شیشے کی دو تختیاں بے ترتیبی سے رگڑیں، ایک کامل کرہ پائیں
دوربین کا آئینہ کوئی بھی ہاتھ سے بنا سکتا ہے۔ شیشے کی ایک تختی، جسے “اوزار” (tool) کہتے ہیں، میز پر جما دی جاتی ہے؛ دوسری تختی، یعنی مستقبل کا آئینہ، اس کے اوپر رکھی جاتی ہے؛ دونوں کے بیچ رگڑنے والا سفوف (abrasive grit) ڈالا جاتا ہے، اور اوپر والی تختی کو چھوٹی چھوٹی حرکتوں میں آگے پیچھے دھکیلا جاتا ہے۔ میز کے گرد آہستہ آہستہ چکر لگایا جاتا ہے اور ساتھ ساتھ آئینے کو گھمایا جاتا ہے، تاکہ ہر سمت کو اپنا حصہ ملے۔ ہر حرکت پچھلی سے تھوڑی مختلف ہوتی ہے۔ پھر زیادہ باریک سفوف لیا جاتا ہے، پھر اس سے بھی باریک، اور یوں ہی آگے۔
نتیجہ حیران کن ہے: دونوں سطحیں خود بخود بالکل ایک دوسرے سے میل کھاتے کروں کی شکل اختیار کر لیتی ہیں، جن کی درستی چند دسیوں نینومیٹر تک ہوتی ہے۔ رہنما کتابچے یہ نسخہ تفصیل سے بیان کرتے ہیں۔ SLAC نیشنل ایکسیلریٹر لیبارٹری (SLAC National Accelerator Laboratory) اور اسٹینفورڈ یونیورسٹی کے کاولی انسٹی ٹیوٹ برائے ذراتی فلکی طبیعیات و کونیات (Kavli Institute for Particle Astrophysics and Cosmology) کے ایمانوئل شان (Emmanuel Schaan) کے مطابق، جو چیز یہ کتابچے نہیں دیتے وہ بنیادی اصولوں پر مبنی ایک طبیعیاتی وضاحت ہے کہ کوئی بھی ابتدائی سطح آخرکار کرہ ہی کیوں بن جاتی ہے۔
گھساؤ کا ایک قانون
Schaan کا نقطۂ آغاز پریسٹن کا قانون (Preston’s law) ہے، جو 1927 میں پلیٹ گلاس کی پالش کے لیے شائع ہوا تھا: ہر نقطے پر مادہ اس شرح سے گھستا ہے جو مقامی دباؤ اور اس رفتار کے متناسب ہے جس سے دونوں سطحیں ایک دوسرے پر پھسلتی ہیں۔ اس میں رابطے کا ایک سادہ ماڈل شامل کر دیں — ایک سطح دوسری کے مقابلے میں جتنی زیادہ باہر نکلی ہو، اتنی ہی زور سے دبائی جاتی ہے — تو سب کچھ ایک ہی مساوات سے نکل آتا ہے۔
پہلا نتیجہ صرف تشاکل (symmetry) سے نکلتا ہے۔ سطحوں کا ایک جوڑا اسی وقت بدلنا بند کرتا ہے جب دونوں سطحیں یکساں ہوں اور حرکت کے ہر جزو کے بعد ویسی ہی دکھائی دیں۔ جو حرکتیں دو سمتوں میں پھسلتی ہیں وہ صرف مستوی سطحیں (planes) باقی چھوڑتی ہیں؛ جو حرکتیں دو مختلف محوروں کے گرد گھومتی ہیں وہ صرف کرے باقی چھوڑتی ہیں۔ چونکہ ہاتھ سے گھسے جانے والے آئینے کو ہر سمت میں دھکیلا اور گھمایا جاتا ہے، اس لیے مستوی سطحیں اور کرے ہی واحد ممکنہ منزلیں ہیں۔ یہ بات دباؤ کے ہر اس قانون کے لیے درست ہے جس میں، جہاں سطحیں ایک دوسرے سے میل کھاتی ہوں، وہاں دباؤ صفر ہو جاتا ہے۔
تین گھڑیاں
کوئی سطح واقعی ان منزلوں تک پہنچتی ہے یا نہیں، اس کا انحصار اس پر ہے کہ مختلف نقائص کتنی تیزی سے ختم ہوتے ہیں۔
- حرکت سے چھوٹے ابھار اوسط ہو کر مٹ جاتے ہیں۔ وہ T_grind نامی ایک وقت کے پیمانے پر قوت نمائی (exponential) انداز میں گھٹتے ہیں — عملاً دسیوں منٹ سے ایک گھنٹے تک۔
- دونوں تختیوں کے درمیان عدم مطابقت دوگنی تیزی سے ختم ہوتی ہے، کیونکہ دونوں سطحیں بیک وقت گھستی ہیں۔
- حرکت سے بڑے انحرافات محض سکڑتے نہیں: حرکت کے احاطے میں آنے والے رقبے پر اوسط لینے سے مساوات ایک نفوذ کی مساوات (diffusion equation) بن جاتی ہے — اس قسم کی مساوات جو بیان کرتی ہے کہ کوئی چیز وقت کے ساتھ کیسے پھیلتی اور خود کو ہموار کرتی ہے۔ بڑے انحرافات آہستہ آہستہ پھیلتے اور چپٹے ہوتے ہیں۔ سب سے آخر میں ختم ہونے والا انحراف پورے آئینے پر پھیلا ہوتا ہے، اور وہی کرہ بننے کا وقت طے کرتا ہے:
T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind
کلاسیکی “نارمل” حرکت (normal stroke) کے لیے، جس کا پورا سفر آئینے کے قطر کا ایک تہائی ہوتا ہے، یہ تقریباً T_grind کا 30 گنا بنتا ہے — یعنی تقریباً دس گھنٹے۔
مستوی سطح کیوں ہارتی ہے
کششِ ثقل دونوں تختیوں کے درمیان تشاکل کو توڑ دیتی ہے۔ جب بھی اوپر والی تختی نیچے والی سے باہر لٹکتی ہے، دباؤ نئے سرے سے تقسیم ہوتا ہے: اوپر والی تختی اپنے مرکز پر زیادہ زور سے گھستی ہے، اور نیچے والی اپنے کناروں پر۔ اوپر والی کھوکھلی ہو جاتی ہے، نیچے والی ابھر آتی ہے، اس لیے مستوی سطحیں غیر مستحکم ہیں۔ کرے اس وقت تک قائم رہتے ہیں جب تک وہ کششِ ثقل کے پیدا کردہ بگاڑ سے زیادہ تیزی سے بنتے ہوں، اور کافی چھوٹی حرکتوں کی صورت میں یہی ہوتا ہے: تب دونوں سطحیں ایک دوسرے سے میل کھاتے کرے ہی رہتی ہیں، جن کا خم آہستہ آہستہ بڑھتا جاتا ہے۔ لمبی حرکتیں یہ ترتیب الٹ دیتی ہیں، اور ٹھیک اسی لیے آئینہ سازی میں مرکز کو کھودنے کے لیے پہلے ایک لمبی “وتری” حرکت (chordal stroke) سے آغاز کیا جاتا ہے، پھر اسے کروی بنانے کے لیے نارمل حرکت اختیار کی جاتی ہے۔
ایک آئینے کی لاگ بک
اندازوں کی جانچ خود Schaan کے 25 سینٹی میٹر کے آئینے کی لاگ بک سے کی گئی ہے، جو تقریباً 50 گھنٹوں میں ہاتھ سے گھسا گیا تھا۔ دو ہاتھوں کے 1 سے 2 کلو پاسکل دباؤ اور 0.1 سے 0.3 میٹر فی سیکنڈ کی پھسلنے کی رفتار کے ساتھ، سب سے موٹا سفوف فی منٹ چند مائیکرومیٹر مادہ ہٹاتا ہے۔ مرکز میں 3 ملی میٹر کا گڑھا کھودنے میں تقریباً 10 گھنٹے لگنے چاہییں: لاگ بک میں 11 گھنٹے 50 منٹ درج ہیں۔ اسے کروی بنانے میں تقریباً 30 × T_grind، یعنی پھر سے تقریباً 10 گھنٹے لگنے چاہییں: لاگ بک میں 12 گھنٹے 50 منٹ درج ہیں۔ ماڈل یہ بھی بتاتا ہے کہ باریک سفوف کا ہر مرحلہ تقریباً یکساں وقت، یعنی 2 گھنٹے 15 منٹ سے 5 گھنٹے 25 منٹ کے درمیان، کیوں چلا: باریک سفوف مادہ زیادہ آہستگی سے ہٹاتا ہے، مگر اسے ہٹانے کے لیے نقصان کی تہہ بھی کم گہری ملتی ہے، اور دونوں اثرات ایک دوسرے کو کاٹ دیتے ہیں۔
کنکر اور ریگمال
یہی مساواتیں روزمرہ کی دو صورتوں پر بھی لاگو ہوتی ہیں۔ پتھر گھمانے والی مشین (rock tumbler) میں تقریباً 1 سینٹی میٹر چوڑے کنکر تقریباً 1 ملی میٹر کے فاصلوں تک رگڑ کھاتے ہیں۔ چھوٹے ابھار چند ہفتوں میں غائب ہو جاتے ہیں، اس لیے پتھر چمکدار ہو جاتے ہیں؛ لیکن تقریباً 100 کا جزو (R_rock/R_stroke)² کرہ بننے کے وقت کو برسوں تک لے جاتا ہے۔ گھومنے والے ٹمبلر (rotary tumblers)، جن میں پھسلتے رابطے زیادہ لمبے ہوتے ہیں، تھرتھرانے والے (vibratory) ٹمبلرز کی نسبت کنارے زیادہ گول کرتے ہیں۔ کسی چھوٹی چپٹی چیز کو ریگمال سے گھسنا دوسری انتہا ہے: حرکت چیز سے لمبی ہوتی ہے، بگاڑ فوری ہوتا ہے، اور کنارے ہمیشہ گول ہو جاتے ہیں۔
ماڈل رگڑ (friction)، اصل ہاتھوں کے غیر یکساں دباؤ، اور آخری پالش کے لیے استعمال ہونے والے نرم پِچ (pitch) کے اوزار کو شامل نہیں کرتا، اور اس کی جانچیں کسی مخصوص تجربے کے بجائے محض اندازوں (orders of magnitude) کی سطح پر ہیں۔ یہ مقالہ، جو امریکن جرنل آف فزکس (American Journal of Physics) میں مشروط طور پر قبول ہو چکا ہے، کلاس روم کی ایک مثال کے طور پر پیش کیا گیا ہے: مستحکم اور غیر مستحکم توازن، قوت نمائی زوال اور نفوذ، یہ سب شیشے کے دو ٹکڑوں کو آپس میں رگڑنے سے۔