ZWEI GLASSCHEIBEN WAHLLOS ANEINANDERREIBEN – HERAUS KOMMT EINE PERFEKTE KUGELFLÄCHE

Jeder kann einen Teleskopspiegel von Hand herstellen. Man befestigt eine Glasscheibe, das „Werkzeug“, auf einem Tisch, legt eine zweite, den künftigen Spiegel, darauf, gibt Schleifpulver dazwischen und schiebt die obere Scheibe in kurzen Strichen hin und her. Dabei geht man langsam um den Tisch herum und dreht den Spiegel nach und nach, sodass jede Richtung ihren Anteil bekommt. Jeder Strich ist ein wenig anders als der vorige. Dann wechselt man zu feinerem Schleifpulver, und wieder, und wieder.

Das Ergebnis ist verblüffend: Die beiden Oberflächen streben von selbst zu perfekt zueinander passenden Kugelflächen, genau auf einige zehn Nanometer. Anleitungen beschreiben das Rezept im Detail. Was sie nicht liefern, so Emmanuel Schaan vom SLAC National Accelerator Laboratory und vom Kavli Institute for Particle Astrophysics and Cosmology der Stanford University, ist eine physikalische Erklärung aus ersten Prinzipien dafür, warum jede beliebige Ausgangsfläche am Ende kugelförmig wird.

Ein einziges Verschleißgesetz

Schaan geht vom Preston-Gesetz aus, 1927 für das Polieren von Flachglas veröffentlicht: An jedem Punkt wird Material mit einer Rate abgetragen, die proportional zum örtlichen Druck und zur Geschwindigkeit ist, mit der die Flächen aneinander vorbeigleiten. Dazu kommt ein einfaches Kontaktmodell – je weiter eine Fläche gegenüber der anderen vorsteht, desto stärker wird sie gedrückt –, und alles folgt aus einer einzigen Gleichung.

Die erste Folgerung ergibt sich allein aus der Symmetrie. Ein Flächenpaar hört nur dann auf, sich zu verändern, wenn beide Flächen identisch sind und nach jeder Bewegung des Strichs gleich aussehen. Striche, die in zwei Richtungen gleiten, lassen nur Ebenen übrig; Striche, die sich um zwei verschiedene Achsen drehen, lassen nur Kugelflächen übrig. Da ein von Hand geschliffener Spiegel in alle Richtungen geschoben und gedreht wird, sind Ebenen und Kugelflächen die einzig möglichen Endzustände. Das gilt für jedes Druckgesetz, bei dem der Druck dort verschwindet, wo die Flächen übereinstimmen.

Drei Uhren

Ob eine Fläche diese Endzustände tatsächlich erreicht, hängt davon ab, wie schnell verschiedene Fehler verschwinden.

• Unebenheiten, die kleiner als der Strich sind, werden weggemittelt. Sie schrumpfen exponentiell mit einer Zeitkonstante namens T_grind – in der Praxis einige zehn Minuten bis eine Stunde.
• Der Unterschied zwischen den beiden Scheiben verschwindet doppelt so schnell, weil sich beide Flächen gleichzeitig abnutzen.
• Abweichungen, die größer als der Strich sind, schrumpfen nicht einfach: Die Mittelung über die Fläche, die der Strich überstreicht, macht aus der Gleichung eine Diffusionsgleichung – die Art von Gleichung, die beschreibt, wie sich etwas mit der Zeit ausbreitet und ausgleicht. Große Abweichungen breiten sich aus und flachen langsam ab. Die letzte, die verschwindet, erstreckt sich über den ganzen Spiegel und bestimmt die Zeit, bis eine Kugelfläche entsteht:

T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind

Für den klassischen „Normalstrich“, dessen voller Hub ein Drittel des Spiegeldurchmessers beträgt, ergibt das etwa 30-mal T_grind – rund zehn Stunden.

Warum die Ebene verliert

Die Schwerkraft bricht die Symmetrie zwischen den beiden Scheiben. Sobald die obere Scheibe über die untere hinausragt, verteilt sich der Druck um: Die obere Scheibe wird in ihrer Mitte stärker abgeschliffen, die untere an ihren Rändern. Die obere wird hohl, die untere wölbt sich, also sind Ebenen instabil. Kugelflächen bleiben bestehen, solange sie sich schneller bilden, als die Schwerkraft sie verformt, und das ist bei ausreichend kurzen Strichen der Fall: Die beiden Flächen bleiben dann passende Kugelflächen, deren Krümmung langsam zunimmt. Lange Striche kehren die Reihenfolge um, und genau deshalb beginnt man beim Spiegelschleifen mit einem langen „Sehnenstrich“ (chordal stroke), um die Mitte auszuhöhlen, und wechselt dann zum Normalstrich, um sie kugelförmig zu machen.

Das Logbuch eines Spiegels

Die Größenordnungen werden am Logbuch von Schaans eigenem 25-Zentimeter-Spiegel überprüft, der in etwa 50 Stunden von Hand geschliffen wurde. Wenn zwei Hände mit 1 bis 2 Kilopascal drücken und mit 0,1 bis 0,3 Metern pro Sekunde gleiten, trägt das gröbste Schleifpulver einige Mikrometer pro Minute ab. Das Aushöhlen der 3-Millimeter-Mulde in der Mitte sollte etwa 10 Stunden dauern: Das Logbuch verzeichnet 11 h 50. Die Kugelform herzustellen sollte etwa 30 × T_grind dauern, wiederum etwa 10 Stunden: Das Logbuch verzeichnet 12 h 50. Das Modell erklärt sogar, warum jede Stufe mit feinem Schleifpulver ungefähr gleich lange dauerte, zwischen 2 h 15 und 5 h 25: Feineres Schleifpulver trägt Material langsamer ab, hat aber auch eine flachere Schadensschicht zu entfernen, und die beiden Effekte heben sich auf.

Kiesel und Schleifpapier

Dieselben Gleichungen erfassen zwei Alltagsfälle. In einer Steinpoliertrommel reiben Kiesel von etwa 1 Zentimeter Durchmesser über Wege von etwa 1 Millimeter aneinander. Kleine Unebenheiten verschwinden innerhalb von Wochen, sodass die Steine glänzend werden; doch der Faktor (R_rock/R_stroke)² von etwa 100 schiebt die Zeit bis zur Kugelform auf Jahre hinaus. Rotationstrommeln mit längeren Gleitkontakten runden Kanten stärker ab als Vibrationstrommeln. Das Schleifen eines kleinen flachen Gegenstands ist das andere Extrem: Der Strich ist länger als der Gegenstand, die Verformung tritt sofort ein, und die Kanten runden sich immer ab.

Das Modell lässt die Reibung, den ungleichmäßigen Druck echter Hände und die weiche Pechschale für die Endpolitur außer Acht, und seine Überprüfungen betreffen Größenordnungen statt eines eigens dafür durchgeführten Experiments. Die Arbeit, unter Auflagen vom American Journal of Physics angenommen, ist als Lehrbeispiel für den Unterricht angelegt: stabile und instabile Gleichgewichte, exponentieller Zerfall und Diffusion, alles aus dem Aneinanderreiben zweier Glasstücke.