چھ پاسے جو اک چکر وچ اک دوجے نوں ہراؤندے نیں

دو پاسے اکٹھے سُٹو؛ وڈا نمبر جِتدا اے۔ ہُن ہر منہ نوں 1 توں 6 تیکر کوئی وی قدر رکھن دیو، دہرائی دی اجازت نال: اک پاسا 1، 1، 2، 5، 5، 5 ہو سکدا اے۔ کیہ اجیہے چھ پاسے اینج قطار وچ رکھے جا سکدے نیں کہ ہر اک اگلے نوں ہراوے تے آخری پہلے نوں، ہر جِت جِنی ہو سکے پتلی؟ یونیورسٹی آف مونٹریال دے ٹیری ایسلک نے کمپیوٹر نال وکھایا اے کہ چھ منہاں دی اوہ سب توں نکی گنتی اے جیہدے لئی ایہہ کم کردا اے، تے ایہہ کرن دے ٹھیک دو طریقے نیں۔

چھتی وچوں اُنی مقابلے

چھ منہاں والے دو پاسیاں دے مقابلے دے 36 برابر امکان والے نتیجے ہوندے نیں: اک دا ہر منہ دوجے دے ہر منہ دے خلاف۔ برتری لئی، پاسے نوں اوہناں وچوں ادھیاں توں ودھ وچ اُچا آؤنا پیندا اے، یعنی گھٹ توں گھٹ 19: 19/36 دا امکان، لگ بھگ 52.8%۔ n منہاں نال n × n جوڑ ہوندے نیں، تے سب توں پتلی جِت اوہناں دے ادھ توں اُتے سب توں نکی پوری گنتی اے: پنج منہاں لئی 25 وچوں 13، دس لئی 100 وچوں 51۔

ویکھو پاسیاں (1, 1, 2, 5, 5, 5) تے (1, 3, 4, 4, 4, 4) لئی گنتی کیویں ہوندی اے۔ تن 5 دوجے پاسے دے سارے چھ منہاں نوں ہراؤندے نیں: 18 جوڑ۔ 2 دوجے پاسے دے اکلے 1 نوں ہراؤندا اے: اک ہور، کُل 19۔ دو 1 اوس 1 نال برابر رہندے نیں، تے دوجا پاسا باقی 15 جِتدا اے۔ پہلا پاسا 36 وچوں 19 مقابلے جِتدا اے: سب توں پتلی جِت جو ہو سکدی اے۔

جو پاسے اک چکر وچ اک دوجے نوں ہراؤندے نیں اوہناں نوں غیر متعدی (non-transitive) آکھدے نیں: چکر دا ہر پاسا کسے ہور توں ہاردا اے، ایس لئی کوئی وی سب توں ودھیا نہیں۔ ایسلک دا سوال: n منہاں اُتے 1 توں n تیکر قدراں نال، کیہڑے n لئی n پاسے اجیہا چکر بنا سکدے نیں، ہر مقابلہ ٹھیک سب توں پتلے فرق نال جِتیا، تے اوس فرق والے n منہاں والے پاسیاں وچ کِتے وی n توں ودھ پاسیاں دا کوئی چکر نہ ہووے؟

ہر ممکن پاسے دا نقشہ

ایتھے اک پاسا بس قدراں دی اک لسٹ اے، کسے خاص ترتیب بنا۔ چھ منہاں نال اجیہے 462 نیں، عام پاسا (1, 2, 3, 4, 5, 6) وی اوہناں وچ۔ ایسلک ہر اک نوں اک بِندو وانگ واہندا اے، فیر اک پاسے توں دوجے ول اک تیر جوڑدا اے جدوں وی پہلا ٹھیک 36 وچوں 19 مقابلے جِتے۔ چھ منہاں لئی، ایہہ 5,491 تیر بندے نیں۔

فیر پاسیاں دا اک چکر تیراں دا اک راہ اے جو اپنے شروع ول مُڑدا اے۔ اوہناں نوں لبھن لئی، اوہدا جولیا (Julia) زبان وچ لکھیا پروگرام نقشے نوں مضبوط جُڑے حصیاں (strongly connected components) وچ ونڈدا اے: اوہ سب توں وڈے ٹولے جنہاں وچ تسیں تیراں دے نال نال کسے وی پاسے توں کسے وی ہور تیکر جا تے مُڑ آ سکدے او۔ ہر چکر پورا ایہناں ٹولیاں وچوں کسے اک اندر ہوندا اے، ایس لئی اک پاسے والے ٹولے وچ کوئی نہیں ہوندا۔ ونڈ لئی ٹارجن (Tarjan) دا الگورتھم ورتیا جاندا اے، جو 1972 وچ چھپیا۔ لکھاری دسدا اے کہ اوہنے سکرپٹ لکھن وچ مدد لئی GPT-5.6 ورتیا، تے ریاضی دے خیال پوری طرح اوہدے اپنے نیں۔

کجھ نہیں، کجھ نہیں، کجھ نہیں، فیر دو

تن منہاں نال 10 ممکن پاسے تے صرف 3 تیر نیں؛ چار نال، 35 پاسے تے 67 تیر؛ پنج نال، 126 پاسے تے 620 تیر۔ تِنّاں صورتاں وچ ہر ٹولے وچ اک ای پاسا اے: سب توں پتلے فرق اُتے، کوئی چکر بالکل نہیں۔

چھ منہاں نال، 462 پاسیاں وچوں 448 اکلے بیٹھے نیں۔ باقی 14 ستّ ستّ پاسیاں دے دو ٹبر بناؤندے نیں، ہر اک 10 تیراں نال جُڑیا۔ ہر ٹبر اندر، پروگرام چار چکر لسٹ کردا اے: تن پاسیاں دے تن تے چھ دا اک۔ کوئی چکر ستّ توں ودھ پاسے نہیں رکھ سکدا، تے ہر ٹبر دے چکراں دی پوری لسٹ وچ ستّ والا کوئی نہیں، جیہنوں لکھاری مطابق ہتھ نال وی پرکھیا جا سکدا اے۔ چھ دے ایہہ دو چکر ای اکلے نیں۔ پہلا:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → مڑ پہلے ول۔

دوجا:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → مڑ پہلے ول۔

ستّ پاسیاں دا پہلا ٹبر: ہر ڈبی اک پاسا اے، کمپیوٹر دی لسٹ وچ اوہدے نمبر تے اوہدے چھ منہاں نال۔ تیر دا مطلب اے “ٹھیک 36 وچوں 19 مقابلے جِتدا اے”۔ لال وچ، چھ دا چکر۔ — SCC 1 دا خاکہ، صفحہ 5، Easlick (2026)، arXiv:2610.40321۔

دو حل، اک عکس

دوویں چکر اک دوجے توں آزاد نہیں۔ ہر منہ دی قدر v نوں 7 − v نال بدلو: 1 بن جاندا اے 6، 2 بن جاندا اے 5، 3 بن جاندا اے 4، تے الٹ وی۔ جو منہ اُچا سی ہُن نیواں اے، ایس لئی ہر تیر سمت بدل لیندا اے۔ ایسلک ثابت کردا اے کہ ایہہ وٹاندرا پہلے ٹبر نوں دوجے وچ بدل دیندا اے: پہلا چکر، پِچھوں پڑھیا جاوے، تے دوجا بن جاندا اے۔ وٹاندرا دو واری کرو تے ہر پاسا اپنے آپ ول مُڑ آؤندا اے۔

چھ توں اگے، چکر پاسیاں توں ودھ جاندے نیں

ستّ توں دس منہاں تیکر، الٹ ہوندا اے: چکر بہت، پر بہت لمے۔ ستّ منہاں نال، 1,716 ممکن پاسیاں وچوں 1,081 اک دیو ہیکل ٹبر بناؤندے نیں، تے کھوج دا لبھیا پہلا لما چکر 14 پاسے جوڑدا اے۔ اٹھ منہاں نال، 4,321 پاسیاں دا اک ٹبر 29 دا چکر رکھدا اے؛ نو نال، 20,451 پاسے تے 10 دا اک چکر۔ دس منہاں نال، 92,378 پاسے تے 157,244,770 تیر، 81,791 پاسیاں دا اک ٹبر 110 دا چکر رکھدا اے۔ ایہہ اوہ پہلے چکر نیں جو منہاں دی گنتی توں لمے کھوج نے لبھے، سب توں لمے نہیں۔

دس منہاں والے 110 پاسیاں دا اک چکر، ہر اک اگلے نوں ٹھیک 100 وچوں 51 مقابلیاں وچ ہراؤندا اے۔ تیراں نوں قطار قطار ٹُرو؛ کھبے پاسے دی لکیر چکر بند کردی اے۔ — صورت n = 10 دا خاکہ، صفحہ 10، Easlick (2026)، arXiv:2610.40321۔

اجیہے چکر دوجی شرط توڑ دیندے نیں: کسے چکر وچ منہاں نالوں ودھ پاسے نہیں ہو سکدے۔ ایسلک قیاس کردا اے کہ چھ ایس خاصیت والی صرف سب توں نکی گنتی نہیں، سب توں وڈی وی اے۔

گیاراں منہ، اجے پہنچ توں باہر

ایہہ قیاس اجے کھلا اے۔ گیاراں منہاں نال 352,716 ممکن پاسے نیں؛ باراں نال، 1,352,078۔ دوہاں صورتاں دا حساب بہت ای ودھ ویلا لوے گا؛ مقالہ ایہناں لئی کوئی حساب نہیں دسدا، تے لکھاری بس اندازہ لاؤندا اے کہ ایہناں وچ وی گھٹ توں گھٹ 12 تے 13 پاسیاں دے چکر لُکے نیں۔ مقالہ ایس گل اُتے مُکدا اے کہ سوال کتھوں آیا: اوہ بہت ساریاں پاسیاں دیاں کھیڈاں جو لکھاری نے اپنی ماں نال کھیڈیاں۔