروگرام (proof assistant) دا جانچیا ہویا رسمی ثبوت نہیں۔
خیال کیویں آیا
لکھاری کھل کے دسدے نیں کہ اوہ اوتھے کیویں اپڑے۔ اوہناں دے کم دا اک پہلا روپ صرف اٹھ تیکر اپڑیا سی، تے اوہنوں کِتے ودھ حساب لوڑیندا سی؛ اوس ویلے زبان دے ماڈلاں نے صرف کوڈ وچ مدد کیتی۔ بعد وچ اوہناں نے ChatGPT Astra نال مسئلے نوں کھنگالیا، پہلاں خالص تجزیاتی (analytic) دلیلاں لبھدے ہوئے۔ اوس کھنگال نے اوہناں نوں گھیرن والے گولے اُتے بنے طریقے تیکر اپڑایا، جیہنے کمپیوٹر دی کھوج نوں بہت گھٹا دتا۔ اوہناں نے ChatGPT کوڈ لکھن تے لکھت سنوارن لئی وی ورتیا، تے ہر ریاضیاتی دلیل تے جانچ والا کوڈ آپ جانچیا۔
چار ڈائمینشناں لئی Borsuk دی اپنی اٹکل، پنج ٹوٹے، نہ ثابت ہوئی اے نہ غلط۔ نویں حد تے اوہدے وچکار دو قدم نیں۔