ஒரு சுற்றில் ஒன்றையொன்று வெல்லும் ஆறு பகடைகள்

இரண்டு பகடைகளை ஒன்றாக உருட்டுங்கள்; பெரிய எண் வெல்கிறது. இப்போது ஒவ்வொரு முகமும் 1 முதல் 6 வரையிலான எந்த மதிப்பையும் — திரும்ப வருவது அனுமதிக்கப்பட்டு — கொண்டிருக்கட்டும்: ஒரு பகடை 1, 1, 2, 5, 5, 5 எனக் காட்டலாம். இத்தகைய ஆறு பகடைகளை, ஒவ்வொன்றும் அடுத்ததை வென்று, கடைசியானது முதலாவதை வெல்லும்படி, ஒவ்வொரு வெற்றியும் முடிந்தவரை குறுகியதாக இருக்கும்படி வரிசைப்படுத்த முடியுமா? இது செயல்படும் மிகக் குறைந்த முக எண்ணிக்கை ஆறு என்பதையும், அதைச் செய்யச் சரியாக இரண்டு வழிகள் உள்ளன என்பதையும் மான்ட்ரியால் பல்கலைக்கழகத்தின் Terry Easlick கணினி மூலம் காட்டியுள்ளார்.

முப்பத்தாறில் பத்தொன்பது மோதல்கள்

ஆறு முகம் கொண்ட இரண்டு பகடைகளுக்கு இடையிலான ஒரு மோதலுக்குச் சம வாய்ப்புள்ள 36 விளைவுகள் உண்டு: ஒன்றின் ஒவ்வொரு முகமும் மற்றொன்றின் ஒவ்வொரு முகத்துக்கும் எதிராக. மேலாதிக்கம் பெற, ஒரு பகடை அவற்றில் பாதிக்கும் மேலானவற்றில் அதிக எண்ணைக் காட்ட வேண்டும்; எனவே குறைந்தது 19: 19/36 நிகழ்தகவு, சுமார் 52.8%. n முகங்களுடன் n × n இணைவுகள் உண்டு; மிக மெல்லிய வெற்றி என்பது அவற்றின் பாதிக்கு மேலுள்ள மிகச் சிறிய முழு எண்: ஐந்து முகங்களுக்கு 25-இல் 13, பத்துக்கு 100-இல் 51.

(1, 1, 2, 5, 5, 5), (1, 3, 4, 4, 4, 4) ஆகிய பகடைகளுக்கு எண்ணிக்கை எப்படி அமைகிறது என்று பாருங்கள். மூன்று 5-களும் இரண்டாவது பகடையின் ஆறு முகங்களையும் வெல்கின்றன: 18 இணைவுகள். 2, இரண்டாவது பகடையின் ஒரே 1-ஐ வெல்கிறது: இன்னும் ஒன்று, மொத்தம் 19. இரண்டு 1-களும் அந்த 1-உடன் சமநிலை; மீதி 15-ஐ இரண்டாவது பகடை வெல்கிறது. முதல் பகடை 36 மோதல்களில் 19-ஐ வெல்கிறது: சாத்தியமான மிகக் குறுகிய வெற்றி.

ஒரு சுற்றில் ஒன்றையொன்று வெல்லும் பகடைகள் கடப்புத்தன்மையற்றவை (non-transitive) எனப்படுகின்றன: சுற்றிலுள்ள ஒவ்வொரு பகடையும் இன்னொன்றால் தோற்கடிக்கப்படுகிறது; எனவே எதுவும் சிறந்ததல்ல. Easlick-இன் கேள்வி: n முகங்களில் 1 முதல் n வரையிலான மதிப்புகளுடன், எந்த n-க்கு n பகடைகள் இத்தகைய சுற்றை — ஒவ்வொரு மோதலும் சரியாக மிக மெல்லிய வித்தியாசத்தில் வெல்லப்பட்டு, அந்த வித்தியாசத்திலுள்ள n-முகப் பகடைகளிடையே எங்கும் n-க்கு மேற்பட்ட பகடைகள் கொண்ட சுற்று இல்லாமல் — உருவாக்க முடியும்?

சாத்தியமான ஒவ்வொரு பகடையின் வரைபடம்

இங்கே ஒரு பகடை என்பது குறிப்பிட்ட வரிசை எதுவுமில்லாத மதிப்புகளின் பட்டியல் மட்டுமே. ஆறு முகங்களுடன் இவற்றில் 462 உள்ளன; சாதாரணப் பகடையான (1, 2, 3, 4, 5, 6)-உம் அவற்றில் ஒன்று. Easlick ஒவ்வொன்றையும் ஒரு புள்ளியாக வரைகிறார்; பிறகு ஒரு பகடை மற்றொன்றுக்கு எதிராகச் சரியாக 36-இல் 19 மோதல்களை வெல்லும்போதெல்லாம், முதலாவதிலிருந்து இரண்டாவதுக்கு ஓர் அம்பைச் சேர்க்கிறார். ஆறு முகங்களுக்கு, அது 5,491 அம்புகள்.

அப்படியானால் பகடைகளின் ஒரு சுற்று என்பது தொடங்கிய இடத்துக்கே திரும்பும் அம்புகளின் பாதை. அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க, Julia மொழியில் எழுதப்பட்ட அவருடைய நிரல், வரைபடத்தை வலுவாக இணைக்கப்பட்ட கூறுகளாகப் (strongly connected components) பிரிக்கிறது: அம்புகளின் வழியே எந்தப் பகடையிலிருந்தும் வேறு எந்தப் பகடைக்கும் சென்று மீண்டும் திரும்பக்கூடிய மிகப் பெரிய குழுக்கள். ஒவ்வொரு சுற்றும் இவற்றில் ஏதோ ஒரு குழுவுக்குள் முழுமையாக அடங்குகிறது; எனவே ஒற்றைப் பகடைக் குழுவில் சுற்றே இல்லை. இந்தப் பிரிப்பு 1972-இல் வெளியிடப்பட்ட Tarjan-இன் வழிமுறையைப் பயன்படுத்துகிறது. நிரல்களை எழுத உதவ GPT-5.6-ஐப் பயன்படுத்தியதாகவும், கணிதக் கருத்துகள் முழுவதும் தன்னுடையவை என்றும் ஆசிரியர் குறிப்பிடுகிறார்.

ஒன்றுமில்லை, ஒன்றுமில்லை, ஒன்றுமில்லை, பிறகு இரண்டு

மூன்று முகங்களுடன் 10 சாத்தியமான பகடைகளும் வெறும் 3 அம்புகளும்; நான்கு முகங்களுடன் 35 பகடைகளும் 67 அம்புகளும்; ஐந்து முகங்களுடன் 126 பகடைகளும் 620 அம்புகளும். மூன்று நிலைகளிலும் ஒவ்வொரு குழுவிலும் ஒரே ஒரு பகடைதான்: மிக மெல்லிய வித்தியாசத்தில், சுற்றே இல்லை.

ஆறு முகங்களுடன், 462 பகடைகளில் 448 தனித்து நிற்கின்றன. மீதி 14, ஏழு பகடைகள் கொண்ட இரண்டு குடும்பங்களை உருவாக்குகின்றன; ஒவ்வொன்றும் 10 அம்புகளால் இணைக்கப்பட்டது. ஒவ்வொரு குடும்பத்துக்குள்ளும், நிரல் நான்கு சுற்றுகளைப் பட்டியலிடுகிறது: மூன்று பகடைகள் கொண்ட மூன்று சுற்றுகளும் ஆறு பகடைகள் கொண்ட ஒன்றும். எந்தச் சுற்றும் ஏழுக்கு மேல் பகடைகளைக் கொண்டிருக்க முடியாது; ஒவ்வொரு குடும்பத்தின் சுற்றுகளின் முழுப் பட்டியலிலும் ஏழு பகடைச் சுற்று எதுவும் இல்லை — இதைக் கையாலும் சரிபார்க்கலாம் என்று ஆசிரியர் குறிப்பிடுகிறார். ஆறு பகடைகள் கொண்ட இந்த இரண்டு சுற்றுகள் மட்டுமே உள்ளன. முதலாவது:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → மீண்டும் முதலாவதுக்கு.

இரண்டாவது:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → மீண்டும் முதலாவதுக்கு.

ஏழு பகடைகளின் முதல் குடும்பம்: ஒவ்வொரு பெட்டியும் ஒரு பகடை — கணினிப் பட்டியலில் அதன் எண்ணும் அதன் ஆறு முகங்களும். ஓர் அம்பு என்பது “சரியாக 36-இல் 19 மோதல்களை வெல்கிறது” என்று பொருள். சிவப்பில், ஆறு பகடைச் சுற்று. — SCC 1 வரைபடம், பக்கம் 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

இரண்டு தீர்வுகள், ஒரே பிரதிபலிப்பு

இரண்டு சுற்றுகளும் சார்பற்றவை அல்ல. ஒவ்வொரு முக மதிப்பு v-யையும் 7 − v-ஆல் மாற்றுங்கள்: 1 என்பது 6 ஆகிறது, 2 என்பது 5, 3 என்பது 4, மறுதலையாகவும். உயர்வாக இருந்த முகம் இப்போது தாழ்வாக இருக்கிறது; எனவே ஒவ்வொரு அம்பும் திசை மாறுகிறது. இந்த இடமாற்றம் முதல் குடும்பத்தை இரண்டாவதாக மாற்றுகிறது என்று Easlick நிறுவுகிறார்: முதல் சுற்றைப் பின்னோக்கிப் படித்தால், அது இரண்டாவதாகிறது. இந்த இடமாற்றத்தை இருமுறை செய்தால் ஒவ்வொரு பகடையும் தன்னிடமே திரும்புகிறது.

ஆறுக்கு அப்பால், சுற்றுகள் பகடைகளைவிட நீள்கின்றன

ஏழு முதல் பத்து முகங்கள் வரை, நேர்மாறானது நடக்கிறது: ஏராளமான சுற்றுகள், ஆனால் மிக நீளமானவை. ஏழு முகங்களுடன், சாத்தியமான 1,716 பகடைகளில் 1,081 ஒரு மாபெரும் குடும்பத்தை உருவாக்குகின்றன; தேடல் திருப்பித் தரும் முதல் நீண்ட சுற்று 14 பகடைகளை இணைக்கிறது. எட்டு முகங்களுடன், 4,321 பகடைகள் கொண்ட ஒரு குடும்பத்தில் 29 பகடைச் சுற்று; ஒன்பதுடன், 20,451 பகடைகளும் 10 பகடைச் சுற்றும். பத்து முகங்களுடன், 92,378 பகடைகளும் 157,244,770 அம்புகளும்; 81,791 பகடைகள் கொண்ட ஒரு குடும்பத்தில் 110 பகடைச் சுற்று. இவை தேடல் கண்டுபிடித்த, முகங்களின் எண்ணிக்கையைவிட நீளமான முதல் சுற்றுகள்; மிக நீளமானவை அல்ல.

பத்து முகம் கொண்ட 110 பகடைகளின் ஒரு சுற்று; ஒவ்வொன்றும் அடுத்ததைச் சரியாக 100-இல் 51 மோதல்களில் வெல்கிறது. அம்புகளை வரிசை வரிசையாகப் பின்தொடருங்கள்; இடதுபுறக் கோடு சுற்றை மூடுகிறது. — n = 10 நிலையின் வரைபடம், பக்கம் 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

இத்தகைய சுற்றுகள் இரண்டாவது நிபந்தனையை உடைக்கின்றன: எந்தச் சுற்றிலும் முகங்களின் எண்ணிக்கையைவிட அதிகப் பகடைகள் இருக்கக் கூடாது. இந்தப் பண்பு கொண்ட மிகக் குறைந்த முக எண்ணிக்கை மட்டுமல்ல, மிக அதிகமானதும் ஆறுதான் என்று Easlick ஊகிக்கிறார்.

பதினொரு முகங்கள், இன்னும் எட்டாதவை

அந்த ஊகம் இன்னும் திறந்தே உள்ளது. பதினொரு முகங்களுடன் 352,716 சாத்தியமான பகடைகள் உள்ளன; பன்னிரண்டுடன், 1,352,078. இரண்டு நிலைகளையும் கணக்கிட மிக அதிக நேரம் ஆகும்; ஆய்வுக்கட்டுரை அவற்றுக்கு எந்தக் கணக்கீட்டையும் தெரிவிக்கவில்லை; அவையும் குறைந்தது 12, 13 பகடைகள் கொண்ட சுற்றுகளை மறைத்து வைத்திருக்கின்றன என்று ஆசிரியர் ஊகிக்க மட்டுமே செய்கிறார். கேள்வி எங்கிருந்து வந்தது என்பதோடு ஆய்வுக்கட்டுரை முடிகிறது: ஆசிரியர் தன் அம்மாவுடன் விளையாடிய எண்ணற்ற பகடை விளையாட்டுகள்.