輪になって互いに勝ち合う6つのサイコロ

2つのサイコロを一緒に振り、大きい数を出したほうが勝ちとする。ここで、各面には1から6までのどの値を書いてもよく、重複も許されるとしよう。たとえば、1, 1, 2, 5, 5, 5と書かれたサイコロもありうる。このようなサイコロを6つ並べて、どれもが次のサイコロに勝ち、最後のサイコロが最初のサイコロに勝ち、しかもどの勝利もできるかぎり僅差になるようにできるだろうか。モントリオール大学のTerry Easlickは、これが成り立つ面の数は6が最小であり、そのやり方はちょうど2通りしかないことを、コンピュータを使って示した。

36回の対決のうち19回

6面のサイコロ2つの対決には、等しく起こりやすい36通りの結果がある。一方の各面と、他方の各面との組み合わせだ。優位に立つには、そのうち半分より多く、つまり少なくとも19通りで大きい目を出さなければならない。確率にして19/36、約52.8%である。n面ならn × n通りの組み合わせがあり、最小の勝利は、その半分を超える最小の整数になる。5面なら25回中13回、10面なら100回中51回だ。

サイコロ(1, 1, 2, 5, 5, 5)と(1, 3, 4, 4, 4, 4)で、数え方を見てみよう。3つの5は、2つ目のサイコロの6つの面すべてに勝つ。これで18通り。2は、2つ目のサイコロにただ1つある1に勝つ。もう1通り加わって、合計19通りだ。2つの1はその1と引き分け、残りの15通りでは2つ目のサイコロが勝つ。1つ目のサイコロは、36回の対決のうち19回勝つ。これ以上ない僅差の勝利だ。

輪になって互いに勝ち合うサイコロは、非推移的（non-transitive）と呼ばれる。輪の中のどのサイコロも別のサイコロに負けるので、最強のものは存在しない。Easlickの問いはこうだ。n面に1からnまでの値を書くとき、どのnならば、n個のサイコロがこのような輪を作れるか。ただし、どの対決もちょうど最小の差で勝ち、その差で勝ち合うn面のサイコロ全体のどこにも、n個より多いサイコロからなる輪はないものとする。

あらゆるサイコロの地図

ここでは、サイコロとは単なる値のリストで、順番は問わない。6面なら462通りあり、ふつうのサイコロ(1, 2, 3, 4, 5, 6)もその1つだ。Easlickはそれぞれを1つの点として描き、あるサイコロが別のサイコロに36回中ちょうど19回勝つときには、前者から後者へ矢印を引く。6面の場合、矢印は5,491本になる。

すると、サイコロの輪とは、出発点に戻ってくる矢印の道筋のことになる。それを見つけるため、Julia言語で書かれた彼のプログラムは、地図を強連結成分（strongly connected components）に分ける。矢印に沿って、どのサイコロからも他のどのサイコロへも行けて、また戻ってこられるような、最大のグループのことだ。どの輪も、こうしたグループのどれか1つの中にすっぽり収まるので、サイコロ1つだけのグループには輪がない。この分割には、1972年に発表されたTarjanのアルゴリズムが使われている。著者は、スクリプトを書く手助けにGPT-5.6を使ったこと、そして数学的なアイデアはすべて自分自身のものであることを明記している。

何もない、何もない、何もない、そして2つ

3面では、ありうるサイコロは10通りで、矢印はわずか3本。4面では35通りと67本、5面では126通りと620本だ。この3つの場合はいずれも、どのグループもサイコロを1つしか含まない。最小の差では、輪はまったく存在しないのだ。

6面では、462通りのうち448通りが孤立している。残りの14通りは7つのサイコロからなる2つの家族を作り、それぞれが10本の矢印で結ばれている。各家族の中で、プログラムは4つの輪を挙げる。3つのサイコロからなる輪が3つと、6つのサイコロからなる輪が1つだ。7つより多くのサイコロを含む輪はありえず、各家族の輪の完全なリストには、7つのサイコロからなる輪は1つもない。このことは手でも確かめられると著者は記している。この2つの6個の輪が、唯一の解である。1つ目は次のとおり。

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → 最初に戻る。

2つ目は次のとおり。

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → 最初に戻る。

7つのサイコロからなる1つ目の家族。各箱が1つのサイコロで、コンピュータのリストでの番号と6つの面の値が書かれている。矢印は「36回の対決のうちちょうど19回勝つ」ことを表す。赤は6つのサイコロの輪。— Diagram of SCC 1, page 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

2つの解、1つの鏡映

2つの輪は互いに独立ではない。すべての面の値vを7 − vに置き換えてみよう。1は6に、2は5に、3は4になり、その逆も同様だ。大きかった面が小さくなるので、すべての矢印の向きが反転する。Easlickは、この置き換えによって1つ目の家族が2つ目の家族に移ることを証明している。1つ目の輪を逆向きに読むと、2つ目の輪になるのだ。置き換えを2回行えば、どのサイコロも元に戻る。

6を超えると、輪がサイコロの数より大きくなる

7面から10面では、逆のことが起こる。輪はたくさんあるが、長すぎるのだ。7面では、ありうる1,716通りのサイコロのうち1,081通りが1つの巨大な家族を作り、探索が最初に返した長い輪は14個のサイコロをつなぐ。8面では、4,321個のサイコロからなる家族が、29個のサイコロの輪を含む。9面では20,451個のサイコロと、10個のサイコロの輪。10面では、92,378通りのサイコロと157,244,770本の矢印があり、81,791個のサイコロからなる家族が、110個のサイコロの輪を含む。これらは探索が見つけた、面の数より長い最初の輪であって、最も長い輪ではない。

10面のサイコロ110個からなる輪。どれも次のサイコロに、100回の対決のうちちょうど51回勝つ。矢印を1行ずつたどると、左側の線が輪を閉じる。— Diagram of the case n = 10, page 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

このような輪は2つ目の条件を破っている。輪に含まれるサイコロの数は、面の数を超えてはならないのだ。Easlickは、この性質をもつ面の数として、6は最小であるだけでなく、最大でもあると予想している。

11面は、まだ手が届かない

この予想は未解決のままだ。11面では、ありうるサイコロは352,716通り、12面では1,352,078通りある。どちらの場合も計算にははるかに長い時間がかかるはずで、論文はそれらについての計算を報告していない。著者は、これらにもやはり少なくとも12個、13個のサイコロからなる輪が潜んでいるだろうと推測するにとどまっている。論文は、この問いが生まれたところを語って締めくくられる。著者が母親と遊んだ、数えきれないほどのサイコロゲームだ。