ستّة أحجار نرد يهزم بعضها بعضًا في حلقة

ارمِ حجرَي نرد معًا؛ فيفوز الرقم الأعلى. والآن دع كل وجه يحمل أي قيمة من 1 إلى 6، مع السماح بالتكرار: فقد يحمل حجر نرد الأرقام 1، 1، 2، 5، 5، 5. فهل يمكن صفّ ستّة أحجار نرد كهذه بحيث يهزم كلٌّ منها الذي يليه ويهزم الأخيرُ الأولَ، وكل فوز بأضيق فارق ممكن؟ أثبت Terry Easlick، من جامعة مونتريال، بمساعدة حاسوب أن الستة هو أصغر عدد من الأوجه يصحّ معه ذلك، وأن هناك طريقتين بالضبط لتحقيقه.

تسع عشرة مواجهة من ستّ وثلاثين

للمواجهة بين حجرَي نرد سداسيَّي الأوجه 36 نتيجة متساوية الاحتمال: كل وجه من أحدهما مقابل كل وجه من الآخر. ولكي يتفوّق حجر نرد، يجب أن يأتي بقيمة أعلى في أكثر من نصفها، أي في 19 على الأقل: باحتمال 19/36، أي نحو 52.8%. ومع n من الأوجه، هناك n × n من المزاوجات، وأضيق فوز هو أصغر عدد صحيح يزيد على نصفها: 13 من 25 لخمسة أوجه، و51 من 100 لعشرة.

وهكذا يجري العدّ لحجرَي النرد (1, 1, 2, 5, 5, 5) و(1, 3, 4, 4, 4, 4). الخمسات الثلاث تهزم الأوجه الستة كلها للحجر الثاني: 18 مزاوجة. والـ2 يهزم الـ1 الوحيد في الحجر الثاني: واحدة أخرى، فالمجموع 19. والـ1 الاثنان يتعادلان مع ذلك الـ1، ويفوز الحجر الثاني بالـ15 الباقية. فيفوز الحجر الأول بـ19 مواجهة من 36: أضيق انتصار ممكن.

تُسمّى أحجار النرد التي يهزم بعضها بعضًا في حلقة غير متعدّية (non-transitive): فكل حجر في الحلقة يهزمه حجر آخر، ولذا لا يكون أيٌّ منها الأفضل. وسؤال Easlick: مع قيم من 1 إلى n على n من الأوجه، لأيّ n يمكن لـn من أحجار النرد أن تشكّل حلقة كهذه، تُكسب فيها كل مواجهة بأضيق فارق بالضبط، من دون أن توجد، بين أحجار النرد ذات n من الأوجه عند هذا الفارق، أي حلقة تضمّ أكثر من n حجرًا؟

خريطة لكل حجر نرد ممكن

حجر النرد هنا مجرّد قائمة من القيم، بلا ترتيب معيّن. ومع ستة أوجه، هناك 462 منها، من بينها حجر النرد العادي (1, 2, 3, 4, 5, 6). يرسم Easlick كلًّا منها نقطة، ثم يضيف سهمًا من حجر نرد إلى آخر كلما فاز الأول بـ19 مواجهة من 36 بالضبط. ومع ستة أوجه، يعطي ذلك 5,491 سهمًا.

وتصبح حلقة أحجار النرد عندئذ مسارًا من الأسهم يعود إلى نقطة انطلاقه. وللعثور عليها، يقسم برنامجه، المكتوب بلغة Julia، الخريطة إلى مكوّنات متّصلة بقوة (strongly connected components): أكبر المجموعات التي يمكن فيها الانتقال من أي حجر نرد إلى أي حجر آخر على طول الأسهم، والعودة. وكل حلقة تقع بكاملها داخل إحدى هذه المجموعات، لذا لا تحوي المجموعة ذات الحجر الواحد أي حلقة. ويستخدم التقسيم خوارزمية Tarjan، المنشورة عام 1972. ويذكر المؤلف أنه استعان بـGPT-5.6 لكتابة النصوص البرمجية، وأن الأفكار الرياضية من صنعه بالكامل.

لا شيء، لا شيء، لا شيء، ثم اثنتان

مع ثلاثة أوجه هناك 10 أحجار نرد ممكنة و3 أسهم فقط؛ ومع أربعة، 35 حجرًا و67 سهمًا؛ ومع خمسة، 126 حجرًا و620 سهمًا. وفي الحالات الثلاث، تضمّ كل مجموعة حجرًا واحدًا: فبأضيق فارق، لا توجد أي حلقة على الإطلاق.

ومع ستة أوجه، يبقى 448 حجرًا من الـ462 منفردة. أما الـ14 الأخرى فتشكّل عائلتين من سبعة أحجار نرد، تربط كلًّا منهما 10 أسهم. وداخل كل عائلة، يُدرج البرنامج أربع حلقات: ثلاثًا من ثلاثة أحجار وواحدة من ستة. ولا يمكن لأي حلقة أن تضمّ أكثر من سبعة أحجار، والقائمة الكاملة للحلقات في كل عائلة لا تُظهر أي حلقة من سبعة، وهو ما يشير المؤلف إلى إمكان التحقّق منه يدويًا أيضًا. وهاتان الحلقتان السداسيتان هما الوحيدتان. الأولى:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → عودة إلى الأول.

الثانية:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → عودة إلى الأول.

العائلة الأولى من سبعة أحجار نرد: كل مربّع حجر نرد، مع رقمه في قائمة الحاسوب وأوجهه الستة. ويعني السهم «يفوز بـ19 مواجهة من 36 بالضبط». وبالأحمر، الحلقة السداسية. — مخطّط SCC 1، الصفحة 5، Easlick (2026)، arXiv:2610.40321.

حلّان، وانعكاس واحد

الحلقتان ليستا مستقلّتين. استبدل بكل قيمة وجه v القيمة 7 − v: فيصبح 1 هو 6، و2 هو 5، و3 هو 4، والعكس بالعكس. فالوجه الذي كان أعلى يصبح أدنى، ولذا ينقلب اتجاه كل سهم. ويُثبت Easlick أن هذا التبديل يحوّل العائلة الأولى إلى الثانية: فالحلقة الأولى، إذا قُرئت بالمقلوب، تصبح الثانية. وطبّق التبديل مرتين، فيعود كل حجر نرد إلى نفسه.

ما بعد الستة، الحلقات تتجاوز الأحجار

من سبعة أوجه إلى عشرة، يحدث العكس: حلقات كثيرة، لكنها أطول من اللازم. فمع سبعة أوجه، يشكّل 1,081 من أحجار النرد الممكنة البالغة 1,716 عائلة عملاقة واحدة، وأول حلقة طويلة يُعيدها البحث تربط 14 حجرًا. ومع ثمانية أوجه، تحوي عائلة من 4,321 حجرًا حلقة من 29؛ ومع تسعة، 20,451 حجرًا وحلقة من 10. ومع عشرة أوجه، و92,378 حجرًا و157,244,770 سهمًا، تحوي عائلة من 81,791 حجرًا حلقة من 110. وهذه أول حلقات أطول من عدد الأوجه عثر عليها البحث، لا أطولها.

حلقة من 110 أحجار نرد عشارية الأوجه، يهزم كلٌّ منها الذي يليه في 51 مواجهة من 100 بالضبط. اتبع الأسهم صفًّا صفًّا؛ والخط على اليسار يُغلق الحلقة. — مخطّط الحالة n = 10، الصفحة 10، Easlick (2026)، arXiv:2610.40321.

مثل هذه الحلقات تُخلّ بالشرط الثاني: لا يجوز أن تضمّ أي حلقة أحجارًا أكثر من عدد الأوجه. ويحدس Easlick أن الستة ليس أصغر عدد من الأوجه له هذه الخاصية فحسب، بل أكبرها أيضًا.

أحد عشر وجهًا، لا تزال بعيدة المنال

تبقى هذه الحدسية مفتوحة. فمع أحد عشر وجهًا، هناك 352,716 حجر نرد ممكنًا؛ ومع اثني عشر، 1,352,078. وحساب الحالتين سيستغرق وقتًا أطول بكثير؛ ولا يعرض البحث أي حساب لهما، ولا يفعل المؤلف سوى أن يخمّن أنهما تخفيان كذلك حلقات من 12 و13 حجرًا على الأقل. ويُختتم البحث بأصل السؤال: جولات النرد الكثيرة التي لعبها المؤلف مع أمّه.