六颗骰子，一个接一个地循环相克
同时掷两颗骰子，点数大的获胜。现在让每个面可以取1到6中的任意值，允许重复：一颗骰子可能是1、1、2、5、5、5。能否把六颗这样的骰子排成一列，使每一颗都胜过下一颗，最后一颗又胜过第一颗，而且每次获胜的优势都尽可能小？蒙特利尔大学的Terry Easlick借助计算机证明：使这一点成立的最小面数是六，而且恰好有两种做法。
三十六局中赢十九局
两颗六面骰子之间的一次对决有36种等可能的结果：一颗骰子的每个面对另一颗骰子的每个面。要占上风，一颗骰子必须在其中超过一半的结果中点数更大，也就是至少19次：概率为19/36，约52.8%。面数为n时，共有n × n种配对，最小的获胜优势就是超过其一半的最小整数：五个面时为25中的13，十个面时为100中的51。
以骰子(1, 1, 2, 5, 5, 5)和(1, 3, 4, 4, 4, 4)为例，计数方法如下。三个5胜过第二颗骰子的全部六个面：18种配对。2胜过第二颗骰子唯一的1：再多一种，共19种。两个1与那个1打平，其余15种配对由第二颗骰子获胜。第一颗骰子在36局对决中赢了19局：这是最微弱的胜利。
以循环方式相互战胜的骰子被称为非传递骰子：循环中的每颗骰子都会被另一颗战胜，因此没有一颗是最强的。Easlick的问题是：在n个面上取值为1到n时，对哪些n，n颗骰子能构成这样的循环，使每一局对决都恰好以最小优势获胜，并且在这一优势下，所有n面骰子中都不存在由超过n颗骰子组成的循环？
一张包含所有可能骰子的地图
在这里，一颗骰子就是一个不计顺序的数值列表。六个面时共有462颗，普通骰子(1, 2, 3, 4, 5, 6)也在其中。Easlick把每一颗画成一个点，只要一颗骰子在36局对决中恰好赢19局，就从它向另一颗画一个箭头。六个面时，共有5491个箭头。
这样，一个骰子循环就是一条回到起点的箭头路径。为了找到它们，他用Julia语言编写的程序把这张地图拆分成强连通分量：即其中任意一颗骰子都能沿着箭头到达任意另一颗、并且还能再返回的最大群组。每个循环都完全位于某一个这样的群组内，因此只含一颗骰子的群组不包含任何循环。拆分使用的是1972年发表的Tarjan算法。作者说明，他用GPT-5.6帮忙编写了脚本，而数学上的想法完全是他自己的。
没有，没有，没有，然后是两个
面数为三时，共有10颗可能的骰子，只有3个箭头；面数为四时，35颗骰子，67个箭头；面数为五时，126颗骰子，620个箭头。在这三种情况下，每个群组都只含一颗骰子：在最小优势下，根本不存在循环。
面数为六时，462颗骰子中有448颗孤立存在。其余14颗组成两个各含七颗骰子的家族，每个家族由10个箭头相连。在每个家族内部，程序列出了四个循环：三个由三颗骰子组成，一个由六颗骰子组成。没有任何循环能包含超过七颗骰子，而每个家族中循环的完整列表里没有一个是七颗的，作者指出这一点也可以手工验证。这两个六颗骰子的循环是仅有的两个。第一个是：
(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → 回到第一颗。
第二个是：
(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → 回到第一颗。
第一个七颗骰子的家族：每个方框代表一颗骰子，标有它在计算机列表中的编号和六个面。一个箭头表示“在36局对决中恰好赢19局”。红色为六颗骰子的循环。——SCC 1示意图，第5页，Easlick（2026），arXiv:2610.40321。
两个解，一次镜像
这两个循环并不是相互独立的。把每个面的数值v换成7 − v：1变成6，2变成5，3变成4，反之亦然。原来较大的面现在变小了，因此每个箭头都反转方向。Easlick证明，这一替换把第一个家族变成了第二个家族：第一个循环倒过来读，就变成了第二个循环。把这一替换做两次，每颗骰子都回到原样。
超过六个面，循环比骰子面数还长
从七个面到十个面，情况恰好相反：循环很多，但太长了。面数为七时，1716颗可能的骰子中有1081颗组成一个巨大的家族，搜索找到的第一个长循环连接了14颗骰子。面数为八时，一个4321颗骰子的家族中有一个29颗骰子的循环；面数为九时，20451颗骰子，有一个10颗骰子的循环。面数为十时，共有92378颗骰子和157244770个箭头，一个81791颗骰子的家族中有一个110颗骰子的循环。这些是搜索找到的第一批长度超过面数的循环，而不是最长的循环。
一个由110颗十面骰子组成的循环，每一颗都在100局对决中恰好赢51局胜过下一颗。逐行沿箭头前进；左侧的线把循环闭合。——n = 10情形的示意图，第10页，Easlick（2026），arXiv:2610.40321。
这样的循环违反了第二个条件：循环中的骰子数不得多于面数。Easlick猜想，六不仅是具有这一性质的最小面数，也是最大面数。
十一个面，仍然够不着
这一猜想仍未解决。面数为十一时，共有352716颗可能的骰子；面数为十二时，有1352078颗。这两种情况的计算都要耗费长得多的时间；论文没有报告对它们的任何计算，作者只是推测它们同样隐藏着至少12颗和13颗骰子的循环。论文最后讲到了这个问题的由来：作者曾和妈妈一起玩过的许多次掷骰子游戏。