BİR DÖNGÜ İÇİNDE BİRBİRİNİ YENEN ALTI ZAR

İki zarı birlikte atın; büyük sayı kazanır. Şimdi her yüzün 1’den 6’ya kadar herhangi bir değer taşımasına izin verin, tekrar serbest: bir zarda 1, 1, 2, 5, 5, 5 yazabilir. Böyle altı zar, her biri bir sonrakini yenecek ve sonuncusu birinciyi yenecek, her galibiyet mümkün olduğunca dar olacak şekilde sıralanabilir mi? Université de Montréal’den Terry Easlick, bunun işlediği en küçük yüz sayısının altı olduğunu ve bunu yapmanın tam olarak iki yolu bulunduğunu bilgisayarla gösterdi.

Otuz altı düellodan on dokuzu

Altı yüzlü iki zar arasındaki bir düellonun 36 eşit olasılıklı sonucu vardır: birinin her yüzü ötekinin her yüzüne karşı. Üstünlük kurmak için bir zar bunların yarısından fazlasında yüksek gelmelidir, yani en az 19’unda: 19/36 olasılık, yaklaşık %52,8. n yüzle n × n eşleşme vardır ve en dar galibiyet, bunların yarısının üstündeki en küçük tam sayıdır: beş yüz için 25’te 13, on yüz için 100’de 51.

Sayımın (1, 1, 2, 5, 5, 5) ve (1, 3, 4, 4, 4, 4) zarları için nasıl işlediğine bakalım. Üç tane 5, ikinci zarın altı yüzünün hepsini yener: 18 eşleşme. 2, ikinci zarın tek 1’ini yener: bir tane daha, toplam 19. İki tane 1, o 1 ile berabere kalır ve ikinci zar kalan 15’i kazanır. Birinci zar 36 düellodan 19’unu kazanır: mümkün olan en dar zafer.

Bir döngü içinde birbirini yenen zarlara geçişsiz (non-transitive) zarlar denir: döngüdeki her zar bir başkasına yenilir, dolayısıyla hiçbiri en iyisi değildir. Easlick’in sorusu: n yüz üzerinde 1’den n’ye değerlerle, hangi n için n zar, her düello tam olarak en dar farkla kazanılmak ve o farkta n yüzlü zarlar arasında hiçbir yerde n’den fazla zar içeren bir döngü bulunmamak üzere böyle bir döngü oluşturabilir?

Olası her zarın haritası

Burada bir zar yalnızca, belirli bir sırası olmayan bir değerler listesidir. Altı yüzle bunlardan 462 tane vardır; sıradan zar (1, 2, 3, 4, 5, 6) da aralarında. Easlick her birini bir nokta olarak çiziyor, sonra birinci zar 36 düellodan tam 19’unu kazandığında bir zardan ötekine bir ok ekliyor. Altı yüz için bu 5.491 ok ediyor.

Bir zar döngüsü bu durumda başladığı yere dönen bir ok yoludur. Bunları bulmak için Julia dilinde yazılmış programı haritayı güçlü bağlantılı bileşenlere (strongly connected components) ayırıyor: oklar boyunca herhangi bir zardan herhangi bir başkasına gidip geri dönebileceğiniz en büyük gruplar. Her döngü tümüyle bu gruplardan birinin içinde yer alır; dolayısıyla tek zarlık bir grup hiç döngü barındırmaz. Ayırma işlemi, 1972’de yayımlanan Tarjan algoritmasını kullanıyor. Yazar, betikleri yazmaya yardımcı olması için GPT-5.6 kullandığını, matematiksel fikirlerin ise tamamen kendisine ait olduğunu belirtiyor.

Hiç, hiç, hiç, sonra iki

Üç yüzle 10 olası zar ve yalnızca 3 ok var; dört yüzle 35 zar ve 67 ok; beş yüzle 126 zar ve 620 ok. Üç durumun hepsinde her grup tek bir zar içeriyor: en dar farkta hiçbir döngü yok.

Altı yüzle 462 zarın 448’i yalnız duruyor. Kalan 14’ü, her biri 10 okla bağlı yedişer zarlık iki aile oluşturuyor. Program her ailenin içinde dört döngü listeliyor: üç zarlık üç döngü ve altı zarlık bir döngü. Hiçbir döngü yediden fazla zar içeremez ve her ailedeki döngülerin tam listesinde yedi zarlık hiçbir döngü yok; yazar bunun elle de doğrulanabileceğini belirtiyor. Bu iki altılık döngü, var olanların tamamı. Birincisi:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → birinciye geri.

İkincisi:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → birinciye geri.

Yedi zarlık birinci aile: her kutu bir zardır; bilgisayarın listesindeki numarası ve altı yüzüyle. Bir ok “36 düellodan tam 19’unu kazanır” anlamına gelir. Kırmızıyla altılık döngü. — SCC 1 şeması, sayfa 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

İki çözüm, tek bir yansıma

İki döngü birbirinden bağımsız değil. Her v yüz değerini 7 − v ile değiştirin: 1, 6 olur; 2, 5 olur; 3, 4 olur; tersi de geçerli. Daha yüksek olan bir yüz artık daha düşüktür; bu yüzden her ok yön değiştirir. Easlick bu değişimin birinci aileyi ikinciye dönüştürdüğünü kanıtlıyor: birinci döngü tersten okunduğunda ikinci döngü olur. Değişimi iki kez uygulayın, her zar kendisine döner.

Altıdan sonra döngüler zarları aşıyor

Yediden on yüze kadar tersi oluyor: bol bol döngü var, ama fazla uzunlar. Yedi yüzle, 1.716 olası zarın 1.081’i dev bir aile oluşturuyor ve aramanın döndürdüğü ilk uzun döngü 14 zarı birbirine bağlıyor. Sekiz yüzle 4.321 zarlık bir aile 29’luk bir döngü içeriyor; dokuz yüzle 20.451 zar ve 10’luk bir döngü. On yüzle, 92.378 zar ve 157.244.770 ok; 81.791 zarlık bir aile 110’luk bir döngü içeriyor. Bunlar aramanın bulduğu, yüz sayısından uzun ilk döngüler; en uzunları değil.

110 tane on yüzlü zardan oluşan bir döngü; her biri bir sonrakini 100 düellodan tam 51’inde yeniyor. Okları satır satır izleyin; soldaki çizgi döngüyü kapatıyor. — n = 10 durumunun şeması, sayfa 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

Bu tür döngüler ikinci koşulu bozuyor: hiçbir döngü yüz sayısından fazla zar içeremez. Easlick, altının bu özelliğe sahip yalnızca en küçük yüz sayısı değil, aynı zamanda en büyüğü olduğunu varsayıyor.

On bir yüz, hâlâ ulaşılamaz

Bu varsayım hâlâ açık. On bir yüzle 352.716 olası zar var; on iki yüzle 1.352.078. Her iki durumun hesaplanması çok daha uzun sürerdi; makale bunlar için hiçbir hesaplama bildirmiyor ve yazar yalnızca bunların da en az 12 ve 13 zarlık döngüler gizlediğini tahmin ediyor. Makale, sorunun nereden geldiğiyle kapanıyor: yazarın annesiyle oynadığı sayısız zar oyunu.