३० ऑक्टोबर, २०२६ ची आवृत्ती

कोणत्याही नकाशासाठी चार रंग पुरेसे असतात, जेणेकरून शेजाऱ्यांचे रंग नेहमी वेगळे राहतील. हे 1976 मध्ये सिद्ध झाले. पण प्रत्यक्षात ते रंग शोधायचे कसे?

पारंपरिक साधन म्हणजे केम्पे साखळी. दोन रंग निवडा. फक्त त्याच दोन रंगांत रंगवलेल्या, एकमेकांना जोडलेल्या देशांचा संपूर्ण समूह घ्या. त्या संपूर्ण समूहात ते रंग अदलाबदल करा: नकाशा योग्य प्रकारे रंगवलेलाच राहतो.

अडचण अशी: एकाच अदलाबदलीचे पडसाद संपूर्ण नकाशाभर उमटू शकतात. आधीच्या विक्रमी पद्धतीला नकाशे मोठे होत गेले तसतशा अधिक अदलाबदली लागत. प्रत्येकीसाठी संपूर्ण नकाशावरून एक पूर्ण फेरी मारावी लागे.

टोकियोपासून कोपनहेगनपर्यंतच्या सहा गणितज्ञांनी हा जादा खर्च काढून टाकला आहे. त्यांचा अल्गोरिदम n देश n च्या प्रमाणात असलेल्या वेळेत रंगवतो. नकाशाचे छोटे तुकडे एकदाच सोडवून तक्त्यांत साठवले जातात, मग फक्त तिथे पाहिले जातात. लेखक या वेगाला इष्टतम म्हणतात.

स्रोत: Four-Coloring Planar Graphs in Linear Time, https://arxiv.org/abs/2610.39753

एखादा तारा श्वेत बटू बनतो, तेव्हा त्याचे काही ग्रह टिकून राहतात. त्यांचे चुराडा झालेले अवशेष धूळ आणि वायूच्या रूपात त्या उरलेल्या ताऱ्याभोवती फिरू शकतात. खगोलशास्त्रज्ञांना वायूच्या अशा 21 चकत्या माहीत होत्या.

या सर्व 21 चकत्या आपला प्रकाश एकाच प्रकारे नोंदवतात: प्रत्येक रेषेत दोन शिखरे. एक शिखर आपल्याकडे येणाऱ्या वायूसाठी, एक दूर जाणाऱ्या वायूसाठी. WD J1328−1450 भोवती मात्र कॅल्शियमच्या प्रत्येक रेषेत चार शिखरे दिसतात.

चार शिखरे म्हणजे वायूची दोन वलये, आणि त्यांच्यामध्ये एक रिकामी फट. Kepler चा नियम सांगतो त्याप्रमाणे आतले वलय अधिक वेगाने फिरते. आणि मॅग्नेशियम फक्त आतल्या वलयातच चमकते.

आपापला वायू निर्माण करणारी ही दोन वलये वेगळी कशामुळे राहतात? लेखक सुचवतात की प्रत्येक वलयात एक टिकून राहिलेला घन पिंड आहे. आतला पिंड जास्तीत जास्त एखाद्या लघुग्रहाएवढा असेल. बाहेरचा प्लूटोएवढा मोठा असू शकतो.

स्रोत: A double debris disc around a white dwarf sculpted by two planetary bodies, https://arxiv.org/abs/2610.37773

“या आठवड्यात मी तीनदा जिमला जाईन का?” Manifold या खेळातील पैशांवर चालणाऱ्या भाकीत-संकेतस्थळावर अनोळखी लोक अशा प्रश्नांवर पैज लावतात. प्रयोगशाळेतील अभ्यास सांगतात की बघे आपल्या योजनांकडे आपल्यापेक्षा अधिक थंडपणे पाहतात.

तीन संशोधकांनी लोकांच्या स्वतःच्या उद्दिष्टांवरील अशा 6,150 बाजारांचा अभ्यास केला. किमतींनी YES ला सरासरी 49.4% शक्यता दिली; प्रत्यक्षात ते 45.0% वेळा घडले. बाहेरच्या घटनांवरील पैजा जवळजवळ अचूक होत्या.

बाजार उघडले तेव्हा ही अतिरिक्त आशा नव्हती. व्यवहार सुरू झाल्यावर एका दिवसात ती दिसू लागली, ती व्यक्ती स्वतः कधीच पैज लावत नसली तरीही. बघ्यांनी घटनांची किंमत त्यांच्या नेहमीच्या शक्यतेपर्यंत खाली आणली, पण वैयक्तिक उद्दिष्टांची नाही.

दुरुस्ती उशिरा आली, आणि तिचा मोठा भाग त्या व्यक्तीकडूनच. किंमत सत्याकडे सरकण्यातील 38% वाटा तिच्या स्वतःच्या पैजांचा होता. मागील बाजारांवरून शिकलेली दुरुस्ती नंतरची भाकिते फक्त 1.5% ने सुधारते.

स्रोत: Crowds Believe in You: Online Prediction Markets Overestimate How Often People Achieve Their Own Goals, https://arxiv.org/abs/2610.40324

मऊ पदार्थात कठीण कण मिसळा, आणि तो अधिक ताठ होतो. पण सिद्धांत एक कमाल मर्यादा घालतो. आकारमानाचा दहावा भाग व्यापणारे कण जास्तीत जास्त 25% भर घालतात.

एका अमेरिकन–जर्मन संघाने त्याऐवजी DNA चे द्रव थेंब वापरून पाहिले. त्यांनी ते ॲक्टिनच्या, म्हणजे स्नायूंमधून घेतलेल्या तंतूंच्या, गुंत्यात वाढवले. थेंबांनी आकारमानाच्या दहाव्या भागापेक्षा कमी जागा व्यापली.

10 °C पर्यंत थंड केल्यावर हे मिश्रण 25 पट अधिक ताठ झाले. 25% नव्हे: 25 पट! ते 31 °C च्या पलीकडे तापवा, थेंब वितळतात, आणि ते पुन्हा मऊ होते. हा बदल सुमारे दहा मिनिटांत होतो, आणि तो पुन्हा पुन्हा काम करतो.

थेंब ही मर्यादा कशी ओलांडतात? तंतू प्रत्येक थेंबातून सरळ आरपार जातात आणि आत घट्ट पकडले जातात. पदार्थावर कातर-बल (shear) लावले की प्रत्येक थेंब फिरतो आणि आपल्या तंतूंना सोबत ओढतो. त्याचा आवाका दुप्पट होतो, आणि थेंब एकमेकांशी जोडले जाऊन एक कडक जाळे बनते.

स्रोत: Extraordinary stiffening and reciprocal control in a DNA condensate/actin composite, https://arxiv.org/abs/2610.38504

असे एक जाळे घ्या ज्यात कोणतेही दोन बिंदू जास्तीत जास्त दोन दुव्यांच्या अंतरावर आहेत. एक नियम जोडा: कोणताही एक दुवा कापला तरी हे मोडलेच पाहिजे. अशा जाळ्यात जास्तीत जास्त किती दुवे मावू शकतात?

Murty–Simon अटकळ ही मर्यादा ठरवते: बिंदूंच्या संख्येचा वर्ग, भागिले चार. दहा बिंदू, जास्तीत जास्त 25 दुवे. फक्त एकच जाळे ती मर्यादा गाठते. शक्य तितके समान दोन गट, आणि प्रत्येक बिंदू दुसऱ्या गटातील प्रत्येक बिंदूशी जोडलेला.

1992 मध्ये Zoltán Füredi यांनी ती सिद्ध केली, पण फक्त अतिप्रचंड जाळ्यांसाठी. त्यांना सुमारे 10¹⁴ मजले उंच 2 च्या मनोऱ्यापेक्षा जास्त बिंदू लागत. प्रत्येक मजला 2 ला त्याच्या वरच्या सगळ्याच्या घातावर नेतो.

Stanford मधील Sanjana Das आणि Jacob Fox आता ती प्रत्येक आकारासाठी सिद्ध करतात. GPT-5.6 Sol या AI ने सिद्धतेचा बहुतेक भाग शोधला. त्यांचा स्वतःचा युक्तिवाद दाखवतो की फक्त दोन गटांचे जाळेच ही मर्यादा गाठते.

स्रोत: A proof of the Murty–Simon conjecture on diameter-2-critical graphs, https://arxiv.org/abs/2610.39032

दोन प्रोटॉन, दोन इलेक्ट्रॉन: हायड्रोजनचा रेणू हा सर्वांत साधा रेणू आहे. त्याचे दोन तुकडे करायला किती ऊर्जा लागते? 1913 मध्ये Bohr यांचा अंदाज सुमारे 40% ने कमी पडला.

भौतिकशास्त्रज्ञ अशा ऊर्जा प्रकाशाच्या वारंवारता म्हणून, हर्ट्झमध्ये मोजतात. ETH Zurich आणि VU Amsterdam मधील एका संघाने रेणूची ऊर्जेची शिडी चढली. ही चढाई लेसर आणि मिलिमीटर लहरींनी केली, पायरी-पायरीने.

H₂ चे दोन तुकडे करणारी ऊर्जा आता 175 किलोहर्ट्झच्या आत ज्ञात आहे. म्हणजे दहा अब्जामध्ये सुमारे 1.6 भाग. सर्वोत्तम गणना यापेक्षा पाच पटींहून अधिक कमी नेमक्या आहेत.

हायड्रोजन दोन रूपांत आढळतो, ज्यांच्या प्रोटॉनचे परिवलन (spin) वेगवेगळे असते. त्यांच्यातील ऊर्जेचा फरक सिद्धांताशी जुळतो. त्यांना वेगळे करणारे कोणतेही अज्ञात भौतिकशास्त्र 540 किलोहर्ट्झच्या खालीच राहते. सिद्धांताला आता α⁷ दुरुस्तीची पूर्ण गणना करावी लागेल.

स्रोत: Ionization and Dissociation Energies of Molecular Hydrogen, https://arxiv.org/abs/2610.40359

2009 मध्ये सैद्धांतिकांनी भाकीत केले की ज्या प्रकाशाचे क्षेत्र वर्तुळात फिरते, तो ग्राफीनचे रूपांतर करू शकेल. ग्राफीन एक सांस्थितिक विद्युतरोधक (topological insulator) बनेल, ज्याची ओळख त्याच्या इलेक्ट्रॉन-लहरींच्या आकारावरून ठरते.

हे तपासणे अवघड होते. ग्राफीनमधील इलेक्ट्रॉन अतिशय वेगाने एकमेकांवर आदळतात, ज्यामुळे हा परिणाम धूसर होऊ शकतो. ग्राफीनच्या ऊर्जा-पट्ट्यांची प्रतिमा घेणाऱ्या आधीच्या प्रयोगांत पुढे-मागे झुलणारा प्रकाश वापरला होता. असा प्रकाश ही अवस्था निर्माण करू शकत नाही.

Bordeaux मधून नेतृत्व केलेल्या एका संघाने ग्राफीनवर 135 फेम्टोसेकंद टिकणारे अवरक्त स्पंद सोडले. एक फेम्टोसेकंद म्हणजे सेकंदाच्या अब्जांशाचा दशलक्षांश भाग. प्रत्येक स्पंदादरम्यान अत्यंत-अतिनील झोतांनी इलेक्ट्रॉन बाहेर उडवले, त्यांची अवस्था वाचण्यासाठी.

ग्राफीनचे ऊर्जा-पट्टे जिथे मिळतात त्या बिंदूजवळ एक नवा संकेत दिसला. प्रकाश उलट दिशेने फिरला की प्रत्येक वेळी त्याचे चिन्ह उलटले. इलेक्ट्रॉन-ऊर्जांमधील अपेक्षित अंतर अदृश्यच राहिले; हे उलटणे हाच त्यांचा पुरावा आहे.

स्रोत: Observation of light-induced topological state in graphene, https://arxiv.org/abs/2610.39695

एक्सायटॉन म्हणजे होलशी, म्हणजे गायब असलेल्या इलेक्ट्रॉनशी, बांधलेला एक इलेक्ट्रॉन. या जोडीवर कोणताही विद्युतभार नसतो. पुरेसे थंड केल्यावर एक्सायटॉन एक अतिद्रव तयार करू शकतात, जो एकाच क्वांटम लहरीसारखा हलतो.

या उदासीनतेमुळे त्यांचा अतिद्रव पाहणे कठीण जाते. Princeton मधील एका संघाने तीव्र चुंबकीय क्षेत्रात, 3.2 नॅनोमीटर अंतरावर दोन ग्राफीन पत्रे एकावर एक रचले. एका पत्र्यातील इलेक्ट्रॉनांची दुसऱ्या पत्र्यातील होलशी जोडी जुळली.

मग संघाने चिमूटभर जादा विद्युतभार घातला. सिद्धांतानुसार तो लहान भोवऱ्यांत स्थिरावून एका जाळीत बद्ध व्हायला हवा होता. टनेलिंग सूक्ष्मदर्शकाला विद्युतभाराची एक जाळी सापडली, जिचे अंतर सिद्धांताशी जुळत होते.

विद्युतभार एका पत्र्यातून दुसऱ्यात हलवल्यावरही ते अंतर बदलले नाही. वरच्या पत्र्यातील इलेक्ट्रॉनांच्या स्फटिकाने ते बदलले असते. यावरून एकच क्वांटम लय सामायिक करणाऱ्या जोड्यांकडे निर्देश होतो.

स्रोत: Evidence for a charged vortex lattice in an exciton superfluid, https://arxiv.org/abs/2610.37781

11 जुलै 1991 रोजी एका अंतराळ वेधशाळेने गॅमा किरणांचा एक झोत टिपला. त्याचे तेजस्वी शिखर सुमारे दहा मिलिसेकंद टिकले. त्याचा स्रोत? एकमेकांत विलीन होणारे दोन घन तारे, की एक मॅग्नेटार.

मॅग्नेटार म्हणजे अतिप्रचंड चुंबकीय क्षेत्र असलेला न्यूट्रॉन तारा. 2020 मध्ये जवळच्या एका आकाशगंगेतील अशा ताऱ्याने एक महाकाय स्फोट सोडला. चीन आणि अमेरिकेतील एका संघाने हे दोन झोत एकमेकांशी ताडून पाहिले.

आकार सारखाच: एक तीक्ष्ण शिखर, मग एक मंद शेपूट. लयही सारखीच. दोन्ही झोत प्रति सेकंद सुमारे 360 वेळा या दराच्या पूर्ण पटींवर उजळतात आणि मंदावतात. ही स्पंदने एकमेकांशी जोडलेली दिसतात, एकाच सुराच्या उपस्वरांसारखी.

लेखकांच्या मते, विलीनीकरणापेक्षा मॅग्नेटारचा स्फोट हे अधिक सोपे स्पष्टीकरण आहे. ते सिद्ध झाल्याचे मात्र ते म्हणत नाहीत. जवळच्या सतरा आकाशगंगा संभाव्य यजमान आहेत.

स्रोत: Harmonic brightness oscillations point to magnetar giant flares in rare short gamma-ray bursts, https://arxiv.org/abs/2610.39130

सहा फासे, एक चक्र. पहिला दुसऱ्याला हरवतो, दुसरा तिसऱ्याला, आणि असेच पुढे. मग सहावा पहिल्याला हरवतो. कोणताही फासा सर्वोत्तम नाही.

नियम कडक आहेत. सहा बाजू, प्रत्येकीवर 1 ते 6 मधील एक मूल्य, पुनरावृत्तीला परवानगी. प्रत्येक विजय शक्य तितक्या निसटत्या फरकाने मिळतो: 36 पैकी 19 द्वंद्वे.

Université de Montréal मधील Terry Easlick यांनी असे सर्व 462 फासे संगणकाकडून वर्गीकृत करून घेतले. तीन, चार किंवा पाच बाजूंसह, सर्वात निसटत्या फरकावर कोणतेही चक्र तयार होत नाही. सहा बाजूंसह बरोबर दोन चक्रे अस्तित्वात आहेत.

ही दोन चक्रे एकमेकांची आरशातील प्रतिमा आहेत. प्रत्येक बाजू v चे 7 − v करा, बाणांची दिशा उलटा: दुसरे चक्र मिळते. सात ते दहा बाजूंसह चक्रे बाजूंच्या संख्येपेक्षा लांब होतात. ही अट पाळणारी सहा ही एकमेव संख्या आहे का? ती अजूनही एक अटकळच आहे.

स्रोत: Computer-Assisted Results for n-Sided Non-Transitive Dice Taking Face Values in [n], https://arxiv.org/abs/2610.40321

महाकाय धडकांनंतर तरुण पृथ्वी बहुधा वितळलेल्या खडकाच्या महासागराने झाकलेली होती. त्याच्या वर एक दाट वातावरण होते, बहुतांश हायड्रोजनचे. खूप खोलवर, चिरडून टाकणाऱ्या दाबाने लोहाचे धातू आणि ऑक्सिडीभूत लोह असे विभाजन केले. धातू गाभ्यात बुडाला.

हायड्रोजन अधिक ऑक्सिडीभूत लोह म्हणजे पाणी. पण हायड्रोजन वितळलेल्या खडकात फार हळूहळू झिरपतो. मग या रसायनशास्त्राला काही महत्त्व असू शकेल का? हे शोधण्यासाठी जपानमधील एका संघाने एक प्रतिमान तयार केले.

उत्तर मॅग्माच्या त्वचेत दडलेले आहे. वरून थंड झाल्याने ती दर मिनिटाला वगैरे खाली बुडते. ताजा वितळलेला खडक तिची जागा घेतो आणि हायड्रोजन शोषत राहतो. बहुतांश हायड्रोजनचे सुमारे 10,000 वर्षांत पाणी होते.

मॅग्मा महासागर जितका खोल, तितके जास्त पाणी तो तयार करतो. पुरेसा हायड्रोजन असेल, तर यातून पृथ्वीवरील पाण्याच्या एकूण साठ्याचे स्पष्टीकरण मिळू शकते, असे लेखक लिहितात. आणि आकाश हायड्रोजनने समृद्धच राहिले असते.

स्रोत: Coupled evolution of Earth's H2-rich proto-atmosphere and oxidized magma ocean: Efficient H2O production through dissolved H2 transport and atmospheric buffering of the magma ocean redox state, https://arxiv.org/abs/2610.38503