چھ پانسے جو ایک چکر میں ایک دوسرے کو ہراتے ہیں

دو پانسے ایک ساتھ پھینکیے؛ بڑا عدد جیتتا ہے۔ اب ہر رخ کو 1 سے 6 تک کی کوئی بھی قدر رکھنے دیجیے، دہرانے کی اجازت کے ساتھ: کسی پانسے پر 1، 1، 2، 5، 5، 5 لکھا ہو سکتا ہے۔ کیا ایسے چھ پانسوں کو اس طرح قطار میں رکھا جا سکتا ہے کہ ہر ایک اگلے کو ہرائے اور آخری پہلے کو، ہر جیت جتنی ممکن ہو باریک؟ یونیورسیتے دے مونتریال کے ٹیری ایزلک (Terry Easlick) نے ایک کمپیوٹر سے دکھایا ہے کہ چھ رخوں کی وہ سب سے چھوٹی تعداد ہے جس کے لیے یہ کام کرتا ہے، اور اسے کرنے کے ٹھیک دو طریقے ہیں۔

چھتیس میں سے انیس مقابلے

دو چھ رخی پانسوں کے درمیان ایک مقابلے کے 36 یکساں امکان والے نتائج ہیں: ایک کا ہر رخ دوسرے کے ہر رخ کے مقابل۔ برتری حاصل کرنے کے لیے کسی پانسے کو ان میں سے آدھے سے زیادہ میں اوپر آنا ہوگا، یعنی کم از کم 19: 19/36 کا احتمال، تقریباً 52.8%۔ n رخوں کے ساتھ n × n جوڑیاں ہوتی ہیں، اور سب سے باریک جیت ان کے نصف سے اوپر کا سب سے چھوٹا پورا عدد ہے: پانچ رخوں کے لیے 25 میں سے 13، دس کے لیے 100 میں سے 51۔

پانسوں (1, 1, 2, 5, 5, 5) اور (1, 3, 4, 4, 4, 4) کے لیے گنتی یوں ہوتی ہے۔ تین 5 دوسرے پانسے کے تمام چھ رخوں کو ہراتے ہیں: 18 جوڑیاں۔ 2 دوسرے پانسے کے واحد 1 کو ہراتا ہے: ایک اور، کُل 19۔ دونوں 1 اس 1 سے برابر رہتے ہیں، اور دوسرا پانسہ باقی 15 جیتتا ہے۔ پہلا پانسہ 36 میں سے 19 مقابلے جیتتا ہے: سب سے باریک ممکن فتح۔

ایک چکر میں ایک دوسرے کو ہرانے والے پانسوں کو غیر متعدی (non-transitive) کہا جاتا ہے: چکر کے ہر پانسے کو کوئی دوسرا ہراتا ہے، اس لیے کوئی بھی سب سے بہتر نہیں۔ ایزلک کا سوال: n رخوں پر 1 سے n تک کی قدروں کے ساتھ، کن n کے لیے n پانسے ایسا چکر بنا سکتے ہیں، جس میں ہر مقابلہ ٹھیک سب سے باریک فرق سے جیتا گیا ہو، اور اس فرق پر n رخی پانسوں میں کہیں بھی n سے زیادہ پانسوں کا کوئی چکر نہ ہو؟

ہر ممکنہ پانسے کا نقشہ

یہاں پانسہ محض قدروں کی ایک فہرست ہے، کسی خاص ترتیب کے بغیر۔ چھ رخوں کے ساتھ ایسے 462 ہیں، جن میں عام پانسہ (1, 2, 3, 4, 5, 6) بھی شامل ہے۔ ایزلک ہر ایک کو ایک نقطے کے طور پر بناتے ہیں، پھر جب بھی ایک پانسہ دوسرے سے 36 میں سے ٹھیک 19 مقابلے جیتے تو پہلے سے دوسرے تک ایک تیر جوڑ دیتے ہیں۔ چھ رخوں کے لیے یہ 5,491 تیر بنتے ہیں۔

تب پانسوں کا ایک چکر تیروں کا ایک ایسا راستہ ہے جو اپنے آغاز پر لوٹ آئے۔ انہیں ڈھونڈنے کے لیے ان کا پروگرام، جو Julia زبان میں لکھا گیا ہے، نقشے کو مضبوطی سے جڑے ہوئے اجزا (strongly connected components) میں بانٹتا ہے: یعنی وہ سب سے بڑے گروہ جن میں آپ تیروں کے ساتھ ساتھ کسی بھی پانسے سے کسی بھی دوسرے تک جا سکیں، اور واپس آ سکیں۔ ہر چکر مکمل طور پر ان گروہوں میں سے کسی ایک کے اندر ہوتا ہے، اس لیے ایک پانسے والا گروہ کوئی چکر نہیں رکھتا۔ یہ تقسیم 1972 میں شائع ہونے والا ٹارجن کا الگورتھم (Tarjan’s algorithm) استعمال کرتی ہے۔ مصنف بیان کرتے ہیں کہ انہوں نے اسکرپٹس لکھنے میں مدد کے لیے GPT-5.6 استعمال کیا، اور ریاضیاتی خیالات مکمل طور پر ان کے اپنے ہیں۔

کچھ نہیں، کچھ نہیں، کچھ نہیں، پھر دو

تین رخوں کے ساتھ 10 ممکنہ پانسے اور صرف 3 تیر ہیں؛ چار کے ساتھ 35 پانسے اور 67 تیر؛ پانچ کے ساتھ 126 پانسے اور 620 تیر۔ تینوں صورتوں میں ہر گروہ ایک ہی پانسہ رکھتا ہے: سب سے باریک فرق پر کوئی چکر موجود ہی نہیں۔

چھ رخوں کے ساتھ 462 میں سے 448 پانسے اکیلے ہیں۔ باقی 14 سات پانسوں کے دو خاندان بناتے ہیں، ہر ایک 10 تیروں سے جڑا ہوا۔ ہر خاندان کے اندر پروگرام چار چکروں کی فہرست دیتا ہے: تین پانسوں کے تین اور چھ کا ایک۔ کوئی چکر سات سے زیادہ پانسے نہیں رکھ سکتا، اور ہر خاندان کے چکروں کی مکمل فہرست میں سات کا کوئی نہیں، جسے مصنف کے بقول ہاتھ سے بھی جانچا جا سکتا ہے۔ چھ کے یہ دو چکر ہی واحد ہیں۔ پہلا:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → واپس پہلے تک۔

دوسرا:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → واپس پہلے تک۔

سات پانسوں کا پہلا خاندان: ہر خانہ ایک پانسہ ہے، کمپیوٹر کی فہرست میں اپنے نمبر اور اپنے چھ رخوں کے ساتھ۔ تیر کا مطلب ہے “36 میں سے ٹھیک 19 مقابلے جیتتا ہے”۔ سرخ میں چھ کا چکر۔ — SCC 1 کا خاکہ، صفحہ 5، Easlick (2026)، arXiv:2610.40321۔

دو حل، ایک عکس

دونوں چکر ایک دوسرے سے آزاد نہیں۔ ہر رخ کی قدر v کو 7 − v سے بدل دیجیے: 1 بن جاتا ہے 6، 2 بن جاتا ہے 5، 3 بن جاتا ہے 4، اور الٹ بھی۔ جو رخ بڑا تھا وہ اب چھوٹا ہے، اس لیے ہر تیر کی سمت الٹ جاتی ہے۔ ایزلک ثابت کرتے ہیں کہ یہ تبادلہ پہلے خاندان کو دوسرے میں بدل دیتا ہے: پہلا چکر، الٹا پڑھا جائے تو، دوسرا بن جاتا ہے۔ تبادلہ دو بار لاگو کیجیے تو ہر پانسہ اپنی اصل پر لوٹ آتا ہے۔

چھ سے آگے، چکر پانسوں سے بڑے ہو جاتے ہیں

سات سے دس رخوں تک الٹ ہوتا ہے: چکر بہت ہیں، مگر بہت لمبے۔ سات رخوں کے ساتھ 1,716 ممکنہ پانسوں میں سے 1,081 ایک دیوہیکل خاندان بناتے ہیں، اور تلاش جو پہلا لمبا چکر لوٹاتی ہے وہ 14 پانسوں کو جوڑتا ہے۔ آٹھ رخوں کے ساتھ 4,321 پانسوں کا ایک خاندان 29 کا ایک چکر رکھتا ہے؛ نو کے ساتھ 20,451 پانسے اور 10 کا ایک چکر۔ دس رخوں کے ساتھ، 92,378 پانسے اور 157,244,770 تیر، 81,791 پانسوں کا ایک خاندان 110 کا ایک چکر رکھتا ہے۔ یہ وہ پہلے چکر ہیں جو رخوں کی تعداد سے لمبے ہیں اور جو تلاش کو ملے، سب سے لمبے نہیں۔

110 دس رخی پانسوں کا ایک چکر، ہر ایک اگلے کو 100 میں سے ٹھیک 51 مقابلوں میں ہراتا ہے۔ تیروں کے پیچھے قطار در قطار چلیے؛ بائیں طرف کی لکیر چکر کو بند کرتی ہے۔ — صورت n = 10 کا خاکہ، صفحہ 10، Easlick (2026)، arXiv:2610.40321۔

ایسے چکر دوسری شرط توڑ دیتے ہیں: کوئی چکر رخوں کی تعداد سے زیادہ پانسے نہیں رکھ سکتا۔ ایزلک کا قیاس ہے کہ چھ نہ صرف اس خاصیت والے رخوں کی سب سے چھوٹی تعداد ہے، بلکہ سب سے بڑی بھی۔

گیارہ رخ، ابھی پہنچ سے باہر

یہ قیاس ابھی کھلا ہے۔ گیارہ رخوں کے ساتھ 352,716 ممکنہ پانسے ہیں؛ بارہ کے ساتھ 1,352,078۔ دونوں صورتوں کے حساب میں کہیں زیادہ وقت لگے گا؛ مقالہ ان کے لیے کوئی حساب پیش نہیں کرتا، اور مصنف صرف یہ گمان کرتے ہیں کہ ان میں بھی کم از کم 12 اور 13 پانسوں کے چکر چھپے ہیں۔ مقالہ اس پر ختم ہوتا ہے کہ یہ سوال کہاں سے آیا: پانسوں کے وہ بہت سے کھیل جو مصنف نے اپنی امی کے ساتھ کھیلے۔