SECHS WÜRFEL, DIE EINANDER IM KREIS SCHLAGEN

Man werfe zwei Würfel zugleich; die höhere Zahl gewinnt. Nun darf jede Seite einen beliebigen Wert von 1 bis 6 tragen, Wiederholungen erlaubt: Ein Würfel könnte 1, 1, 2, 5, 5, 5 zeigen. Lassen sich sechs solche Würfel so aufreihen, dass jeder den nächsten schlägt und der letzte den ersten, jeder Sieg so knapp wie möglich? Terry Easlick von der Université de Montréal hat mit einem Computer gezeigt, dass sechs die kleinste Zahl von Seiten ist, bei der das funktioniert, und dass es genau zwei Möglichkeiten dafür gibt.

Neunzehn von sechsunddreißig Duellen

Ein Duell zwischen zwei sechsseitigen Würfeln hat 36 gleich wahrscheinliche Ausgänge: jede Seite des einen gegen jede Seite des anderen. Um im Vorteil zu sein, muss ein Würfel bei mehr als der Hälfte davon höher liegen, also bei mindestens 19: eine Wahrscheinlichkeit von 19/36, etwa 52,8 %. Bei n Seiten gibt es n × n Paarungen, und der knappste Sieg ist die kleinste ganze Zahl über der Hälfte davon: 13 von 25 bei fünf Seiten, 51 von 100 bei zehn.

So funktioniert die Zählung für die Würfel (1, 1, 2, 5, 5, 5) und (1, 3, 4, 4, 4, 4). Die drei Fünfen schlagen alle sechs Seiten des zweiten Würfels: 18 Paarungen. Die 2 schlägt die einzige 1 des zweiten Würfels: eine mehr, insgesamt 19. Die beiden Einsen spielen gegen diese 1 unentschieden, und der zweite Würfel gewinnt die übrigen 15. Der erste Würfel gewinnt 19 von 36 Duellen: der knappste Sieg, den es gibt.

Würfel, die einander im Kreis schlagen, heißen nichttransitiv: Jeder Würfel im Kreis wird von einem anderen geschlagen, also ist keiner der beste. Easlicks Frage: Für welche n können n Würfel mit Werten von 1 bis n auf n Seiten einen solchen Kreis bilden, bei dem jedes Duell mit genau dem knappsten Vorsprung gewonnen wird und es unter den n-seitigen Würfeln mit diesem Vorsprung nirgends einen Kreis aus mehr als n Würfeln gibt?

Eine Karte aller möglichen Würfel

Ein Würfel ist hier einfach eine Liste von Werten, ohne bestimmte Reihenfolge. Mit sechs Seiten gibt es 462 davon, darunter der gewöhnliche Würfel (1, 2, 3, 4, 5, 6). Easlick zeichnet jeden als Punkt und fügt dann einen Pfeil von einem Würfel zu einem anderen hinzu, wann immer der erste genau 19 von 36 Duellen gewinnt. Bei sechs Seiten ergibt das 5.491 Pfeile.

Ein Kreis von Würfeln ist dann ein Weg aus Pfeilen, der zu seinem Anfang zurückkehrt. Um sie zu finden, zerlegt sein in der Sprache Julia geschriebenes Programm die Karte in starke Zusammenhangskomponenten (strongly connected components): die größten Gruppen, in denen man entlang der Pfeile von jedem Würfel zu jedem anderen und wieder zurück gelangen kann. Jeder Kreis liegt vollständig in einer dieser Gruppen, daher enthält eine Gruppe aus einem einzigen Würfel keinen. Die Zerlegung verwendet den 1972 veröffentlichten Algorithmus von Tarjan. Der Autor gibt an, GPT-5.6 als Hilfe beim Schreiben der Skripte genutzt zu haben, und dass die mathematischen Ideen ausschließlich von ihm stammen.

Nichts, nichts, nichts, dann zwei

Mit drei Seiten gibt es 10 mögliche Würfel und nur 3 Pfeile; mit vier 35 Würfel und 67 Pfeile; mit fünf 126 Würfel und 620 Pfeile. In allen drei Fällen enthält jede Gruppe einen einzigen Würfel: Beim knappsten Vorsprung gibt es überhaupt keinen Kreis.

Mit sechs Seiten stehen 448 der 462 Würfel allein. Die übrigen 14 bilden zwei Familien aus je sieben Würfeln, jede durch 10 Pfeile verbunden. In jeder Familie listet das Programm vier Kreise auf: drei aus drei Würfeln und einen aus sechs. Kein Kreis kann mehr als sieben Würfel enthalten, und die vollständige Liste der Kreise in jeder Familie zeigt keinen aus sieben, was sich laut dem Autor auch von Hand nachprüfen lässt. Diese beiden Kreise aus sechs sind die einzigen. Der erste:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → zurück zum ersten.

Der zweite:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → zurück zum ersten.

Diagramm aus sieben Kästchen, die jeweils eine Liste von sechs Zahlen enthalten, durch Pfeile verbunden; sechs rote Pfeile bilden einen geschlossenen Kreis am Rand.

Die erste Familie aus sieben Würfeln: Jedes Kästchen ist ein Würfel, mit seiner Nummer in der Liste des Computers und seinen sechs Seiten. Ein Pfeil bedeutet „gewinnt genau 19 von 36 Duellen“. In Rot der Kreis aus sechs. — Diagramm von SCC 1, Seite 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

Zwei Lösungen, eine Spiegelung

Die beiden Kreise sind nicht unabhängig. Man ersetze jeden Seitenwert v durch 7 − v: Aus 1 wird 6, aus 2 wird 5, aus 3 wird 4 und umgekehrt. Eine Seite, die höher war, ist nun niedriger, also kehrt jeder Pfeil seine Richtung um. Easlick beweist, dass dieser Tausch die erste Familie in die zweite überführt: Der erste Kreis, rückwärts gelesen, wird zum zweiten. Wendet man den Tausch zweimal an, kehrt jeder Würfel zu sich selbst zurück.

Jenseits von sechs wachsen die Kreise über die Würfel hinaus

Von sieben bis zehn Seiten geschieht das Gegenteil: Kreise in Hülle und Fülle, aber zu lange. Mit sieben Seiten bilden 1.081 der 1.716 möglichen Würfel eine riesige Familie, und der erste lange Kreis, den die Suche liefert, verbindet 14 Würfel. Mit acht Seiten enthält eine Familie aus 4.321 Würfeln einen Kreis aus 29; mit neun 20.451 Würfel und einen Kreis aus 10. Mit zehn Seiten, 92.378 Würfeln und 157.244.770 Pfeilen enthält eine Familie aus 81.791 Würfeln einen Kreis aus 110. Das sind die ersten Kreise, die länger als die Zahl der Seiten sind und die die Suche gefunden hat, nicht die längsten.

Raster aus 110 kleinen Kästchen, die jeweils zehn Zahlen enthalten, durch Pfeile in einem Schlangenmuster verbunden, das zu seinem Anfang zurückkehrt.

Ein Kreis aus 110 zehnseitigen Würfeln, von denen jeder den nächsten in genau 51 von 100 Duellen schlägt. Man folge den Pfeilen Zeile für Zeile; die Linie links schließt den Kreis. — Diagramm des Falls n = 10, Seite 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

Solche Kreise verletzen die zweite Bedingung: Kein Kreis darf mehr Würfel enthalten, als es Seiten gibt. Easlick vermutet, dass sechs nicht nur die kleinste Zahl von Seiten mit dieser Eigenschaft ist, sondern auch die größte.

Elf Seiten, noch außer Reichweite

Diese Vermutung bleibt offen. Mit elf Seiten gibt es 352.716 mögliche Würfel; mit zwölf 1.352.078. Die Berechnung beider Fälle würde weit länger dauern; die Arbeit berichtet über keine Berechnung dazu, und der Autor vermutet lediglich, dass auch sie Kreise aus mindestens 12 bzw. 13 Würfeln verbergen. Die Arbeit schließt mit dem Ursprung der Frage: den vielen Würfelspielen, die der Autor mit seiner Mutter gespielt hat.