SIX DÉS QUI SE BATTENT EN BOUCLE
Lancez deux dés ensemble : le plus grand nombre gagne. Laissez maintenant chaque face porter n’importe quelle valeur de 1 à 6, répétitions permises : un dé peut afficher 1, 1, 2, 5, 5, 5. Peut-on aligner six de ces dés pour que chacun batte le suivant et que le dernier batte le premier, chaque victoire étant la plus courte possible ? Terry Easlick, de l’Université de Montréal, a montré à l’aide d’un ordinateur que six est le plus petit nombre de faces pour lequel cela marche, et qu’il existe exactement deux façons d’y parvenir.
Dix-neuf duels sur trente-six
Un duel entre deux dés à six faces a 36 issues également probables : chaque face de l’un contre chaque face de l’autre. Pour avoir l’avantage, un dé doit sortir le plus grand nombre dans plus de la moitié d’entre elles, donc au moins 19 : une probabilité de 19/36, environ 52,8 %. Avec n faces, il y a n × n paires, et la plus courte victoire est le plus petit nombre entier au-dessus de leur moitié : 13 sur 25 pour cinq faces, 51 sur 100 pour dix.
Voici le décompte pour les dés (1, 1, 2, 5, 5, 5) et (1, 3, 4, 4, 4, 4). Les trois 5 battent les six faces du second dé : 18 paires. Le 2 bat l’unique 1 du second dé : une de plus, 19 en tout. Les deux 1 font égalité avec ce 1, et le second dé gagne les 15 autres. Le premier dé gagne donc 19 duels sur 36 : la victoire la plus étroite qui soit.
Des dés qui se battent les uns les autres en boucle sont dits non transitifs : dans la boucle, chaque dé est battu par un autre, si bien qu’aucun n’est le meilleur. La question d’Easlick : avec des valeurs de 1 à n sur n faces, pour quels n peut-on former une telle boucle de n dés, chaque duel gagné exactement avec la plus petite marge, sans qu’aucune boucle de plus de n dés n’existe parmi tous les dés à n faces, à cette marge ?
Une carte de tous les dés possibles
Un dé n’est ici qu’une liste de valeurs, sans ordre particulier. Avec six faces, il y en a 462, dont le dé ordinaire (1, 2, 3, 4, 5, 6). Easlick représente chacun par un point, puis trace une flèche d’un dé vers un autre chaque fois que le premier gagne exactement 19 duels sur 36. Pour six faces, cela fait 5 491 flèches.
Une boucle de dés est alors un chemin de flèches qui revient à son point de départ. Pour les trouver, son programme, écrit en langage Julia, découpe la carte en composantes fortement connexes : les plus grands groupes à l’intérieur desquels on peut aller de n’importe quel dé à n’importe quel autre en suivant les flèches, et revenir. Toute boucle se trouve entièrement dans l’un de ces groupes ; un groupe d’un seul dé n’en contient donc aucune. Le découpage utilise l’algorithme de Tarjan, publié en 1972. L’auteur déclare avoir utilisé GPT-5.6 pour l’aider à écrire les programmes, et précise que les idées mathématiques sont entièrement les siennes.
Rien, rien, rien, puis deux
Avec trois faces, il y a 10 dés possibles et seulement 3 flèches ; avec quatre, 35 dés et 67 flèches ; avec cinq, 126 dés et 620 flèches. Dans les trois cas, chaque groupe ne contient qu’un dé : à la plus petite marge, aucune boucle n’existe.
Avec six faces, 448 des 462 dés restent seuls. Les 14 autres forment deux familles de sept dés, chacune reliée par 10 flèches. Dans chaque famille, le programme recense quatre boucles : trois de trois dés et une de six. Aucune boucle ne peut compter plus de sept dés, et la liste complète des boucles de chaque famille montre qu’aucune n’en compte sept, ce qui, note l’auteur, se vérifie aussi à la main. Ces deux boucles de six sont les seules. La première :
(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → retour au premier.
La seconde :
(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → retour au premier.
La première famille de sept dés : chaque case est un dé, avec son numéro dans la liste de l’ordinateur et ses six faces. Une flèche signifie « gagne exactement 19 duels sur 36 ». En rouge, la boucle de six. — Diagramme de la SCC 1, page 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.
Deux solutions, un seul reflet
Les deux boucles ne sont pas indépendantes. Remplacez chaque valeur de face v par 7 − v : 1 devient 6, 2 devient 5, 3 devient 4, et inversement. Une face qui était plus haute devient plus basse, donc chaque flèche change de sens. Easlick démontre que cet échange transforme la première famille en la seconde : la première boucle, lue à l’envers, devient la seconde. Appliqué deux fois, l’échange ramène chaque dé à lui-même.
Au-delà de six, les boucles débordent
De sept à dix faces, c’est l’inverse : des boucles en abondance, mais trop longues. Avec sept faces, 1 081 des 1 716 dés possibles forment une seule famille géante, et la première longue boucle que renvoie la recherche relie 14 dés. Avec huit faces, une famille de 4 321 dés contient une boucle de 29 ; avec neuf, 20 451 dés et une boucle de 10. Avec dix faces, 92 378 dés et 157 244 770 flèches, une famille de 81 791 dés contient une boucle de 110. Ce sont les premières boucles plus longues que le nombre de faces trouvées par la recherche, pas les plus longues.
Une boucle de 110 dés à dix faces, chacun battant le suivant dans exactement 51 duels sur 100. Suivez les flèches ligne par ligne ; le trait de gauche referme la boucle. — Diagramme du cas n = 10, page 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.
De telles boucles enfreignent la seconde condition : aucune boucle ne doit compter plus de dés que de faces. Easlick conjecture que six n’est pas seulement le plus petit nombre de faces doté de cette propriété, mais aussi le plus grand.
Onze faces, encore hors de portée
Cette conjecture reste ouverte. Avec onze faces, il y a 352 716 dés possibles ; avec douze, 1 352 078. Les deux cas demandent bien plus de temps de calcul ; l’article n’en rapporte aucun, et l’auteur suppose seulement qu’ils cachent eux aussi des boucles d’au moins 12 et 13 dés. L’article se termine sur l’origine de la question : les nombreuses parties de dés que l’auteur a jouées avec sa mère.