SEIS DADOS QUE SE VENCEM EM CICLO

Jogue dois dados juntos; o número mais alto vence. Agora deixe cada face levar qualquer valor de 1 a 6, com repetições permitidas: um dado pode mostrar 1, 1, 2, 5, 5, 5. É possível enfileirar seis dados desse tipo de modo que cada um vença o seguinte e o último vença o primeiro, com cada vitória a mais apertada possível? Terry Easlick, da Université de Montréal, mostrou com um computador que seis é o menor número de faces para o qual isso funciona, e que há exatamente duas maneiras de fazê-lo.

Dezenove duelos em trinta e seis

Um duelo entre dois dados de seis faces tem 36 resultados igualmente prováveis: cada face de um contra cada face do outro. Para levar vantagem, um dado precisa sair mais alto em mais da metade deles, portanto em pelo menos 19: uma probabilidade de 19/36, cerca de 52,8%. Com n faces, há n × n combinações, e a vitória mais apertada é o menor número inteiro acima da metade delas: 13 em 25 para cinco faces, 51 em 100 para dez.

Veja como funciona a contagem para os dados (1, 1, 2, 5, 5, 5) e (1, 3, 4, 4, 4, 4). Os três 5 vencem todas as seis faces do segundo dado: 18 combinações. O 2 vence o único 1 do segundo dado: mais uma, 19 ao todo. Os dois 1 empatam com esse 1, e o segundo dado vence as outras 15. O primeiro dado vence 19 duelos em 36: a vitória mais estreita que existe.

Dados que se vencem uns aos outros em ciclo são chamados de não transitivos: todo dado do ciclo é vencido por outro, então nenhum é o melhor. A pergunta de Easlick: com valores de 1 a n em n faces, para quais n é possível que n dados formem um ciclo assim, com cada duelo vencido exatamente pela margem mais apertada, sem nenhum ciclo de mais de n dados entre os dados de n faces com essa margem?

Um mapa de todos os dados possíveis

Aqui, um dado é simplesmente uma lista de valores, sem ordem particular. Com seis faces, há 462 deles, entre os quais o dado comum (1, 2, 3, 4, 5, 6). Easlick representa cada um como um ponto e depois acrescenta uma seta de um dado para outro sempre que o primeiro vence exatamente 19 duelos em 36. Para seis faces, isso dá 5.491 setas.

Um ciclo de dados é então um caminho de setas que volta ao ponto de partida. Para encontrá-los, seu programa, escrito na linguagem Julia, divide o mapa em componentes fortemente conexas: os maiores grupos dentro dos quais se pode ir de qualquer dado a qualquer outro seguindo as setas, e voltar. Todo ciclo fica inteiramente dentro de um desses grupos, então um grupo de um único dado não contém nenhum. A divisão usa o algoritmo de Tarjan, publicado em 1972. O autor declara que usou o GPT-5.6 para ajudar a escrever os scripts e que as ideias matemáticas são inteiramente suas.

Nada, nada, nada, e então dois

Com três faces, há 10 dados possíveis e apenas 3 setas; com quatro, 35 dados e 67 setas; com cinco, 126 dados e 620 setas. Nos três casos, cada grupo contém um único dado: na margem mais apertada, não existe nenhum ciclo.

Com seis faces, 448 dos 462 dados ficam isolados. Os outros 14 formam duas famílias de sete dados, cada uma ligada por 10 setas. Dentro de cada família, o programa lista quatro ciclos: três de três dados e um de seis. Nenhum ciclo pode conter mais de sete dados, e a lista completa dos ciclos de cada família não mostra nenhum de sete, o que, observa o autor, também pode ser verificado à mão. Esses dois ciclos de seis são os únicos. O primeiro:

(1, 1, 2, 5, 5, 5) → (1, 3, 4, 4, 4, 4) → (2, 2, 2, 3, 6, 6) → (1, 1, 2, 5, 5, 6) → (1, 3, 3, 4, 4, 4) → (2, 2, 3, 3, 3, 6) → de volta ao primeiro.

O segundo:

(1, 1, 4, 5, 5, 5) → (3, 3, 3, 3, 4, 6) → (2, 2, 2, 5, 6, 6) → (1, 4, 4, 4, 5, 5) → (3, 3, 3, 4, 4, 6) → (1, 2, 2, 5, 6, 6) → de volta ao primeiro.

A primeira família de sete dados: cada caixa é um dado, com seu número na lista do computador e suas seis faces. Uma seta significa “vence exatamente 19 duelos em 36”. Em vermelho, o ciclo de seis. — Diagrama da SCC 1, página 5, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

Duas soluções, um reflexo

Os dois ciclos não são independentes. Substitua cada valor de face v por 7 − v: 1 vira 6, 2 vira 5, 3 vira 4, e vice-versa. Uma face que era mais alta passa a ser mais baixa, então todas as setas invertem de sentido. Easlick prova que essa troca transforma a primeira família na segunda: o primeiro ciclo, lido de trás para a frente, torna-se o segundo. Aplique a troca duas vezes e cada dado volta a ser ele mesmo.

Além de seis, os ciclos ultrapassam os dados

De sete a dez faces, acontece o contrário: muitos ciclos, mas longos demais. Com sete faces, 1.081 dos 1.716 dados possíveis formam uma família gigante, e o primeiro ciclo longo que a busca devolve liga 14 dados. Com oito faces, uma família de 4.321 dados contém um ciclo de 29; com nove, 20.451 dados e um ciclo de 10. Com dez faces, 92.378 dados e 157.244.770 setas, uma família de 81.791 dados contém um ciclo de 110. Esses são os primeiros ciclos mais longos que o número de faces que a busca encontrou, não os mais longos.

Um ciclo de 110 dados de dez faces, cada um vencendo o seguinte em exatamente 51 duelos em 100. Siga as setas linha por linha; a linha à esquerda fecha o ciclo. — Diagrama do caso n = 10, página 10, Easlick (2026), arXiv:2610.40321.

Ciclos assim violam a segunda condição: nenhum ciclo pode conter mais dados do que há faces. Easlick conjectura que seis é não apenas o menor número de faces com essa propriedade, mas também o maior.

Onze faces, ainda fora de alcance

Essa conjectura continua em aberto. Com onze faces, há 352.716 dados possíveis; com doze, 1.352.078. Os dois casos levariam muito mais tempo para calcular; o artigo não relata nenhum cálculo para eles, e o autor apenas supõe que também escondam ciclos de pelo menos 12 e 13 dados. O artigo termina com a origem da pergunta: as muitas partidas de dados que o autor jogou com a mãe.