ছয়টি ছক্কা, যারা একটি চক্রে একে অপরকে হারায়

দুটি ছক্কা একসঙ্গে গড়িয়ে দিন; বড় সংখ্যাটি জেতে। এবার প্রতিটি তলে 1 থেকে 6-এর যে-কোনো মান থাকতে পারে, পুনরাবৃত্তিসহ: একটি ছক্কায় থাকতে পারে 1, 1, 2, 5, 5, 5। এমন ছয়টি ছক্কাকে কি এমনভাবে সারিতে সাজানো যায় যাতে প্রতিটি পরেরটিকে হারায় আর শেষটি প্রথমটিকে, আর প্রতিটি জয় যতটা সম্ভব সরু? মন্ট্রিয়ল বিশ্ববিদ্যালয়ের Terry Easlick একটি কম্পিউটারের সাহায্যে দেখিয়েছেন যে ছয়ই সবচেয়ে কম তল-সংখ্যা যার জন্য এটি সম্ভব, এবং এটি করার ঠিক দুটি উপায় আছে।

ছত্রিশের মধ্যে উনিশটি দ্বৈরথ

দুটি ছয়-তলের ছক্কার একটি দ্বৈরথে 36টি সমসম্ভাব্য ফল আছে: একটির প্রতিটি তল অন্যটির প্রতিটি তলের বিরুদ্ধে। এগিয়ে থাকতে হলে একটি ছক্কাকে তার অর্ধেকের বেশিতে বড় আসতে হবে, অর্থাৎ অন্তত 19টিতে: সম্ভাবনা 19/36, প্রায় 52.8%। n তলে n × n জোড়া হয়, আর সবচেয়ে সরু জয় হলো তার অর্ধেকের ওপরের সবচেয়ে ছোট পূর্ণসংখ্যা: পাঁচ তলে 25-এর মধ্যে 13, দশ তলে 100-এর মধ্যে 51।

ছক্কা (1, 1, 2, 5, 5, 5) ও (1, 3, 4, 4, 4, 4)-এর জন্য গণনা এভাবে চলে। তিনটি 5 দ্বিতীয় ছক্কার ছয়টি তলকেই হারায়: 18টি জোড়া। 2 দ্বিতীয় ছক্কার একমাত্র 1-কে হারায়: আরও একটি, মোট 19। দুটি 1 সেই 1-এর সঙ্গে ড্র করে, আর বাকি 15টি জেতে দ্বিতীয় ছক্কা। প্রথম ছক্কা 36-এর মধ্যে 19টি দ্বৈরথ জেতে: এর চেয়ে সরু জয় আর হয় না।

যে ছক্কাগুলো একটি চক্রে একে অপরকে হারায়, তাদের বলা হয় অ-সংক্রামী (non-transitive): চক্রের প্রতিটি ছক্কা অন্য একটির কাছে হারে, তাই কোনোটিই সেরা নয়। Easlick-এর প্রশ্ন: n তলে 1 থেকে n মান নিয়ে, কোন n-এর জন্য n-টি ছক্কা এমন একটি চক্র গড়তে পারে, যেখানে প্রতিটি দ্বৈরথ ঠিক সবচেয়ে সরু ব্যবধানে জেতা হয়, এবং সেই ব্যবধানে n-তলের ছক্কাগুলোর মধ্যে কোথাও n-এর বেশি ছক্কার কোনো চক্র নেই?

সম্ভাব্য প্রতিটি ছক্কার একটি মানচিত্র

এখানে একটি ছক্কা নিছক মানের একটি তালিকা, কোনো নির্দিষ্ট ক্রম ছাড়া। ছয় তলে এমন 462টি আছে, তাদের মধ্যে সাধারণ ছক্কা (1, 2, 3, 4, 5, 6)-ও। Easlick প্রতিটিকে একটি বিন্দু হিসেবে আঁকেন, তারপর যখনই প্রথম ছক্কা 36-এর মধ্যে ঠিক 19টি দ্বৈরথ জেতে, তখন একটি ছক্কা থেকে অন্যটিতে একটি তীর যোগ করেন। ছয় তলের জন্য তাতে হয় 5,491টি তীর।

তখন ছক্কার একটি চক্র হলো তীরের এমন একটি পথ যা তার শুরুতে ফিরে আসে। সেগুলো খুঁজতে Julia ভাষায় লেখা তাঁর প্রোগ্রাম মানচিত্রটিকে দৃঢ়ভাবে সংযুক্ত উপাংশে (strongly connected components) ভাগ করে: সবচেয়ে বড় সেই দলগুলো, যেখানে তীর ধরে যে-কোনো ছক্কা থেকে যে-কোনো অন্য ছক্কায় যাওয়া যায়, এবং ফিরেও আসা যায়। প্রতিটি চক্র পুরোপুরি এমন একটি দলের ভেতরে থাকে, তাই একটিমাত্র ছক্কার দলে কোনো চক্র থাকে না। ভাগটি করা হয় 1972 সালে প্রকাশিত Tarjan-এর অ্যালগরিদম দিয়ে। লেখক জানিয়েছেন, স্ক্রিপ্ট লিখতে সাহায্যের জন্য তিনি GPT-5.6 ব্যবহার করেছেন, আর গাণিতিক ধারণাগুলো পুরোপুরি তাঁর নিজের।

কিছু না, কিছু না, কিছু না, তারপর দুটি

তিন তলে 10টি সম্ভাব্য ছক্কা আর মাত্র 3টি তীর; চার তলে 35টি ছক্কা আর 67টি তীর; পাঁচ তলে 126টি ছক্কা আর 620টি তীর। তিনটি ক্ষেত্রেই প্রতিটি দলে একটিমাত্র ছক্কা: সবচেয়ে সরু ব্যবধানে কোনো চক্রই নেই।

ছয় তলে 462টির মধ্যে 448টি ছক্কা একা থাকে। বাকি 14টি গড়ে সাতটি করে ছক্কার দুটি পরিবার, প্রতিটি 10টি তীরে যুক্ত। প্রতিটি পরিবারের ভেতরে প্রোগ্রামটি চারটি চক্রের তালিকা দেয়: তিনটি ছক্কার তিনটি চক্র আর ছয়টির একটি। কোনো চক্রে সাতটির বেশি ছক্কা থাকতে পারে না, আর প্রতিটি পরিবারের চক্রের পূর্ণ তালিকায় সাতটির কোনো চক্র নেই, যা লেখকের মতে হাতে-কলমেও যাচাই করা যায়। ছয়টির এই দুটি চক্রই একমাত্র। প্রথমটি:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → আবার প্রথমটিতে।

দ্বিতীয়টি:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → আবার প্রথমটিতে।

সাতটি ছক্কার প্রথম পরিবার: প্রতিটি বাক্স একটি ছক্কা, কম্পিউটারের তালিকায় তার নম্বর আর তার ছয়টি তলসহ। একটি তীরের অর্থ “36-এর মধ্যে ঠিক 19টি দ্বৈরথ জেতে”। লাল রঙে ছয়ের চক্রটি। — SCC 1-এর নকশাচিত্র, পৃষ্ঠা 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

দুটি সমাধান, একটি প্রতিফলন

চক্র দুটি স্বাধীন নয়। প্রতিটি তলের মান v-কে 7 − v দিয়ে বদলে দিন: 1 হয়ে যায় 6, 2 হয়ে যায় 5, 3 হয়ে যায় 4, আর উল্টোটাও। যে তল বড় ছিল তা এখন ছোট, তাই প্রতিটি তীরের দিক উল্টে যায়। Easlick প্রমাণ করেন, এই অদলবদল প্রথম পরিবারকে দ্বিতীয়টিতে পরিণত করে: প্রথম চক্রটি উল্টো করে পড়লে দ্বিতীয়টি হয়ে যায়। অদলবদলটি দুবার করলে প্রতিটি ছক্কা নিজের রূপে ফিরে আসে।

ছয়ের পরে চক্রগুলো ছক্কাকে ছাড়িয়ে যায়

সাত থেকে দশ তলে উল্টোটা ঘটে: প্রচুর চক্র, কিন্তু বড্ড লম্বা। সাত তলে 1,716টি সম্ভাব্য ছক্কার মধ্যে 1,081টি একটি বিশাল পরিবার গড়ে, আর অনুসন্ধানে পাওয়া প্রথম লম্বা চক্রটি 14টি ছক্কাকে যুক্ত করে। আট তলে 4,321টি ছক্কার একটি পরিবারে 29-এর একটি চক্র; নয় তলে 20,451টি ছক্কা আর 10-এর একটি চক্র। দশ তলে, 92,378টি ছক্কা আর 157,244,770টি তীরের মধ্যে, 81,791টি ছক্কার একটি পরিবারে 110-এর একটি চক্র। এগুলো অনুসন্ধানে পাওয়া তলের সংখ্যার চেয়ে লম্বা প্রথম চক্র, সবচেয়ে লম্বাগুলো নয়।

110টি দশ-তলের ছক্কার একটি চক্র, যার প্রতিটি পরেরটিকে 100-এর মধ্যে ঠিক 51টি দ্বৈরথে হারায়। সারি ধরে ধরে তীর অনুসরণ করুন; বাঁদিকের রেখাটি চক্রটি বন্ধ করে। — n = 10 ক্ষেত্রের নকশাচিত্র, পৃষ্ঠা 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

এমন চক্র দ্বিতীয় শর্তটি ভাঙে: কোনো চক্রে তলের সংখ্যার চেয়ে বেশি ছক্কা থাকতে পারবে না। Easlick অনুমান করেন, ছয় শুধু এই বৈশিষ্ট্যওয়ালা সবচেয়ে ছোট তল-সংখ্যাই নয়, সবচেয়ে বড়ও।

এগারো তল, এখনো নাগালের বাইরে

সেই অনুমান এখনো খোলা। এগারো তলে 352,716টি সম্ভাব্য ছক্কা; বারো তলে 1,352,078টি। দুটি ক্ষেত্রেই গণনায় অনেক বেশি সময় লাগবে; গবেষণাপত্রে এগুলোর কোনো গণনার কথা নেই, আর লেখক কেবল অনুমান করেন যে সেগুলোতেও অন্তত 12 ও 13টি ছক্কার চক্র লুকিয়ে আছে। গবেষণাপত্রটি শেষ হয় প্রশ্নটির উৎস দিয়ে: লেখক তাঁর মায়ের সঙ্গে যে বহু ছক্কার খেলা খেলেছেন।