एका चक्रात एकमेकांना हरवणारे सहा फासे

दोन फासे एकत्र टाका; मोठी संख्या जिंकते. आता प्रत्येक बाजूवर 1 ते 6 मधील कोणतेही मूल्य असू द्या, पुनरावृत्तीला परवानगी: एखाद्या फाशावर 1, 1, 2, 5, 5, 5 असे असू शकते. असे सहा फासे अशा रांगेत लावता येतील का, की प्रत्येक फासा पुढच्याला हरवेल आणि शेवटचा पहिल्याला, आणि प्रत्येक विजय शक्य तितका निसटता असेल? Université de Montréal मधील Terry Easlick यांनी संगणकाच्या साहाय्याने दाखवले आहे की हे जमण्यासाठी सहा ही बाजूंची सर्वात लहान संख्या आहे, आणि ते करण्याचे बरोबर दोनच मार्ग आहेत.

छत्तीसपैकी एकोणीस द्वंद्वे

सहा बाजूंच्या दोन फाशांमधील द्वंद्वाचे 36 समसंभाव्य निकाल असतात: एकाची प्रत्येक बाजू विरुद्ध दुसऱ्याची प्रत्येक बाजू. वरचढ ठरण्यासाठी, फाशाला त्यांपैकी निम्म्यापेक्षा जास्त वेळा मोठे यावे लागते, म्हणजे किमान 19 वेळा: 19/36 ही संभाव्यता, सुमारे 52.8%. n बाजूंसह n × n जोड्या होतात, आणि सर्वात निसटता विजय म्हणजे त्यांच्या निम्म्यापेक्षा मोठी असलेली सर्वात लहान पूर्ण संख्या: पाच बाजूंसाठी 25 पैकी 13, दहा बाजूंसाठी 100 पैकी 51.

(1, 1, 2, 5, 5, 5) आणि (1, 3, 4, 4, 4, 4) या फाशांसाठी ही मोजणी अशी होते. तीन 5 दुसऱ्या फाशाच्या सर्व सहा बाजूंना हरवतात: 18 जोड्या. 2 दुसऱ्या फाशावरील एकमेव 1 ला हरवतो: आणखी एक, एकूण 19. दोन 1 त्या 1 शी बरोबरी करतात, आणि उरलेल्या 15 जोड्या दुसरा फासा जिंकतो. पहिला फासा 36 पैकी 19 द्वंद्वे जिंकतो: हा शक्य तितका निसटता विजय आहे.

एका चक्रात एकमेकांना हरवणाऱ्या फाशांना अ-संक्रामी (non-transitive) म्हणतात: चक्रातील प्रत्येक फासा दुसऱ्या कोणाकडून तरी हरतो, म्हणून कोणताही सर्वोत्तम नसतो. Easlick यांचा प्रश्न: n बाजूंवर 1 ते n पर्यंतची मूल्ये असताना, कोणत्या n साठी n फासे असे चक्र बनवू शकतात, ज्यात प्रत्येक द्वंद्व बरोबर सर्वात निसटत्या फरकाने जिंकले जाते, आणि त्या फरकाने n बाजूंच्या फाशांमध्ये कुठेही n पेक्षा जास्त फाशांचे चक्र नसते?

प्रत्येक संभाव्य फाशाचा नकाशा

इथे फासा म्हणजे फक्त मूल्यांची एक यादी, कोणत्याही विशिष्ट क्रमाशिवाय. सहा बाजूंसह असे 462 फासे आहेत, त्यांत नेहमीचा फासा (1, 2, 3, 4, 5, 6) देखील आहे. Easlick प्रत्येक फासा एक बिंदू म्हणून काढतात, आणि जेव्हा एखादा फासा दुसऱ्यावर 36 पैकी बरोबर 19 द्वंद्वे जिंकतो, तेव्हा पहिल्याकडून दुसऱ्याकडे एक बाण जोडतात. सहा बाजूंसाठी असे 5,491 बाण होतात.

मग फाशांचे चक्र म्हणजे बाणांचा असा मार्ग जो आपल्या सुरुवातीच्या बिंदूकडे परत येतो. ती शोधण्यासाठी, Julia भाषेत लिहिलेला त्यांचा प्रोग्राम नकाशाचे दृढ-संबद्ध घटकांमध्ये (strongly connected components) विभाजन करतो: असे सर्वात मोठे गट, ज्यांत बाणांच्या दिशेने कोणत्याही फाशाकडून इतर कोणत्याही फाशाकडे जाता येते, आणि परत येता येते. प्रत्येक चक्र पूर्णपणे यांपैकी एकाच गटात असते, म्हणून एकाच फाशाच्या गटात कोणतेही चक्र नसते. हे विभाजन 1972 मध्ये प्रकाशित झालेला Tarjan यांचा अल्गोरिदम वापरून केले जाते. लेखक नमूद करतात की स्क्रिप्ट लिहिण्यासाठी त्यांनी GPT-5.6 ची मदत घेतली, आणि गणितीय कल्पना पूर्णपणे त्यांच्या स्वतःच्या आहेत.

काहीच नाही, काहीच नाही, काहीच नाही, मग दोन

तीन बाजूंसह 10 संभाव्य फासे आणि फक्त 3 बाण आहेत; चार बाजूंसह 35 फासे आणि 67 बाण; पाच बाजूंसह 126 फासे आणि 620 बाण. या तिन्ही स्थितींत प्रत्येक गटात एकच फासा आहे: सर्वात निसटत्या फरकावर कोणतेही चक्र अजिबात अस्तित्वात नाही.

सहा बाजूंसह, 462 पैकी 448 फासे एकटे आहेत. उरलेले 14 फासे सात फाशांची दोन कुटुंबे बनवतात, आणि प्रत्येक कुटुंब 10 बाणांनी जोडलेले आहे. प्रत्येक कुटुंबात प्रोग्राम चार चक्रांची यादी देतो: तीन फाशांची तीन चक्रे आणि सहा फाशांचे एक. कोणत्याही चक्रात सात पेक्षा जास्त फासे असू शकत नाहीत, आणि प्रत्येक कुटुंबातील चक्रांच्या पूर्ण यादीत सात फाशांचे एकही चक्र नाही, हे हाताने देखील तपासता येते असे लेखक नमूद करतात. सहा फाशांची ही दोन चक्रे हीच एकमेव आहेत. पहिले:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → पुन्हा पहिल्याकडे.

दुसरे:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → पुन्हा पहिल्याकडे.

सात फाशांचे पहिले कुटुंब: प्रत्येक चौकट म्हणजे एक फासा, संगणकाच्या यादीतील त्याच्या क्रमांकासह आणि त्याच्या सहा बाजूंसह. बाणाचा अर्थ «36 पैकी बरोबर 19 द्वंद्वे जिंकतो». लाल रंगात सहा फाशांचे चक्र. — SCC 1 ची आकृती, पान 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

दोन उत्तरे, एक प्रतिबिंब

ही दोन चक्रे एकमेकांपासून स्वतंत्र नाहीत. प्रत्येक बाजूचे मूल्य v च्या जागी 7 − v ठेवा: 1 चे 6 होतात, 2 चे 5, 3 चे 4, आणि उलटही. जी बाजू मोठी होती ती आता लहान होते, म्हणून प्रत्येक बाणाची दिशा उलटते. Easlick सिद्ध करतात की या अदलाबदलीने पहिल्या कुटुंबाचे दुसरे कुटुंब होते: पहिले चक्र उलट्या दिशेने वाचले की दुसरे बनते. ही अदलाबदल दोनदा केली की प्रत्येक फासा पुन्हा मूळ रूपात येतो.

सहाच्या पलीकडे, चक्रे फाशांपेक्षा मोठी होतात

सात ते दहा बाजूंसह उलटे घडते: भरपूर चक्रे, पण फार लांब. सात बाजूंसह, 1,716 संभाव्य फाशांपैकी 1,081 फासे एक प्रचंड कुटुंब बनवतात, आणि शोधात मिळणारे पहिले लांब चक्र 14 फाशांना जोडते. आठ बाजूंसह, 4,321 फाशांच्या एका कुटुंबात 29 फाशांचे चक्र आहे; नऊ बाजूंसह, 20,451 फासे आणि 10 फाशांचे चक्र. दहा बाजूंसह, 92,378 फासे आणि 157,244,770 बाण असताना, 81,791 फाशांच्या एका कुटुंबात 110 फाशांचे चक्र आहे. शोधात सापडलेली बाजूंच्या संख्येपेक्षा लांब अशी ही पहिली चक्रे आहेत, सर्वात लांब नव्हेत.

दहा बाजूंच्या 110 फाशांचे एक चक्र, ज्यात प्रत्येक फासा पुढच्याला 100 पैकी बरोबर 51 द्वंद्वांत हरवतो. बाण ओळीओळीने अनुसरा; डावीकडील रेषा चक्र पूर्ण करते. — n = 10 या स्थितीची आकृती, पान 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

अशी चक्रे दुसरी अट मोडतात: कोणत्याही चक्रात बाजूंपेक्षा जास्त फासे असू शकत नाहीत. Easlick यांची अटकळ अशी आहे की हा गुणधर्म असलेली सहा ही बाजूंची केवळ सर्वात लहान संख्याच नव्हे, तर सर्वात मोठी संख्याही आहे.

अकरा बाजू, अजूनही आवाक्याबाहेर

ती अटकळ अजूनही अनुत्तरित आहे. अकरा बाजूंसह 352,716 संभाव्य फासे आहेत; बारा बाजूंसह 1,352,078. या दोन्ही स्थितींच्या गणनेला कितीतरी अधिक वेळ लागेल; शोधनिबंध त्यांच्यासाठी कोणतीही गणना नोंदवत नाही, आणि त्यांतही किमान 12 आणि 13 फाशांची चक्रे दडलेली असावीत, असा लेखक फक्त कयास बांधतात. शोधनिबंधाचा शेवट हा प्रश्न कुठून आला याने होतो: लेखक आपल्या आईसोबत खेळलेले फाशांचे अनेक खेळ.