SÁU VIÊN XÚC XẮC THẮNG NHAU THEO MỘT VÒNG KHÉP KÍN

Gieo hai viên xúc xắc cùng lúc; số lớn hơn thắng. Bây giờ hãy để mỗi mặt mang bất kỳ giá trị nào từ 1 đến 6, được phép lặp lại: một viên xúc xắc có thể ghi 1, 1, 2, 5, 5, 5. Liệu có thể xếp sáu viên xúc xắc như vậy thành hàng sao cho mỗi viên thắng viên kế tiếp và viên cuối thắng viên đầu, mọi chiến thắng đều sít sao nhất có thể? Terry Easlick, thuộc Đại học Montréal, đã dùng máy tính chứng minh rằng sáu là số mặt nhỏ nhất để điều này thực hiện được, và có đúng hai cách để làm điều đó.

Mười chín cuộc đấu trên ba mươi sáu

Một cuộc đấu giữa hai viên xúc xắc sáu mặt có 36 kết quả đồng khả năng: mỗi mặt của viên này đối đầu với mỗi mặt của viên kia. Để chiếm ưu thế, một viên phải ra số lớn hơn trong hơn một nửa số đó, tức ít nhất 19: xác suất 19/36, khoảng 52,8%. Với n mặt có n × n cặp đối đầu, và chiến thắng sít sao nhất là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn một nửa số cặp: 13 trên 25 với năm mặt, 51 trên 100 với mười mặt.

Đây là cách phép đếm diễn ra với hai viên xúc xắc (1, 1, 2, 5, 5, 5) và (1, 3, 4, 4, 4, 4). Ba mặt 5 thắng cả sáu mặt của viên thứ hai: 18 cặp. Mặt 2 thắng mặt 1 duy nhất của viên thứ hai: thêm một cặp, tổng cộng 19. Hai mặt 1 hòa với mặt 1 đó, và viên thứ hai thắng 15 cặp còn lại. Viên thứ nhất thắng 19 cuộc đấu trên 36: chiến thắng sít sao nhất có thể.

Những viên xúc xắc thắng nhau theo một vòng khép kín được gọi là không bắc cầu (non-transitive): mọi viên trong vòng đều bị một viên khác đánh bại, nên không viên nào là mạnh nhất. Câu hỏi của Easlick: với các giá trị từ 1 đến n trên n mặt, với những n nào thì n viên xúc xắc có thể tạo thành một vòng như vậy, mọi cuộc đấu đều thắng với đúng cách biệt sít sao nhất, và không có vòng nào gồm hơn n viên ở bất cứ đâu trong số các viên xúc xắc n mặt ở cách biệt đó?

Bản đồ của mọi viên xúc xắc có thể có

Ở đây, một viên xúc xắc đơn giản chỉ là một danh sách giá trị, không theo thứ tự cụ thể nào. Với sáu mặt có 462 viên như vậy, trong đó có viên xúc xắc thông thường (1, 2, 3, 4, 5, 6). Easlick vẽ mỗi viên thành một điểm, rồi thêm một mũi tên từ viên này sang viên kia mỗi khi viên thứ nhất thắng đúng 19 cuộc đấu trên 36. Với sáu mặt, có tổng cộng 5.491 mũi tên.

Khi đó, một vòng xúc xắc là một đường đi theo các mũi tên quay trở về điểm xuất phát. Để tìm chúng, chương trình của ông, viết bằng ngôn ngữ Julia, chia bản đồ thành các thành phần liên thông mạnh (strongly connected components): những nhóm lớn nhất trong đó ta có thể đi từ bất kỳ viên xúc xắc nào tới bất kỳ viên nào khác theo các mũi tên, rồi quay trở lại. Mọi vòng đều nằm trọn trong một nhóm như vậy, nên một nhóm chỉ có một viên xúc xắc không chứa vòng nào. Việc phân chia dùng thuật toán Tarjan, công bố năm 1972. Tác giả cho biết ông đã dùng GPT-5.6 để hỗ trợ viết các đoạn mã, và các ý tưởng toán học hoàn toàn là của riêng ông.

Không, không, không, rồi hai

Với ba mặt, có 10 viên xúc xắc khả dĩ và chỉ 3 mũi tên; với bốn mặt, 35 viên và 67 mũi tên; với năm mặt, 126 viên và 620 mũi tên. Trong cả ba trường hợp, mỗi nhóm chỉ có một viên xúc xắc: ở cách biệt sít sao nhất, hoàn toàn không tồn tại vòng nào.

Với sáu mặt, 448 trong số 462 viên đứng riêng lẻ. 14 viên còn lại tạo thành hai họ, mỗi họ bảy viên, mỗi họ được nối bởi 10 mũi tên. Trong mỗi họ, chương trình liệt kê bốn vòng: ba vòng gồm ba viên và một vòng gồm sáu viên. Không vòng nào có thể chứa nhiều hơn bảy viên, và danh sách đầy đủ các vòng trong mỗi họ cho thấy không có vòng bảy viên nào, điều mà tác giả lưu ý cũng có thể kiểm tra bằng tay. Hai vòng sáu viên này là những vòng duy nhất. Vòng thứ nhất:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → trở lại viên đầu tiên.

Vòng thứ hai:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → trở lại viên đầu tiên.

Họ thứ nhất gồm bảy viên xúc xắc: mỗi ô là một viên, với số thứ tự của nó trong danh sách của máy tính và sáu mặt của nó. Một mũi tên có nghĩa là “thắng đúng 19 cuộc đấu trên 36”. Màu đỏ là vòng sáu viên. — Sơ đồ của SCC 1, trang 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

Hai lời giải, một phép phản chiếu

Hai vòng này không độc lập với nhau. Thay mỗi giá trị mặt v bằng 7 − v: 1 thành 6, 2 thành 5, 3 thành 4, và ngược lại. Một mặt vốn lớn hơn nay trở thành nhỏ hơn, nên mọi mũi tên đều đảo chiều. Easlick chứng minh rằng phép hoán đổi này biến họ thứ nhất thành họ thứ hai: vòng thứ nhất, đọc ngược lại, trở thành vòng thứ hai. Áp dụng phép hoán đổi hai lần thì mọi viên xúc xắc trở về chính nó.

Vượt quá sáu, các vòng dài hơn số mặt xúc xắc

Từ bảy đến mười mặt, điều ngược lại xảy ra: có rất nhiều vòng, nhưng quá dài. Với bảy mặt, 1.081 trong số 1.716 viên xúc xắc khả dĩ tạo thành một họ khổng lồ, và vòng dài đầu tiên mà quá trình tìm kiếm trả về nối 14 viên. Với tám mặt, một họ gồm 4.321 viên chứa một vòng 29 viên; với chín mặt, 20.451 viên và một vòng 10 viên. Với mười mặt, 92.378 viên và 157.244.770 mũi tên, một họ gồm 81.791 viên chứa một vòng 110 viên. Đây là những vòng dài hơn số mặt đầu tiên mà quá trình tìm kiếm tìm ra, chứ không phải những vòng dài nhất.

Một vòng gồm 110 viên xúc xắc mười mặt, mỗi viên thắng viên kế tiếp đúng 51 cuộc đấu trên 100. Hãy đi theo các mũi tên từng hàng một; đường bên trái khép kín vòng. — Sơ đồ của trường hợp n = 10, trang 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

Những vòng như vậy vi phạm điều kiện thứ hai: không vòng nào được chứa nhiều viên xúc xắc hơn số mặt. Easlick đưa ra giả thuyết rằng sáu không chỉ là số mặt nhỏ nhất có tính chất này, mà còn là số mặt lớn nhất.

Mười một mặt, vẫn ngoài tầm với

Giả thuyết đó vẫn còn bỏ ngỏ. Với mười một mặt có 352.716 viên xúc xắc khả dĩ; với mười hai mặt, 1.352.078 viên. Cả hai trường hợp sẽ cần thời gian tính toán lâu hơn nhiều; bài báo không báo cáo phép tính nào cho chúng, và tác giả chỉ phỏng đoán rằng chúng cũng ẩn chứa những vòng gồm ít nhất 12 và 13 viên. Bài báo khép lại bằng nguồn gốc của câu hỏi: rất nhiều ván xúc xắc mà tác giả đã chơi với mẹ mình.