ఒక వలయంలో ఒకదాన్నొకటి ఓడించే ఆరు పాచికలు

రెండు పాచికలను కలిపి దొర్లించండి; ఎక్కువ సంఖ్య గెలుస్తుంది. ఇప్పుడు ప్రతి ముఖం 1 నుంచి 6 వరకు ఏ విలువనైనా కలిగి ఉండనివ్వండి, పునరావృతాలు అనుమతి: ఒక పాచికపై 1, 1, 2, 5, 5, 5 ఉండవచ్చు. అలాంటి ఆరు పాచికలను, ప్రతిదీ తర్వాతిదాన్ని ఓడించేలా, చివరిది మొదటిదాన్ని ఓడించేలా, ప్రతి గెలుపూ సాధ్యమైనంత స్వల్పంగా ఉండేలా వరుసగా పేర్చగలమా? ఇది పనిచేసే అతి తక్కువ ముఖాల సంఖ్య ఆరు అని, దీన్ని చేయడానికి సరిగ్గా రెండు మార్గాలు ఉన్నాయని మాంట్రియల్ విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన టెర్రీ ఈస్లిక్ ఒక కంప్యూటర్‌తో చూపించారు.

ముప్పై ఆరులో పందొమ్మిది పోటీలు

ఆరు ముఖాల రెండు పాచికల మధ్య ఒక పోటీకి సమాన అవకాశం ఉన్న 36 ఫలితాలు ఉంటాయి: ఒకదాని ప్రతి ముఖం మరోదాని ప్రతి ముఖంతో. పైచేయి సాధించాలంటే, ఒక పాచిక వాటిలో సగం కంటే ఎక్కువ వాటిలో ఎక్కువ సంఖ్య చూపాలి, కాబట్టి కనీసం 19: 19/36 సంభావ్యత, సుమారు 52.8%. n ముఖాలతో n × n జతలు ఉంటాయి, అతి స్వల్ప గెలుపు అంటే వాటిలో సగం కంటే ఎక్కువైన అతి చిన్న పూర్ణ సంఖ్య: ఐదు ముఖాలకు 25లో 13, పదికి 100లో 51.

(1, 1, 2, 5, 5, 5), (1, 3, 4, 4, 4, 4) పాచికలకు లెక్క ఇలా పనిచేస్తుంది. మూడు 5లు రెండో పాచిక ఆరు ముఖాలనూ ఓడిస్తాయి: 18 జతలు. 2 రెండో పాచికపై ఉన్న ఒకే ఒక 1ను ఓడిస్తుంది: ఇంకొకటి, మొత్తం 19. రెండు 1లు ఆ 1తో సమమవుతాయి, మిగతా 15ను రెండో పాచిక గెలుస్తుంది. మొదటి పాచిక 36 పోటీల్లో 19 గెలుస్తుంది: సాధ్యమైనంత అతి సన్నని విజయం.

ఒక వలయంలో ఒకదాన్నొకటి ఓడించే పాచికలను అసంక్రామిక (non-transitive) పాచికలు అంటారు: వలయంలోని ప్రతి పాచికనూ మరొకటి ఓడిస్తుంది, కాబట్టి ఏదీ ఉత్తమమైనది కాదు. ఈస్లిక్ ప్రశ్న: n ముఖాలపై 1 నుంచి n వరకు విలువలతో, ఏ n కోసం n పాచికలు అలాంటి వలయాన్ని ఏర్పరచగలవు — ప్రతి పోటీనీ సరిగ్గా అతి స్వల్ప తేడాతో గెలుస్తూ, ఆ తేడా వద్ద n ముఖాల పాచికల్లో ఎక్కడా n కంటే ఎక్కువ పాచికల వలయం లేకుండా?

సాధ్యమయ్యే ప్రతి పాచికకూ ఒక పటం

ఇక్కడ ఒక పాచిక అంటే కేవలం విలువల జాబితా, ఏ ప్రత్యేక క్రమమూ లేకుండా. ఆరు ముఖాలతో అలాంటివి 462 ఉన్నాయి, వాటిలో సాధారణ పాచిక (1, 2, 3, 4, 5, 6) కూడా ఒకటి. ఈస్లిక్ ప్రతిదాన్నీ ఒక బిందువుగా గీసి, ఒక పాచిక మరోదాన్ని 36లో సరిగ్గా 19 పోటీల్లో గెలిచినప్పుడల్లా మొదటిదాని నుంచి రెండోదానికి ఒక బాణం చేరుస్తారు. ఆరు ముఖాలకు, అలా 5,491 బాణాలు వస్తాయి.

అప్పుడు పాచికల వలయం అంటే తన మొదలుకే తిరిగి వచ్చే బాణాల దారి. వాటిని కనుగొనడానికి, Julia భాషలో రాసిన ఆయన ప్రోగ్రామ్ పటాన్ని బలంగా అనుసంధానిత భాగాలుగా (strongly connected components) విడగొడుతుంది: బాణాల వెంబడి ఏ పాచిక నుంచైనా మరే పాచికకైనా ప్రయాణించి, తిరిగి రాగలిగే అతి పెద్ద గుంపులు. ప్రతి వలయమూ పూర్తిగా ఈ గుంపుల్లో ఏదో ఒకదాని లోపలే ఉంటుంది, కాబట్టి ఒకే పాచిక ఉన్న గుంపులో వలయం ఉండదు. ఈ విభజన 1972లో ప్రచురితమైన టార్జన్ అల్గారిథమ్‌ను వాడుతుంది. స్క్రిప్టులు రాయడంలో సహాయానికి GPT-5.6ను వాడానని, గణిత ఆలోచనలు పూర్తిగా తనవేనని రచయిత పేర్కొన్నారు.

ఏమీ లేదు, ఏమీ లేదు, ఏమీ లేదు, తర్వాత రెండు

మూడు ముఖాలతో సాధ్యమయ్యే పాచికలు 10, బాణాలు 3 మాత్రమే; నాలుగుతో, 35 పాచికలు, 67 బాణాలు; ఐదుతో, 126 పాచికలు, 620 బాణాలు. ఈ మూడు సందర్భాల్లోనూ ప్రతి గుంపులో ఒకే పాచిక ఉంటుంది: అతి స్వల్ప తేడా వద్ద, అసలు ఏ వలయమూ ఉండదు.

ఆరు ముఖాలతో, 462 పాచికల్లో 448 ఒంటరిగా ఉంటాయి. మిగతా 14 ఏడు పాచికల రెండు కుటుంబాలను ఏర్పరుస్తాయి, ఒక్కోటి 10 బాణాలతో కలపబడి ఉంటుంది. ప్రతి కుటుంబంలో, ప్రోగ్రామ్ నాలుగు వలయాలను జాబితా చేస్తుంది: మూడు పాచికల వలయాలు మూడు, ఆరు పాచికల వలయం ఒకటి. ఏ వలయంలోనూ ఏడు కంటే ఎక్కువ పాచికలు ఉండవు, ప్రతి కుటుంబంలోని వలయాల పూర్తి జాబితాలో ఏడు పాచికల వలయం ఒక్కటీ లేదు; దీన్ని చేతితో కూడా సరిచూడవచ్చని రచయిత పేర్కొన్నారు. ఆరు పాచికల ఈ రెండు వలయాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. మొదటిది:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → తిరిగి మొదటిదానికి.

రెండోది:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → తిరిగి మొదటిదానికి.

ఏడు పాచికల మొదటి కుటుంబం: ప్రతి పెట్టె ఒక పాచిక, కంప్యూటర్ జాబితాలో దాని సంఖ్య, దాని ఆరు ముఖాలతో. బాణం అంటే “36లో సరిగ్గా 19 పోటీలు గెలుస్తుంది”. ఎరుపు రంగులో, ఆరు పాచికల వలయం. — SCC 1 రేఖాచిత్రం, పేజీ 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

రెండు పరిష్కారాలు, ఒక ప్రతిబింబం

ఆ రెండు వలయాలూ స్వతంత్రమైనవి కావు. ప్రతి ముఖ విలువ vని 7 − vతో మార్చండి: 1 అనేది 6 అవుతుంది, 2 అనేది 5, 3 అనేది 4, అలాగే వ్యతిరేక దిశలో కూడా. ఎక్కువగా ఉన్న ముఖం ఇప్పుడు తక్కువ అవుతుంది, కాబట్టి ప్రతి బాణమూ దిశ మార్చుకుంటుంది. ఈ మార్పిడి మొదటి కుటుంబాన్ని రెండోదిగా మారుస్తుందని ఈస్లిక్ నిరూపిస్తారు: మొదటి వలయాన్ని వెనక్కి చదివితే, అది రెండోది అవుతుంది. మార్పిడిని రెండుసార్లు చేస్తే ప్రతి పాచికా తన పూర్వ రూపానికే తిరిగి వస్తుంది.

ఆరు దాటితే, వలయాలు పాచికల కంటే పెద్దవవుతాయి

ఏడు నుంచి పది ముఖాల వరకు, దీనికి వ్యతిరేకం జరుగుతుంది: వలయాలు పుష్కలంగా ఉంటాయి, కానీ మరీ పొడవైనవి. ఏడు ముఖాలతో, సాధ్యమయ్యే 1,716 పాచికల్లో 1,081 ఒకే ఒక భారీ కుటుంబాన్ని ఏర్పరుస్తాయి, అన్వేషణ తిరిగి ఇచ్చే మొదటి పొడవైన వలయం 14 పాచికలను కలుపుతుంది. ఎనిమిది ముఖాలతో, 4,321 పాచికల కుటుంబంలో 29 పాచికల వలయం ఉంది; తొమ్మిదితో, 20,451 పాచికలు, 10 పాచికల వలయం. పది ముఖాలతో, 92,378 పాచికలు, 157,244,770 బాణాలు; 81,791 పాచికల ఒక కుటుంబంలో 110 పాచికల వలయం ఉంది. ఇవి అన్వేషణ కనుగొన్న, ముఖాల సంఖ్య కంటే పొడవైన మొదటి వలయాలు, అత్యంత పొడవైనవి కావు.

పది ముఖాల 110 పాచికల వలయం, ప్రతిదీ తర్వాతిదాన్ని 100లో సరిగ్గా 51 పోటీల్లో ఓడిస్తుంది. బాణాలను వరుస వరుసగా అనుసరించండి; ఎడమ వైపున ఉన్న గీత వలయాన్ని మూసివేస్తుంది. — n = 10 సందర్భపు రేఖాచిత్రం, పేజీ 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

అలాంటి వలయాలు రెండో షరతును భంగపరుస్తాయి: ఏ వలయంలోనూ ముఖాల కంటే ఎక్కువ పాచికలు ఉండకూడదు. ఈ లక్షణం ఉన్న అతి తక్కువ ముఖాల సంఖ్య మాత్రమే కాదు, అతి ఎక్కువ సంఖ్య కూడా ఆరే అని ఈస్లిక్ ఊహిస్తున్నారు.

పదకొండు ముఖాలు, ఇంకా అందుబాటుకు దూరంగా

ఆ ఊహ ఇంకా తేలలేదు. పదకొండు ముఖాలతో సాధ్యమయ్యే పాచికలు 352,716; పన్నెండుతో, 1,352,078. ఈ రెండు సందర్భాలనూ లెక్కించడానికి చాలా ఎక్కువ సమయం పడుతుంది; పత్రం వాటికి ఏ గణననూ నివేదించదు, వాటిలో కూడా కనీసం 12, 13 పాచికల వలయాలు దాగి ఉన్నాయని రచయిత కేవలం ఊహిస్తున్నారు. ఈ ప్రశ్న ఎక్కడి నుంచి వచ్చిందో చెబుతూ పత్రం ముగుస్తుంది: రచయిత తన అమ్మతో ఆడిన ఎన్నో పాచికల ఆటలు.