छह पासे, जो एक घेरे में एक-दूसरे को हराते हैं

दो पासे एक साथ फेंकिए; बड़ी संख्या जीतती है। अब हर फलक पर 1 से 6 तक का कोई भी मान हो सकता है, दोहराव की अनुमति के साथ: एक पासा 1, 1, 2, 5, 5, 5 हो सकता है। क्या ऐसे छह पासों को इस तरह क़तार में लगाया जा सकता है कि हर एक अगले को हराए और आख़िरी पहले को, और हर जीत यथासंभव कम अंतर से हो? मॉन्ट्रियल विश्वविद्यालय के Terry Easlick ने एक कंप्यूटर की मदद से दिखाया है कि छह सबसे कम फलक-संख्या है जिसके लिए यह संभव है, और इसे करने के ठीक दो तरीक़े हैं।

छत्तीस में से उन्नीस मुक़ाबले

दो छह-फलकी पासों के बीच एक मुक़ाबले के 36 समान रूप से संभावित परिणाम होते हैं: एक का हर फलक दूसरे के हर फलक के विरुद्ध। बढ़त पाने के लिए किसी पासे को उनमें से आधे से अधिक में बड़ा आना चाहिए, यानी कम से कम 19 में: प्रायिकता 19/36, लगभग 52.8%। n फलकों के साथ n × n जोड़ियाँ होती हैं, और सबसे कम जीत उनके आधे से ऊपर की सबसे छोटी पूर्ण संख्या है: पाँच फलकों के लिए 25 में से 13, दस के लिए 100 में से 51।

पासों (1, 1, 2, 5, 5, 5) और (1, 3, 4, 4, 4, 4) के लिए गिनती ऐसे होती है। तीनों 5 दूसरे पासे के सभी छह फलकों को हराते हैं: 18 जोड़ियाँ। 2 दूसरे पासे के इकलौते 1 को हराता है: एक और, कुल 19। दोनों 1 उस 1 से बराबरी करते हैं, और बाक़ी 15 दूसरा पासा जीतता है। पहला पासा 36 में से 19 मुक़ाबले जीतता है: इससे कम अंतर की कोई जीत नहीं होती।

जो पासे एक घेरे में एक-दूसरे को हराते हैं, उन्हें अ-संक्रामी (non-transitive) कहा जाता है: घेरे का हर पासा किसी दूसरे से हारता है, इसलिए कोई भी सबसे अच्छा नहीं है। Easlick का प्रश्न: n फलकों पर 1 से n तक के मानों के साथ, किन n के लिए n पासे ऐसा घेरा बना सकते हैं, जिसमें हर मुक़ाबला ठीक सबसे कम अंतर से जीता जाए, और उस अंतर पर n फलकों वाले पासों में कहीं भी n से अधिक पासों का कोई घेरा न हो?

हर संभव पासे का एक मानचित्र

यहाँ एक पासा बस मानों की एक सूची है, किसी विशेष क्रम के बिना। छह फलकों के साथ ऐसे 462 पासे हैं, जिनमें साधारण पासा (1, 2, 3, 4, 5, 6) भी शामिल है। Easlick हर एक को एक बिंदु के रूप में बनाते हैं, फिर जब भी पहला पासा 36 में से ठीक 19 मुक़ाबले जीतता है, एक पासे से दूसरे तक एक तीर जोड़ते हैं। छह फलकों के लिए इससे 5,491 तीर बनते हैं।

तब पासों का एक घेरा तीरों का एक ऐसा रास्ता है जो अपनी शुरुआत पर लौट आता है। उन्हें ढूँढ़ने के लिए, Julia भाषा में लिखा उनका प्रोग्राम मानचित्र को प्रबल रूप से संबद्ध घटकों (strongly connected components) में बाँटता है: वे सबसे बड़े समूह जिनमें तीरों के साथ चलकर किसी भी पासे से किसी भी दूसरे तक जाया जा सकता है, और वापस भी आया जा सकता है। हर घेरा पूरी तरह इन्हीं समूहों में से किसी एक के भीतर होता है, इसलिए एक पासे वाले समूह में कोई घेरा नहीं होता। यह बँटवारा 1972 में प्रकाशित Tarjan के एल्गोरिद्म से होता है। लेखक बताते हैं कि उन्होंने स्क्रिप्ट लिखने में मदद के लिए GPT-5.6 का उपयोग किया, और गणितीय विचार पूरी तरह उनके अपने हैं।

कुछ नहीं, कुछ नहीं, कुछ नहीं, फिर दो

तीन फलकों के साथ 10 संभव पासे और केवल 3 तीर हैं; चार के साथ 35 पासे और 67 तीर; पाँच के साथ 126 पासे और 620 तीर। तीनों स्थितियों में हर समूह में एक ही पासा है: सबसे कम अंतर पर कोई घेरा है ही नहीं।

छह फलकों के साथ 462 में से 448 पासे अकेले रहते हैं। बाक़ी 14 सात-सात पासों के दो परिवार बनाते हैं, जिनमें से हर एक 10 तीरों से जुड़ा है। हर परिवार के भीतर प्रोग्राम चार घेरे सूचीबद्ध करता है: तीन घेरे तीन-तीन पासों के और एक छह पासों का। कोई घेरा सात से अधिक पासे नहीं रख सकता, और हर परिवार के घेरों की पूरी सूची में सात पासों का कोई घेरा नहीं है, जिसे लेखक के अनुसार हाथ से भी जाँचा जा सकता है। छह पासों के ये दो घेरे ही अकेले हैं। पहला:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → वापस पहले पर।

दूसरा:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → वापस पहले पर।

सात पासों का पहला परिवार: हर ख़ाना एक पासा है, कंप्यूटर की सूची में उसकी संख्या और उसके छह फलकों के साथ। एक तीर का अर्थ है “36 में से ठीक 19 मुक़ाबले जीतता है”। लाल में, छह का घेरा। — SCC 1 का आरेख, पृष्ठ 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

दो हल, एक प्रतिबिंब

दोनों घेरे स्वतंत्र नहीं हैं। हर फलक-मान v को 7 − v से बदल दीजिए: 1 बन जाता है 6, 2 बन जाता है 5, 3 बन जाता है 4, और उलटे क्रम में भी। जो फलक बड़ा था, वह अब छोटा है, इसलिए हर तीर की दिशा उलट जाती है। Easlick सिद्ध करते हैं कि यह अदला-बदली पहले परिवार को दूसरे में बदल देती है: पहला घेरा, उलटा पढ़ने पर, दूसरा बन जाता है। यह अदला-बदली दो बार कीजिए, तो हर पासा अपने मूल रूप में लौट आता है।

छह के पार, घेरे पासों से बड़े हो जाते हैं

सात से दस फलकों तक उलटा होता है: घेरे बहुत हैं, पर बहुत लंबे। सात फलकों के साथ 1,716 संभव पासों में से 1,081 एक विशाल परिवार बनाते हैं, और खोज से लौटा पहला लंबा घेरा 14 पासों को जोड़ता है। आठ फलकों के साथ 4,321 पासों के एक परिवार में 29 का घेरा है; नौ के साथ, 20,451 पासे और 10 का घेरा। दस फलकों के साथ, 92,378 पासों और 157,244,770 तीरों में, 81,791 पासों के एक परिवार में 110 का घेरा है। ये फलकों की संख्या से लंबे वे पहले घेरे हैं जो खोज में मिले, सबसे लंबे नहीं।

110 दस-फलकी पासों का एक घेरा, जिसमें हर पासा अगले को 100 में से ठीक 51 मुक़ाबलों में हराता है। तीरों के साथ पंक्ति-दर-पंक्ति चलिए; बाईं ओर की रेखा घेरे को बंद करती है। — n = 10 की स्थिति का आरेख, पृष्ठ 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

ऐसे घेरे दूसरी शर्त तोड़ते हैं: किसी घेरे में फलकों से ज़्यादा पासे नहीं हो सकते। Easlick का अनुमान है कि छह इस गुण वाली केवल सबसे छोटी फलक-संख्या ही नहीं, बल्कि सबसे बड़ी भी है।

ग्यारह फलक, अब भी पहुँच से बाहर

वह अनुमान अभी खुला है। ग्यारह फलकों के साथ 352,716 संभव पासे हैं; बारह के साथ 1,352,078। दोनों स्थितियों की गणना में कहीं अधिक समय लगेगा; शोधपत्र उनके लिए कोई गणना नहीं बताता, और लेखक केवल अंदाज़ा लगाते हैं कि उनमें भी कम से कम 12 और 13 पासों के घेरे छिपे हैं। शोधपत्र इस प्रश्न के स्रोत पर ख़त्म होता है: पासों के वे बहुत-से खेल जो लेखक ने अपनी माँ के साथ खेले।