شش تاس که در یک چرخه یکدیگر را می‌برند

دو تاس را با هم بیندازید؛ عدد بزرگ‌تر می‌برد. حالا بگذارید هر وجه هر مقداری از 1 تا 6 داشته باشد، با تکرار مجاز: یک تاس ممکن است 1، 1، 2، 5، 5، 5 باشد. آیا می‌توان شش تاس از این دست را چنان پشت سر هم چید که هر یک تاس بعدی را ببرد و آخری اولی را، و هر برد تا حد ممکن تنگ باشد؟ Terry Easlick از دانشگاه مونترال با رایانه نشان داده است که شش کوچک‌ترین تعداد وجهی است که این کار با آن ممکن است، و دقیقاً دو راه برای انجامش وجود دارد.

نوزده دوئل از سی‌وشش

یک دوئل میان دو تاس شش‌وجهی 36 پیامد هم‌احتمال دارد: هر وجه یکی در برابر هر وجه دیگری. برای برتری، یک تاس باید در بیش از نیمی از آن‌ها عدد بالاتری بیاورد، پس دست‌کم 19: احتمال 19/36، حدود 52.8%. با n وجه، n × n جفت‌شدن وجود دارد و تنگ‌ترین برد کوچک‌ترین عدد صحیح بالای نیمی از آن‌هاست: 13 از 25 برای پنج وجه، 51 از 100 برای ده وجه.

شمارش برای تاس‌های (1, 1, 2, 5, 5, 5) و (1, 3, 4, 4, 4, 4) این‌گونه است. سه 5 همهٔ شش وجه تاس دوم را می‌برند: 18 جفت‌شدن. 2 تنها 1 تاس دوم را می‌برد: یکی دیگر، در مجموع 19. دو 1 با آن 1 مساوی می‌شوند و تاس دوم 15 جفت‌شدن دیگر را می‌برد. تاس اول 19 دوئل از 36 را می‌برد: تنگ‌ترین پیروزی ممکن.

به تاس‌هایی که در یک چرخه یکدیگر را می‌برند ناتراگذر (non-transitive) می‌گویند: هر تاس چرخه را تاس دیگری می‌برد، پس هیچ‌کدام بهترین نیست. پرسش Easlick: با مقادیر 1 تا n روی n وجه، به ازای کدام n می‌توان با n تاس چنین چرخه‌ای ساخت که هر دوئل دقیقاً با کمترین فاصله برده شود و در میان تاس‌های n وجهی با این فاصله، هیچ‌جا چرخه‌ای با بیش از n تاس نباشد؟

نقشه‌ای از همهٔ تاس‌های ممکن

اینجا یک تاس صرفاً فهرستی از مقادیر است، بدون ترتیب خاص. با شش وجه، 462 تاس وجود دارد که تاس معمولی (1, 2, 3, 4, 5, 6) هم میان آن‌هاست. Easlick هر یک را به شکل یک نقطه می‌کشد و هر بار که تاسی دقیقاً 19 دوئل از 36 را در برابر تاس دیگر ببرد، پیکانی از اولی به دومی می‌افزاید. برای شش وجه، این می‌شود 5,491 پیکان.

یک چرخهٔ تاس در این صورت مسیری از پیکان‌هاست که به نقطهٔ آغازش بازمی‌گردد. برنامهٔ او که به زبان Julia نوشته شده، برای یافتن آن‌ها نقشه را به مؤلفه‌های قویاً همبند (strongly connected components) تقسیم می‌کند: بزرگ‌ترین گروه‌هایی که در آن‌ها می‌توان در امتداد پیکان‌ها از هر تاس به هر تاس دیگر رفت و بازگشت. هر چرخه سراسر درون یکی از این گروه‌ها قرار دارد، پس گروهی تک‌تاسی هیچ چرخه‌ای ندارد. این تقسیم از الگوریتم Tarjan استفاده می‌کند که در 1972 منتشر شد. نویسنده می‌گوید برای کمک به نوشتن اسکریپت‌ها از GPT-5.6 استفاده کرده و ایده‌های ریاضی یکسره از خود اوست.

هیچ، هیچ، هیچ، سپس دو

با سه وجه 10 تاس ممکن و تنها 3 پیکان هست؛ با چهار وجه، 35 تاس و 67 پیکان؛ با پنج وجه، 126 تاس و 620 پیکان. در هر سه حالت، هر گروه تنها یک تاس دارد: در کمترین فاصله، اصلاً چرخه‌ای وجود ندارد.

با شش وجه، 448 تاس از 462 تاس تنها می‌مانند. 14 تاس دیگر دو خانوادهٔ هفت‌تایی می‌سازند که هر کدام با 10 پیکان به هم پیوسته‌اند. درون هر خانواده، برنامه چهار چرخه فهرست می‌کند: سه چرخهٔ سه‌تاسی و یک چرخهٔ شش‌تاسی. هیچ چرخه‌ای نمی‌تواند بیش از هفت تاس داشته باشد و فهرست کامل چرخه‌های هر خانواده هیچ چرخهٔ هفت‌تاسی نشان نمی‌دهد؛ نویسنده یادآوری می‌کند که این را با دست هم می‌توان وارسی کرد. این دو چرخهٔ شش‌تاسی تنها چرخه‌های موجودند. اولی:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → بازگشت به اولی.

دومی:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → بازگشت به اولی.

خانوادهٔ نخست هفت تاس: هر جعبه یک تاس است، با شماره‌اش در فهرست رایانه و شش وجهش. هر پیکان یعنی «دقیقاً 19 دوئل از 36 را می‌برد». به رنگ سرخ، چرخهٔ شش‌تایی. — نمودار SCC 1، صفحهٔ 5، Easlick (2026)، arXiv:2610.40321.

دو پاسخ، یک بازتاب

این دو چرخه مستقل از هم نیستند. هر مقدار وجه v را با 7 − v جایگزین کنید: 1 می‌شود 6، 2 می‌شود 5، 3 می‌شود 4، و برعکس. وجهی که بالاتر بود اکنون پایین‌تر است، پس جهت هر پیکان وارونه می‌شود. Easlick اثبات می‌کند که این جابه‌جایی خانوادهٔ نخست را به خانوادهٔ دوم تبدیل می‌کند: چرخهٔ نخست، اگر وارونه خوانده شود، چرخهٔ دوم می‌شود. این جابه‌جایی را دو بار انجام دهید و هر تاس به خودش بازمی‌گردد.

پس از شش، چرخه‌ها از تاس‌ها بزرگ‌تر می‌شوند

از هفت تا ده وجه، عکس این رخ می‌دهد: چرخه‌ها فراوان‌اند، اما بیش از حد بلند. با هفت وجه، 1,081 تاس از 1,716 تاس ممکن یک خانوادهٔ غول‌آسا می‌سازند و نخستین چرخهٔ بلندی که جست‌وجو برمی‌گرداند 14 تاس را به هم پیوند می‌دهد. با هشت وجه، خانواده‌ای 4,321تایی چرخه‌ای 29تایی دارد؛ با نُه وجه، 20,451 تاس و چرخه‌ای 10تایی. با ده وجه، 92,378 تاس و 157,244,770 پیکان، خانواده‌ای 81,791تایی چرخه‌ای 110تایی دارد. این‌ها نخستین چرخه‌های بلندتر از تعداد وجه‌ها هستند که جست‌وجو یافت، نه بلندترین‌ها.

چرخه‌ای از 110 تاس ده‌وجهی که هر یک تاس بعدی را دقیقاً در 51 دوئل از 100 می‌برد. پیکان‌ها را ردیف به ردیف دنبال کنید؛ خط سمت چپ چرخه را می‌بندد. — نمودار حالت n = 10، صفحهٔ 10، Easlick (2026)، arXiv:2610.40321.

چنین چرخه‌هایی شرط دوم را می‌شکنند: هیچ چرخه‌ای نباید بیش از تعداد وجه‌ها تاس داشته باشد. Easlick حدس می‌زند که شش نه‌تنها کوچک‌ترین تعداد وجه با این ویژگی، بلکه بزرگ‌ترین آن نیز هست.

یازده وجه، هنوز دست‌نیافتنی

این حدس همچنان باز است. با یازده وجه، 352,716 تاس ممکن وجود دارد؛ با دوازده وجه، 1,352,078. محاسبهٔ هر دو حالت بسیار طولانی‌تر خواهد بود؛ مقاله هیچ محاسبه‌ای برای آن‌ها گزارش نمی‌کند و نویسنده تنها گمان می‌کند که این‌ها نیز چرخه‌هایی دست‌کم 12 و 13تاسی در خود پنهان دارند. مقاله با خاستگاه پرسش به پایان می‌رسد: بازی‌های تاس بسیاری که نویسنده با مادرش انجام داد.