ШЕСТЬ КУБИКОВ, КОТОРЫЕ ОБЫГРЫВАЮТ ДРУГ ДРУГА ПО КРУГУ
Бросьте два кубика вместе; побеждает большее число. Теперь пусть на каждой грани может стоять любое значение от 1 до 6, с повторами: кубик может иметь грани 1, 1, 2, 5, 5, 5. Можно ли выстроить шесть таких кубиков так, чтобы каждый обыгрывал следующий, а последний — первый, причём каждая победа была как можно более узкой? Терри Излик (Terry Easlick) из Монреальского университета показал с помощью компьютера, что шесть — наименьшее число граней, при котором это работает, и что способов сделать это ровно два.
Девятнадцать поединков из тридцати шести
У поединка двух шестигранных кубиков 36 равновероятных исходов: каждая грань одного против каждой грани другого. Чтобы иметь преимущество, кубик должен выпасть выше более чем в половине из них, то есть не менее 19 раз: вероятность 19/36, около 52,8%. При n гранях получается n × n сочетаний, и минимальная победа — наименьшее целое число больше их половины: 13 из 25 для пяти граней, 51 из 100 для десяти.
Вот как идёт подсчёт для кубиков (1, 1, 2, 5, 5, 5) и (1, 3, 4, 4, 4, 4). Три пятёрки обыгрывают все шесть граней второго кубика: 18 сочетаний. Двойка обыгрывает единственную единицу второго кубика: ещё одно, всего 19. Две единицы дают ничью с этой единицей, а остальные 15 выигрывает второй кубик. Первый кубик выигрывает 19 поединков из 36: самая узкая победа из возможных.
Кубики, обыгрывающие друг друга по кругу, называются нетранзитивными: каждый кубик в круге кем-то обыгрывается, поэтому лучшего нет. Вопрос Излика: при значениях от 1 до n на n гранях — для каких n могут n кубиков образовать такой круг, где каждый поединок выигран ровно с минимальным перевесом и среди n-гранных кубиков с таким перевесом нет ни одного круга более чем из n кубиков?
Карта всех возможных кубиков
Здесь кубик — это просто список значений без определённого порядка. При шести гранях их 462, и среди них обычный кубик (1, 2, 3, 4, 5, 6). Излик изображает каждый точкой, а затем проводит стрелку от одного кубика к другому всякий раз, когда первый выигрывает ровно 19 поединков из 36. Для шести граней получается 5 491 стрелка.
Тогда круг кубиков — это путь по стрелкам, возвращающийся к началу. Чтобы найти такие пути, его программа, написанная на языке Julia, разбивает карту на компоненты сильной связности: наибольшие группы, внутри которых можно пройти по стрелкам от любого кубика к любому другому и обратно. Каждый круг целиком лежит внутри одной из этих групп, так что группа из одного кубика кругов не содержит. Разбиение использует алгоритм Тарьяна, опубликованный в 1972 году. Автор указывает, что использовал GPT-5.6 для помощи в написании скриптов, а математические идеи целиком принадлежат ему.
Ничего, ничего, ничего — а потом два
При трёх гранях возможны 10 кубиков и лишь 3 стрелки; при четырёх — 35 кубиков и 67 стрелок; при пяти — 126 кубиков и 620 стрелок. Во всех трёх случаях каждая группа состоит из одного кубика: при минимальном перевесе кругов нет вовсе.
При шести гранях 448 из 462 кубиков стоят особняком. Остальные 14 образуют два семейства по семь кубиков, каждое связано 10 стрелками. Внутри каждого семейства программа находит четыре круга: три из трёх кубиков и один из шести. Ни один круг не может содержать больше семи кубиков, а полный список кругов в каждом семействе не показывает ни одного из семи, что, как отмечает автор, можно проверить и вручную. Эти два круга из шести — единственные. Первый:
(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → обратно к первому.
Второй:
(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → обратно к первому.
Первое семейство из семи кубиков: каждый прямоугольник — один кубик с его номером в компьютерном списке и шестью гранями. Стрелка означает «выигрывает ровно 19 поединков из 36». Красным — круг из шести. — Схема SCC 1, страница 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.
Два решения, одно отражение
Эти два круга не независимы. Замените каждое значение грани v на 7 − v: 1 становится 6, 2 становится 5, 3 становится 4, и наоборот. Грань, которая была выше, теперь ниже, поэтому каждая стрелка меняет направление. Излик доказывает, что эта замена превращает первое семейство во второе: первый круг, прочитанный в обратном порядке, становится вторым. Примените замену дважды — и каждый кубик вернётся к себе.
После шести круги перерастают кубики
От семи до десяти граней происходит обратное: кругов много, но они слишком длинные. При семи гранях 1 081 из 1 716 возможных кубиков образуют одно гигантское семейство, и первый длинный круг, который возвращает поиск, связывает 14 кубиков. При восьми гранях семейство из 4 321 кубика содержит круг из 29; при девяти — 20 451 кубик и круг из 10. При десяти гранях — 92 378 кубиков и 157 244 770 стрелок; семейство из 81 791 кубика содержит круг из 110. Это первые найденные поиском круги длиннее числа граней, а не самые длинные.
Круг из 110 десятигранных кубиков, каждый из которых обыгрывает следующий ровно в 51 поединке из 100. Следуйте по стрелкам ряд за рядом; линия слева замыкает круг. — Схема для случая n = 10, страница 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.
Такие круги нарушают второе условие: ни один круг не может содержать больше кубиков, чем у них граней. Излик выдвигает гипотезу, что шесть — не только наименьшее число граней с этим свойством, но и наибольшее.
Одиннадцать граней — пока вне досягаемости
Эта гипотеза остаётся открытой. При одиннадцати гранях возможны 352 716 кубиков; при двенадцати — 1 352 078. Оба случая потребовали бы гораздо больше времени на вычисления; в статье никаких расчётов для них не приводится, и автор лишь предполагает, что и в них скрываются круги по меньшей мере из 12 и 13 кубиков. Статья завершается рассказом о том, откуда взялся вопрос: из множества партий в кости, которые автор сыграл со своей мамой.