ENAM DADU YANG SALING MENGALAHKAN DALAM SEBUAH LINGKARAN

Lemparkan dua dadu bersamaan; angka yang lebih tinggi menang. Sekarang biarkan setiap sisi memuat nilai apa pun dari 1 hingga 6, boleh berulang: sebuah dadu bisa bertuliskan 1, 1, 2, 5, 5, 5. Dapatkah enam dadu semacam itu dijajarkan sehingga masing-masing mengalahkan dadu berikutnya dan dadu terakhir mengalahkan yang pertama, dengan setiap kemenangan setipis mungkin? Terry Easlick, dari Université de Montréal, telah menunjukkan dengan bantuan komputer bahwa enam adalah jumlah sisi terkecil yang memungkinkan hal ini, dan bahwa ada tepat dua cara untuk melakukannya.

Sembilan belas duel dari tiga puluh enam

Duel antara dua dadu bersisi enam memiliki 36 kemungkinan hasil yang sama besar peluangnya: setiap sisi dadu yang satu melawan setiap sisi dadu yang lain. Agar unggul, sebuah dadu harus keluar lebih tinggi pada lebih dari separuhnya, jadi setidaknya 19: probabilitas 19/36, sekitar 52,8%. Dengan n sisi terdapat n × n pasangan, dan kemenangan tertipis adalah bilangan bulat terkecil di atas separuhnya: 13 dari 25 untuk lima sisi, 51 dari 100 untuk sepuluh sisi.

Begini cara menghitungnya untuk dadu (1, 1, 2, 5, 5, 5) dan (1, 3, 4, 4, 4, 4). Ketiga angka 5 mengalahkan keenam sisi dadu kedua: 18 pasangan. Angka 2 mengalahkan satu-satunya angka 1 pada dadu kedua: satu lagi, total 19. Kedua angka 1 seri dengan angka 1 itu, dan dadu kedua memenangkan 15 sisanya. Dadu pertama memenangkan 19 duel dari 36: kemenangan tersempit yang ada.

Dadu-dadu yang saling mengalahkan dalam sebuah lingkaran disebut non-transitif: setiap dadu dalam lingkaran itu dikalahkan oleh dadu lain, sehingga tidak ada yang terbaik. Pertanyaan Easlick: dengan nilai dari 1 hingga n pada n sisi, untuk n berapa saja n dadu dapat membentuk lingkaran semacam itu, dengan setiap duel dimenangkan tepat pada selisih tertipis, tanpa ada lingkaran berisi lebih dari n dadu di mana pun di antara dadu bersisi n pada selisih itu?

Peta setiap dadu yang mungkin

Di sini sebuah dadu hanyalah daftar nilai, tanpa urutan tertentu. Dengan enam sisi ada 462 dadu semacam itu, termasuk dadu biasa (1, 2, 3, 4, 5, 6). Easlick menggambar masing-masing sebagai sebuah titik, lalu menambahkan panah dari satu dadu ke dadu lain setiap kali dadu pertama memenangkan tepat 19 duel dari 36. Untuk enam sisi, hasilnya 5.491 panah.

Lingkaran dadu kemudian adalah lintasan panah yang kembali ke titik awalnya. Untuk menemukannya, programnya, yang ditulis dalam bahasa Julia, membagi peta itu menjadi komponen terhubung kuat (strongly connected components): kelompok-kelompok terbesar tempat kita dapat berpindah dari dadu mana pun ke dadu lain mana pun mengikuti panah, lalu kembali lagi. Setiap lingkaran terletak seluruhnya di dalam salah satu kelompok ini, sehingga kelompok yang hanya berisi satu dadu tidak memuat lingkaran. Pembagian itu memakai algoritma Tarjan, yang diterbitkan pada 1972. Penulis menyatakan bahwa ia memakai GPT-5.6 untuk membantu menulis skrip-skripnya, dan bahwa gagasan matematisnya sepenuhnya berasal dari dirinya sendiri.

Tidak ada, tidak ada, tidak ada, lalu dua

Dengan tiga sisi terdapat 10 kemungkinan dadu dan hanya 3 panah; dengan empat, 35 dadu dan 67 panah; dengan lima, 126 dadu dan 620 panah. Dalam ketiga kasus itu, setiap kelompok hanya berisi satu dadu: pada selisih tertipis, sama sekali tidak ada lingkaran.

Dengan enam sisi, 448 dari 462 dadu berdiri sendiri. Ke-14 dadu lainnya membentuk dua keluarga berisi tujuh dadu, masing-masing dihubungkan oleh 10 panah. Di dalam setiap keluarga, program itu mendaftar empat lingkaran: tiga lingkaran berisi tiga dadu dan satu berisi enam. Tidak ada lingkaran yang dapat memuat lebih dari tujuh dadu, dan daftar lengkap lingkaran di setiap keluarga tidak menunjukkan satu pun yang berisi tujuh, yang menurut catatan penulis juga dapat diperiksa dengan tangan. Kedua lingkaran berisi enam ini adalah satu-satunya. Yang pertama:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → kembali ke yang pertama.

Yang kedua:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → kembali ke yang pertama.

Keluarga pertama yang berisi tujuh dadu: setiap kotak adalah satu dadu, dengan nomornya dalam daftar komputer dan keenam sisinya. Sebuah panah berarti “memenangkan tepat 19 duel dari 36”. Berwarna merah, lingkaran berisi enam. — Diagram SCC 1, halaman 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

Dua solusi, satu pencerminan

Kedua lingkaran itu tidak saling bebas. Ganti setiap nilai sisi v dengan 7 − v: 1 menjadi 6, 2 menjadi 5, 3 menjadi 4, dan sebaliknya. Sisi yang tadinya lebih tinggi kini lebih rendah, sehingga setiap panah berbalik arah. Easlick membuktikan bahwa penukaran ini mengubah keluarga pertama menjadi keluarga kedua: lingkaran pertama, dibaca terbalik, menjadi lingkaran kedua. Terapkan penukaran itu dua kali dan setiap dadu kembali menjadi dirinya sendiri.

Melampaui enam, lingkarannya lebih besar daripada dadunya

Dari tujuh hingga sepuluh sisi, yang terjadi justru sebaliknya: banyak lingkaran, tetapi terlalu panjang. Dengan tujuh sisi, 1.081 dari 1.716 kemungkinan dadu membentuk satu keluarga raksasa, dan lingkaran panjang pertama yang ditemukan pencarian menghubungkan 14 dadu. Dengan delapan sisi, sebuah keluarga berisi 4.321 dadu memuat lingkaran berisi 29; dengan sembilan, 20.451 dadu dan lingkaran berisi 10. Dengan sepuluh sisi, 92.378 dadu dan 157.244.770 panah, sebuah keluarga berisi 81.791 dadu memuat lingkaran berisi 110. Ini adalah lingkaran pertama yang lebih panjang daripada jumlah sisi yang ditemukan pencarian, bukan yang terpanjang.

Sebuah lingkaran berisi 110 dadu bersisi sepuluh, masing-masing mengalahkan dadu berikutnya tepat dalam 51 duel dari 100. Ikuti panah-panahnya baris demi baris; garis di sebelah kiri menutup lingkaran itu. — Diagram kasus n = 10, halaman 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

Lingkaran semacam itu melanggar syarat kedua: tidak boleh ada lingkaran yang memuat lebih banyak dadu daripada jumlah sisinya. Easlick menduga bahwa enam bukan hanya jumlah sisi terkecil yang memiliki sifat ini, tetapi juga yang terbesar.

Sebelas sisi, masih di luar jangkauan

Konjektur itu masih terbuka. Dengan sebelas sisi terdapat 352.716 kemungkinan dadu; dengan dua belas, 1.352.078. Kedua kasus itu akan membutuhkan waktu jauh lebih lama untuk dihitung; makalah ini tidak melaporkan perhitungan apa pun untuk keduanya, dan penulis hanya menduga bahwa keduanya juga menyembunyikan lingkaran berisi setidaknya 12 dan 13 dadu. Makalah ini ditutup dengan asal-usul pertanyaannya: banyaknya permainan dadu yang dimainkan penulis bersama ibunya.