SEIS DADOS QUE SE GANAN UNOS A OTROS EN CÍRCULO
Se lanzan dos dados a la vez; gana el número más alto. Ahora, cada cara puede llevar cualquier valor del 1 al 6, con repeticiones permitidas: un dado podría tener 1, 1, 2, 5, 5, 5. ¿Se pueden alinear seis dados así de modo que cada uno gane al siguiente y el último gane al primero, con todas las victorias lo más ajustadas posible? Terry Easlick, de la Universidad de Montreal, ha demostrado con un ordenador que seis es el menor número de caras para el que esto funciona, y que hay exactamente dos formas de hacerlo.
Diecinueve duelos de treinta y seis
Un duelo entre dos dados de seis caras tiene 36 resultados igualmente probables: cada cara de uno contra cada cara del otro. Para tener ventaja, un dado debe sacar más en más de la mitad de ellos, así que al menos en 19: una probabilidad de 19/36, alrededor del 52,8 %. Con n caras hay n × n emparejamientos, y la victoria más ajustada es el menor número entero por encima de la mitad de ellos: 13 de 25 con cinco caras, 51 de 100 con diez.
Así funciona el recuento con los dados (1, 1, 2, 5, 5, 5) y (1, 3, 4, 4, 4, 4). Los tres 5 ganan a las seis caras del segundo dado: 18 emparejamientos. El 2 gana al único 1 del segundo dado: uno más, 19 en total. Los dos 1 empatan con ese 1, y el segundo dado gana los 15 restantes. El primer dado gana 19 duelos de 36: la victoria más estrecha que existe.
Los dados que se ganan unos a otros en círculo se llaman no transitivos: cada dado del círculo es vencido por otro, así que ninguno es el mejor. La pregunta de Easlick: con valores del 1 al n en n caras, ¿para qué n pueden n dados formar un círculo así, con cada duelo ganado exactamente por el margen más ajustado y sin ningún círculo de más de n dados entre los dados de n caras con ese margen?
Un mapa de todos los dados posibles
Aquí un dado es simplemente una lista de valores, sin ningún orden concreto. Con seis caras hay 462, entre ellos el dado corriente (1, 2, 3, 4, 5, 6). Easlick dibuja cada uno como un punto y añade una flecha de un dado a otro siempre que el primero gane exactamente 19 duelos de 36. Con seis caras, eso da 5.491 flechas.
Un círculo de dados es entonces un camino de flechas que vuelve a su punto de partida. Para encontrarlos, su programa, escrito en el lenguaje Julia, divide el mapa en componentes fuertemente conexas: los mayores grupos en los que se puede ir de cualquier dado a cualquier otro siguiendo las flechas, y volver. Todo círculo está entero dentro de uno de estos grupos, así que un grupo de un solo dado no contiene ninguno. La división usa el algoritmo de Tarjan, publicado en 1972. El autor indica que usó GPT-5.6 para ayudarse a escribir los scripts y que las ideas matemáticas son enteramente suyas.
Nada, nada, nada, y luego dos
Con tres caras hay 10 dados posibles y solo 3 flechas; con cuatro, 35 dados y 67 flechas; con cinco, 126 dados y 620 flechas. En los tres casos, cada grupo contiene un solo dado: con el margen más ajustado, no existe ningún círculo.
Con seis caras, 448 de los 462 dados quedan aislados. Los otros 14 forman dos familias de siete dados, cada una unida por 10 flechas. Dentro de cada familia, el programa enumera cuatro círculos: tres de tres dados y uno de seis. Ningún círculo puede contener más de siete dados, y la lista completa de círculos de cada familia no muestra ninguno de siete, algo que, señala el autor, también puede comprobarse a mano. Estos dos círculos de seis son los únicos. El primero:
(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → vuelta al primero.
El segundo:
(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → vuelta al primero.
La primera familia de siete dados: cada recuadro es un dado, con su número en la lista del ordenador y sus seis caras. Una flecha significa «gana exactamente 19 duelos de 36». En rojo, el círculo de seis. — Diagrama de la SCC 1, página 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.
Dos soluciones, un reflejo
Los dos círculos no son independientes. Si se sustituye cada valor de cara v por 7 − v, el 1 se convierte en 6, el 2 en 5, el 3 en 4, y viceversa. Una cara que era más alta pasa a ser más baja, así que cada flecha invierte su sentido. Easlick demuestra que este cambio convierte la primera familia en la segunda: el primer círculo, leído al revés, se convierte en el segundo. Si se aplica el cambio dos veces, cada dado vuelve a ser él mismo.
Más allá de seis, los círculos superan a los dados
De siete a diez caras ocurre lo contrario: muchos círculos, pero demasiado largos. Con siete caras, 1.081 de los 1.716 dados posibles forman una familia gigante, y el primer círculo largo que devuelve la búsqueda enlaza 14 dados. Con ocho caras, una familia de 4.321 dados contiene un círculo de 29; con nueve, 20.451 dados y un círculo de 10. Con diez caras, 92.378 dados y 157.244.770 flechas, una familia de 81.791 dados contiene un círculo de 110. Son los primeros círculos más largos que el número de caras que encontró la búsqueda, no los más largos.
Un círculo de 110 dados de diez caras, cada uno de los cuales gana al siguiente en exactamente 51 duelos de 100. Siga las flechas fila a fila; la línea de la izquierda cierra el círculo. — Diagrama del caso n = 10, página 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.
Estos círculos incumplen la segunda condición: ningún círculo puede contener más dados que caras. Easlick conjetura que seis no solo es el menor número de caras con esta propiedad, sino también el mayor.
Once caras, todavía fuera de alcance
Esa conjetura sigue abierta. Con once caras hay 352.716 dados posibles; con doce, 1.352.078. Calcular ambos casos llevaría mucho más tiempo; el artículo no presenta ningún cálculo para ellos, y el autor solo supone que también esconden círculos de al menos 12 y 13 dados. El artículo termina con el origen de la pregunta: las muchas partidas de dados que el autor jugó con su madre.