चार मितींमध्ये, सात तुकडे नेहमीच पुरतात

एक आकार घ्या — बिंदूंचा कोणताही परिबद्ध संच (bounded set) — आणि त्याच्या कोणत्याही दोन बिंदूंमधील सर्वांत मोठ्या अंतराला त्याचा व्यास म्हणा. आता त्याचे असे तुकडे करा की प्रत्येक तुकडा संपूर्ण आकारापेक्षा काटेकोरपणे अरुंद असेल. आकार कोणताही असो, नेहमी चालणारी तुकड्यांची सर्वांत लहान संख्या कोणती?

n मितींमधील त्या संख्येला Borsuk संख्या b_n म्हणतात. 1933 मध्ये, Borsuk यांनी विचारले की ती नेहमी n + 1 इतकी असते का. ती यापेक्षा लहान असू शकत नाही: नियमित सिम्प्लेक्सच्या (regular simplex) कोपऱ्यांना — प्रतलातील समभुज त्रिकोण, अवकाशातील नियमित चतुष्फलक — n + 1 तुकडे लागतात, कारण कोणतेही दोन कोपरे एकमेकांपासून पूर्ण व्यासाइतक्या अंतरावर असतात. आणि एक, दोन आणि तीन मितींमध्ये n + 1 पुरेसे आहेत. 1993 मध्ये, Kahn आणि Kalai यांनी दाखवले की पुरेशा उच्च मितींमध्ये हा अंदाज चुकतो.

पहिले खुले प्रकरण

चार मिती हे पहिले ठिकाण आहे जिथे कोणालाच उत्तर माहीत नाही. Lassak यांची एक जुनी सर्वसाधारण मर्यादा, 2ⁿ⁻¹ + 1, तिथे जास्तीत जास्त नऊ तुकडे देते. 2026 मध्ये याआधी, Tolmachev आणि Voronov यांनी संगणकाच्या साहाय्याने केलेल्या एका रचनेद्वारे ती आठ पर्यंत खाली आणली.

मॅनिटोबा विद्यापीठाचे A. Arman आणि A. Prymak, नॉर्वेजियन युनिव्हर्सिटी ऑफ सायन्स अँड टेक्नॉलॉजीचे A. Bondarenko आणि Institut des Hautes Études Scientifiques या संस्थेचे D. Radchenko आता एक अधिक सशक्त विधान सिद्ध करतात. चार मितींमधील व्यास 1 असलेला प्रत्येक संच सात गोलांनी झाकता येतो; सर्व गोलांचा व्यास सारखाच असून तो 0.9999 पेक्षा काटेकोरपणे कमी असतो. प्रत्येक गोल संचापेक्षा अरुंद आहे, त्यामुळे प्रत्येक बिंदू एका गोलाला नेमून दिल्यास संचाचे सात अरुंद तुकडे होतात: b₄ ≤ 7. उत्तर आता पाच आणि सात यांच्या दरम्यान कुठेतरी आहे.

सर्वांत लहान वेढणाऱ्या गोलापासून सुरुवात

सिद्धता परिगोलापासून (circumball) सुरू होते: संच सामावून घेणारा सर्वांत लहान गोल. Jung यांचे एक अभिजात प्रमेय तो किती मोठा असू शकतो यावर मर्यादा घालते — व्यास 1 असलेल्या संचासाठी, त्याची त्रिज्या जास्तीत जास्त सुमारे 0.63 असते (तिचा वर्ग जास्तीत जास्त 2/5). संच परिगोलाच्या पृष्ठभागाला स्पर्श करतो, आणि अशा स्पर्श करणाऱ्या बिंदूंपैकी जास्तीत जास्त पाच बिंदू गोल जागेवर पक्का करण्यास पुरेसे असतात; लेखक त्यांना स्पर्शबिंदू म्हणतात. हे बिंदू संचाचा उरलेला भाग कुठे असू शकतो यावर बंधन घालतात, कारण त्यांपैकी कोणत्याही बिंदूपासून 1 पेक्षा अधिक दूर काहीच नसते.

मग लेखक परिगोलाच्या आकारानुसार समस्येची तीन प्रकरणांत विभागणी करतात:

लहान परिगोल: एका निश्चित, स्पष्ट मांडणीतील सात गोल, आत संच कोणताही असो, संपूर्ण परिगोल झाकतात. हे हाताने सिद्ध केले आहे.
मोठा परिगोल: पाच स्पर्शबिंदू असतात. पाच गोल, प्रत्येकाचा मध्य केंद्रापासून एका स्पर्शबिंदूपर्यंतच्या अंतराच्या 9/20 वर असलेला, जवळजवळ सर्व काही झाकतात; उरलेला भाग, म्हणजे शंकूच्या आकाराचे दोन प्रदेश, आणखी दोन गोल झाकतात. हेही हाताने सिद्ध केले आहे.
मधले प्रकरण: लघुकोन त्रिकोण बनवणारे तीन स्पर्शबिंदू, प्रत्येक शक्य संचाला केवळ चार संख्यांनी वर्णन होणाऱ्या आकारांच्या एका कुळापर्यंत आणून ठेवतात. इथेच संगणक येतो.

23,494 खोकी, कोणतेही पूर्णांकन नाही

या चार संख्या शक्यतांचा एक चार-मितीय घन भरतात. त्या घनाच्या प्रत्येक लहान खोक्यासाठी, एक संख्यात्मक शोध सात केंद्रे सुचवतो. मग एक अचूक चाचणी तपासते की तेच सात गोल त्या खोक्यातील प्रत्येक आकार झाकतात.

ही युक्ती संगणकीय भूमितीतील एक अभिजात युक्ती आहे: आरंभबिंदूपासूनच्या अंतराच्या वर्गाइतका पाचवा निर्देशक जोडल्याने “या गोलाच्या आत” आणि “त्या गोलाच्या बाहेर” यांचे सपाट (रेषीय) असमतांमध्ये रूपांतर होते. प्रश्न असा बनतो: अशा बारा असमतांनी कापून काढलेला बहुपृष्ठक (polytope) — सपाट पृष्ठे असलेला आकार — संपूर्णपणे एका वक्र वाडग्याच्या वर बसतो का — आणि त्यासाठी, त्याचे कोपरे तपासणे पुरेसे आहे. प्रोग्राम सर्व 792 संभाव्य कोपरे तपासतो, केवळ पूर्ण संख्या आणि अचूक अपूर्णांक वापरून, कोणत्याही संख्यात्मक सहनशीलतेशिवाय (numerical tolerance).

एखादे खोके अपयशी ठरले, तर त्याचे दोन भाग केले जातात आणि दोन्ही अर्धे पुन्हा तपासले जातात. शेवटी, घनाचे 23,494 खोक्यांमध्ये विभाजन झाले, अर्धे करण्याच्या 29 पातळ्यांपर्यंत, आणि प्रत्येक खोके उत्तीर्ण झाले. त्यांच्या घनफळांची बेरीज नेमकी 1 होते: काहीही सुटलेले नाही. डेटा आणि पडताळणी प्रोग्राम सार्वजनिक आहेत. लेखक नमूद करतात की प्रोग्राम अचूक अंकगणित वापरतो, पण सिद्धता-सहायकाने (proof assistant) तपासलेली ती औपचारिक सिद्धता नाही.

कल्पना कशी सुचली

ते इथवर कसे पोहोचले याबद्दल लेखक मोकळेपणाने सांगतात. त्यांच्या कामाची आधीची आवृत्ती केवळ आठपर्यंत पोहोचली होती, आणि तिला कितीतरी अधिक गणन लागले होते; तेव्हा भाषा मॉडेल्सनी केवळ कोडमध्ये मदत केली. नंतर त्यांनी ChatGPT Astra सोबत या समस्येचा शोध घेतला, सुरुवातीला निव्वळ विश्लेषणात्मक युक्तिवाद शोधत. त्या शोधातून परिगोलावर आधारित दृष्टिकोन पुढे आला, ज्याने संगणकीय शोध बराच आकसला. त्यांनी कोडिंग आणि संपादनासाठीही ChatGPT वापरले, आणि प्रत्येक गणितीय युक्तिवाद आणि पडताळणी कोड स्वतः तपासला.

Borsuk यांचा स्वतःचा चार मितींसाठीचा अंदाज, पाच तुकडे, अजूनही ना सिद्ध झाला आहे, ना खोडला गेला आहे. नव्या मर्यादेपासून तो दोन पायऱ्या दूर आहे.