৩০ অক্টোবর, ২০২৬ তারিখের সংস্করণ

যে-কোনো মানচিত্রের জন্য চারটি রং যথেষ্ট, যাতে প্রতিবেশীরা সবসময় আলাদা হয়। এটি প্রমাণিত হয় 1976 সালে। কিন্তু আসলে রংগুলো খুঁজে বের করবেন কীভাবে?

ধ্রুপদি হাতিয়ার হলো কেম্পে শিকল। দুটি রং বেছে নিন, আর শুধু সেই দুটি রঙে রাঙানো দেশগুলোর পুরো সংযুক্ত অংশটি ধরুন। পুরো অংশ জুড়ে তাদের অদলবদল করুন: মানচিত্র ঠিকঠাক রঙিনই থাকে।

সমস্যা হলো: একটি অদলবদল পুরো মানচিত্রে ছড়িয়ে পড়তে পারে। আগের রেকর্ডে মানচিত্র বড় হলে আরও বেশি অদলবদল লাগত। প্রতিটির খরচ ছিল পুরো মানচিত্রের ওপর দিয়ে একবার যাওয়া।

টোকিও থেকে কোপেনহেগেন পর্যন্ত ছয়জন গণিতবিদ সেই বাড়তি খরচ সরিয়ে দিয়েছেন। তাঁদের অ্যালগরিদম n-টি দেশকে রং করে n-এর সমানুপাতিক সময়ে। মানচিত্রের ছোট টুকরোগুলো একবার সমাধান করে সারণিতে রাখা হয়, তারপর শুধু দেখে নেওয়া হয়। লেখকেরা এই গতিকে সর্বোত্তম বলেন।

সূত্র: Four-Coloring Planar Graphs in Linear Time, https://arxiv.org/abs/2610.39753

কোনো তারা শ্বেত বামন হয়ে গেলে তার কিছু গ্রহ টিকে যায়। তাদের চূর্ণবিচূর্ণ ধ্বংসাবশেষ ধুলো আর গ্যাস হয়ে সেই অবশেষের চারপাশে ঘুরতে পারে। জ্যোতির্বিদেরা এমন 21টি গ্যাস-চাকতি জানতেন।

21টিই তাদের আলোয় একইভাবে সই করে: প্রতিটি রেখায় দুটি শিখর। একটি শিখর আমাদের দিকে আসা গ্যাসের, একটি দূরে সরে যাওয়া গ্যাসের। WD J1328−1450-এর চারপাশে ক্যালসিয়ামের প্রতিটি রেখা দেখায় চারটি।

চারটি শিখর মানে গ্যাসের দুটি বলয়, মাঝে একটি ফাঁকা খাঁজ। ভেতরের বলয়টি দ্রুত ঘোরে, কেপলারের সূত্র যেমন দাবি করে। আর ম্যাগনেসিয়াম জ্বলে কেবল ভেতরের বলয়ে।

দুটি বলয়কে, যাদের প্রত্যেকে নিজের গ্যাস নিজেই তৈরি করে, আলাদা রাখে কী? লেখকেরা প্রতিটি বলয়ের ভেতরে টিকে থাকা একটি করে কঠিন বস্তুর প্রস্তাব দেন। ভেতরেরটি বড়জোর একটি গ্রহাণুর আকারের হবে। বাইরেরটি প্লুটোর মতো বড় হতে পারে।

সূত্র: A double debris disc around a white dwarf sculpted by two planetary bodies, https://arxiv.org/abs/2610.37773

"এই সপ্তাহে কি আমি তিনবার জিমে যাব?" Manifold নামের একটি পূর্বাভাস-সাইটে, যেখানে খেলার টাকা ব্যবহার হয়, অপরিচিতরা এমন প্রশ্নে বাজি ধরেন। পরীক্ষাগারের গবেষণা বলে, দর্শকেরা আমাদের পরিকল্পনাকে আমাদের চেয়ে ঠান্ডা মাথায় বিচার করেন।

তিনজন গবেষক মানুষের নিজস্ব লক্ষ্য নিয়ে এমন 6,150টি বাজার বিশ্লেষণ করেছেন। দাম গড়ে "হ্যাঁ"-কে 49.4% সম্ভাবনা দিয়েছিল; বাস্তবে তা ঘটেছে 45.0% ক্ষেত্রে। বাইরের ঘটনা নিয়ে বাজিগুলো ছিল প্রায় নির্ভুল।

বাজার খোলার সময় এই বাড়তি আশা ছিল না। লেনদেনের প্রথম দিনের মধ্যেই তা দেখা দেয়, এমনকি ব্যক্তিটি কখনো বাজি না ধরলেও। দর্শকেরা ঘটনাগুলোর দাম তাদের স্বাভাবিক সম্ভাবনায় নামিয়ে আনেন, কিন্তু ব্যক্তিগত লক্ষ্যের ক্ষেত্রে নয়।

সংশোধন এসেছে দেরিতে, আর তার বড় অংশ ব্যক্তির নিজের কাছ থেকে। সত্যের দিকে দামের সরণের 38% জুগিয়েছে তাঁর নিজের বাজি। অতীতের বাজার থেকে শেখা একটি সংশোধন পরের পূর্বাভাসকে মাত্র 1.5% উন্নত করে।

সূত্র: Crowds Believe in You: Online Prediction Markets Overestimate How Often People Achieve Their Own Goals, https://arxiv.org/abs/2610.40324

নরম উপাদানে শক্ত দানা মেশালে তা শক্ত হয়। কিন্তু তত্ত্ব একটি সীমা বেঁধে দেয়। আয়তনের এক-দশমাংশ ভরাট করা দানা বড়জোর 25% শক্তি যোগ করে।

একটি মার্কিন–জার্মান দল তার বদলে ডিএনএ-র তরল ফোঁটা ব্যবহার করে দেখেছে। তারা সেগুলো জন্মিয়েছে অ্যাক্টিনের একটি জটের ভেতরে — পেশি থেকে নেওয়া তন্তু। ফোঁটাগুলো আয়তনের এক-দশমাংশেরও কম জায়গা নিয়েছিল।

10 °C-এ ঠান্ডা করলে মিশ্রণটি 25 গুণ শক্ত হয়ে যায়। 25% নয়: 25 গুণ! 31 °C-এর ওপরে গরম করুন, ফোঁটাগুলো গলে যায়, আর এটি আবার নরম হয়ে যায়। এই রূপান্তরে লাগে প্রায় দশ মিনিট, আর তা বারবার কাজ করে।

ফোঁটাগুলো কীভাবে সীমা ছাড়িয়ে যায়? তন্তুগুলো প্রতিটি ফোঁটার মধ্য দিয়ে সোজা চলে যায় এবং ভেতরে আঁকড়ে ধরা থাকে। উপাদানটিতে কর্তন-বল (shear) প্রয়োগ করলে প্রতিটি ফোঁটা ঘোরে এবং নিজের তন্তুগুলোকে টেনে নিয়ে যায়। তার নাগাল দ্বিগুণ হয়, আর ফোঁটাগুলো জুড়ে গিয়ে একটি অনমনীয় জাল তৈরি করে।

সূত্র: Extraordinary stiffening and reciprocal control in a DNA condensate/actin composite, https://arxiv.org/abs/2610.38504

এমন একটি নেটওয়ার্ক নিন যেখানে যে-কোনো দুটি বিন্দু বড়জোর দুটি সংযোগ দূরে। একটি নিয়ম যোগ করুন: যে-কোনো একটি সংযোগ কাটলেই তা ভেঙে যেতে হবে। এমন নেটওয়ার্কে বড়জোর কতগুলো সংযোগ থাকতে পারে?

মূর্তি–সাইমন অনুমান সীমাটি ঠিক করে: বিন্দুর সংখ্যার বর্গ, চার দিয়ে ভাগ। দশটি বিন্দু, বড়জোর 25টি সংযোগ। কেবল একটি নেটওয়ার্কই সেখানে পৌঁছায়। যতটা সম্ভব সমান দুটি দল, প্রতিটি বিন্দু অন্য দলের প্রতিটি বিন্দুর সঙ্গে যুক্ত।

1992 সালে Zoltán Füredi এটি প্রমাণ করেন, কিন্তু কেবল বিশালাকার নেটওয়ার্কের জন্য। তাদের দরকার ছিল প্রায় 10¹⁴ তলা উঁচু 2-এর একটি মিনারের চেয়েও বেশি বিন্দু। প্রতিটি তলা 2-কে তার ওপরের সবকিছুর ঘাতে তোলে।

স্ট্যানফোর্ডের Sanjana Das ও Jacob Fox এখন এটি প্রতিটি আকারের জন্য প্রমাণ করেছেন। একটি এআই, GPT-5.6 Sol, প্রমাণের বেশিরভাগ খুঁজে পেয়েছে। তাঁদের নিজস্ব যুক্তি দেখায় যে কেবল দুই-দলের নেটওয়ার্কটিই সীমায় পৌঁছায়।

সূত্র: A proof of the Murty–Simon conjecture on diameter-2-critical graphs, https://arxiv.org/abs/2610.39032

দুটি প্রোটন, দুটি ইলেকট্রন: হাইড্রোজেন অণুই সবচেয়ে সরল অণু। একে দুই ভাগ করতে কত শক্তি লাগে? 1913 সালে বোরের অনুমান প্রায় 40% কম পড়েছিল।

পদার্থবিদেরা এমন শক্তিকে আলোর কম্পাঙ্ক হিসেবে, হার্ৎজে, মাপেন। ETH জুরিখ ও VU আমস্টারডামের একটি দল অণুটির শক্তির সিঁড়ি বেয়ে উঠেছে। সেই আরোহণ করেছে লেজার আর মিলিমিটার তরঙ্গ, ধাপে ধাপে।

H₂ ভাঙার শক্তি এখন জানা 175 কিলোহার্ৎজের মধ্যে। তা হলো এক হাজার কোটিতে প্রায় 1.6 ভাগ। সেরা গণনাগুলো এর চেয়ে পাঁচ গুণেরও বেশি কম নির্ভুল।

হাইড্রোজেন দুটি রূপে আসে, যাদের প্রোটন ভিন্নভাবে ঘূর্ণন (spin) করে। তাদের মধ্যকার শক্তির ব্যবধান তত্ত্বের সঙ্গে মেলে। তাদের আলাদা করা যে-কোনো অজানা পদার্থবিদ্যা 540 কিলোহার্ৎজের নিচে থাকে। তত্ত্বের এখন তার α⁷ সংশোধনের পূর্ণ গণনা দরকার।

সূত্র: Ionization and Dissociation Energies of Molecular Hydrogen, https://arxiv.org/abs/2610.40359

2009 সালে তাত্ত্বিকেরা ভবিষ্যদ্বাণী করেছিলেন, যে আলোর ক্ষেত্র বৃত্তাকারে ঘোরে তা গ্রাফিনকে বদলে দিতে পারে। গ্রাফিন হয়ে উঠবে একটি টপোলজিক্যাল অন্তরক, যার সংজ্ঞা তার ইলেকট্রন-তরঙ্গের আকার।

এটি যাচাই করা কঠিন ছিল। গ্রাফিনে ইলেকট্রনেরা অত্যন্ত দ্রুত সংঘর্ষ করে, যা প্রভাবটিকে ঝাপসা করে দিতে পারে। এর ব্যান্ডের ছবি তোলা আগের পরীক্ষাগুলোতে সামনে-পেছনে দোলা আলো ব্যবহার হয়েছিল। সেই আলো এই অবস্থা তৈরি করতে পারে না।

বোর্দো থেকে পরিচালিত একটি দল গ্রাফিনে 135 ফেমটোসেকেন্ডের অবলোহিত স্পন্দন ফেলেছে। এক ফেমটোসেকেন্ড হলো এক সেকেন্ডের দশ লক্ষ শত কোটি ভাগের এক ভাগ। প্রতিটি স্পন্দনের সময় চরম-অতিবেগুনি ঝলক ইলেকট্রনগুলোকে ছিটকে বের করেছে, তাদের অবস্থা পড়ার জন্য।

গ্রাফিনের শক্তি-ব্যান্ডগুলো যেখানে মেলে, সেই বিন্দুর কাছে একটি নতুন সংকেত দেখা দিয়েছে। আলো উল্টো দিকে ঘুরলেই তার চিহ্ন উল্টে গেছে। ইলেকট্রন-শক্তিতে প্রত্যাশিত ফাঁকটি অদৃশ্যই থেকেছে; এই উল্টে যাওয়াই তাঁদের প্রমাণ।

সূত্র: Observation of light-induced topological state in graphene, https://arxiv.org/abs/2610.39695

এক্সাইটন হলো একটি হোলের — অর্থাৎ একটি অনুপস্থিত ইলেকট্রনের — সঙ্গে বাঁধা একটি ইলেকট্রন। এই জোড়ের কোনো বৈদ্যুতিক আধান নেই। যথেষ্ট ঠান্ডা করলে এক্সাইটনেরা একটি অতিতরল গড়তে পারে, যা একটিমাত্র কোয়ান্টাম তরঙ্গের মতো চলে।

এই নিস্তড়িৎ স্বভাবের কারণেই তাদের অতিতরল দেখা কঠিন। প্রিন্সটনের একটি দল একটি প্রবল চৌম্বকক্ষেত্রে গ্রাফিনের দুটি স্তর 3.2 ন্যানোমিটার ব্যবধানে একটির ওপর আরেকটি রেখেছে। এক স্তরের ইলেকট্রন অন্য স্তরের হোলের সঙ্গে জোড় বেঁধেছে।

তারপর দলটি সামান্য বাড়তি আধান যোগ করে। তত্ত্ব বলেছিল, তা ক্ষুদ্র ঘূর্ণিতে গিয়ে বসবে, একটি জালকে আটকে। একটি টানেলিং অণুবীক্ষণ আধানের এমন একটি জালক পেয়েছে যার ব্যবধান তত্ত্বের সঙ্গে মিলে যায়।

এক স্তর থেকে অন্য স্তরে আধান সরালেও সেই ব্যবধান বদলায়নি। ওপরের স্তরে ইলেকট্রনের কোনো স্ফটিক থাকলে তা বদলে যেত। এটি এমন জোড়ের দিকে ইঙ্গিত করে যারা একই কোয়ান্টাম ছন্দ ভাগ করে নেয়।

সূত্র: Evidence for a charged vortex lattice in an exciton superfluid, https://arxiv.org/abs/2610.37781

1991 সালের 11 জুলাই একটি মহাকাশ মানমন্দির গামা রশ্মির একটি ঝলক ধরেছিল। তার উজ্জ্বল শিখরটি টিকেছিল প্রায় দশ মিলিসেকেন্ড। তার উৎস? দুটি ঘন তারার মিলন, নাকি একটি ম্যাগনেটার।

ম্যাগনেটার হলো অতি-প্রবল চৌম্বকক্ষেত্রওয়ালা একটি নিউট্রন তারা। 2020 সালে কাছের একটি ছায়াপথে এমন একটি তারা থেকে একটি দানবীয় বিস্ফোরণ ঘটে। চীন ও যুক্তরাষ্ট্রের একটি দল দুটি ঝলকের তুলনা করেছে।

একই আকার: একটি তীক্ষ্ণ শিখর, তারপর একটি ক্ষীণ লেজ। ছন্দও একই। দুটিই সেকেন্ডে প্রায় 360 বারের পূর্ণ গুণিতকে উজ্জ্বল ও ম্লান হয়। এই স্পন্দনগুলো পরস্পর-যুক্ত দেখায়, যেন একটি সুরের উপসুর (overtones)।

লেখকদের মতে, ম্যাগনেটার-বিস্ফোরণ এটিকে মিলনের চেয়ে সহজে ব্যাখ্যা করে। তবে তাঁরা একে প্রমাণিত বলা থেকে বিরত থাকেন। কাছের সতেরোটি ছায়াপথ এর সম্ভাব্য আশ্রয়স্থল।

সূত্র: Harmonic brightness oscillations point to magnetar giant flares in rare short gamma-ray bursts, https://arxiv.org/abs/2610.39130

ছয়টি ছক্কা, একটি চক্র। প্রথমটি দ্বিতীয়টিকে হারায়, দ্বিতীয়টি তৃতীয়টিকে, এভাবে চলতে থাকে। তারপর ষষ্ঠটি প্রথমটিকে হারায়। কোনো ছক্কাই সেরা নয়।

নিয়মগুলো কড়া। ছয়টি তল, প্রতিটিতে 1 থেকে 6-এর একটি মান, পুনরাবৃত্তি চলবে। প্রতিটি জয় আসে সম্ভাব্য সবচেয়ে সরু ব্যবধানে: 36-এর মধ্যে 19টি দ্বৈরথ।

মন্ট্রিয়ল বিশ্ববিদ্যালয়ের Terry Easlick এমন সব 462টি ছক্কা একটি কম্পিউটার দিয়ে বাছাই করিয়েছেন। তিন, চার বা পাঁচ তলে, সবচেয়ে সরু ব্যবধানে কোনো চক্রই তৈরি হয় না। ছয় তলে ঠিক দুটি চক্র আছে।

চক্র দুটি পরস্পরের দর্পণ-প্রতিবিম্ব। প্রতিটি তল v-কে 7 − v করে দিন, তীরগুলো উল্টে দিন: অন্যটি পেয়ে যাবেন। সাত থেকে দশ তলে চক্রগুলো তলের সংখ্যার চেয়ে লম্বা হয়ে যায়। ছয়ই কি একমাত্র সংখ্যা যা খাপ খায়? তা এখনো একটি অনুমান।

সূত্র: Computer-Assisted Results for n-Sided Non-Transitive Dice Taking Face Values in [n], https://arxiv.org/abs/2610.40321

বিশাল সংঘর্ষের পর তরুণ পৃথিবী সম্ভবত গলিত পাথরের একটি মহাসাগরে ঢাকা ছিল। তার ওপরে ছিল একটি ঘন বায়ুমণ্ডল, মূলত হাইড্রোজেনের। গভীরে প্রচণ্ড চাপ লোহাকে ধাতু আর জারিত লোহায় ভাগ করে দিত। ধাতুটি কেন্দ্রমণ্ডলে ডুবে যেত।

হাইড্রোজেন আর জারিত লোহা মিলে জল তৈরি করে। কিন্তু গলিত পাথরে হাইড্রোজেন খুব ধীরে চুইয়ে ঢোকে। তাহলে এই রসায়ন কি গুরুত্বপূর্ণ হতে পারত? জাপানের একটি দল তা জানতে একটি মডেল তৈরি করেছে।

উত্তর লুকিয়ে আছে ম্যাগমার ওপরের ত্বকে। ওপর থেকে ঠান্ডা হয়ে তা মোটামুটি প্রতি মিনিটে ডুবে যায়। নতুন গলিত পদার্থ তার জায়গা নেয় এবং হাইড্রোজেন শুষে নিতে থাকে। বেশিরভাগ হাইড্রোজেন প্রায় 10,000 বছরের মধ্যে জলে পরিণত হয়।

ম্যাগমা মহাসাগর যত গভীর, তত বেশি জল সে তৈরি করে। লেখকেরা লিখেছেন, যথেষ্ট হাইড্রোজেন থাকলে এটি পৃথিবীর জলের হিসাব ব্যাখ্যা করতে পারে। আর আকাশ হাইড্রোজেনে সমৃদ্ধই থেকে যেত।

সূত্র: Coupled evolution of Earth's H2-rich proto-atmosphere and oxidized magma ocean: Efficient H2O production through dissolved H2 transport and atmospheric buffering of the magma ocean redox state, https://arxiv.org/abs/2610.38503