ТРИТЕ ДВА СТЕКЛЯННЫХ ДИСКА КАК ПОПАЛО — И ПОЛУЧИТСЯ ИДЕАЛЬНАЯ СФЕРА
Зеркало для телескопа может сделать вручную кто угодно. Один стеклянный диск, «шлифовальник», закрепляют на столе, сверху кладут второй — будущее зеркало, — между ними насыпают абразивный порошок и двигают верхний диск туда-сюда короткими штрихами. При этом медленно обходят стол и понемногу поворачивают зеркало, чтобы каждому направлению досталась своя доля. Каждый штрих немного отличается от предыдущего. Потом переходят на более мелкий абразив, и ещё раз, и ещё.
Результат поразителен: две поверхности сами собой приходят к идеально совпадающим сферам с точностью до нескольких десятков нанометров. Руководства подробно описывают рецепт. Но чего в них нет, как отмечает Эммануэль Шаан (Emmanuel Schaan) из Национальной ускорительной лаборатории SLAC и Института астрофизики частиц и космологии имени Кавли при Стэнфордском университете, — так это физического объяснения из первых принципов того, почему любая исходная поверхность в итоге становится сферической.
Один закон износа
Шаан исходит из закона Престона, опубликованного в 1927 году для полировки листового стекла: в каждой точке материал снимается со скоростью, пропорциональной местному давлению и скорости, с которой поверхности скользят друг по другу. Если добавить простую модель контакта — чем сильнее одна поверхность выступает относительно другой, тем сильнее её прижимают, — всё следует из одного уравнения.
Первое следствие вытекает из одной лишь симметрии. Пара поверхностей перестаёт меняться, только если они одинаковы и выглядят так же после каждого движения штриха. Штрихи, скользящие в двух направлениях, оставляют только плоскости; штрихи, поворачивающие вокруг двух разных осей, — только сферы. Поскольку зеркало при ручной шлифовке двигают и поворачивают во всех направлениях, плоскости и сферы — единственно возможные конечные состояния. Это верно для любого закона давления, в котором давление обращается в ноль там, где поверхности совпадают.
Три шкалы времени
Дойдёт ли поверхность на самом деле до этих конечных состояний, зависит от того, как быстро исчезают разные дефекты.
- Бугорки меньше штриха усредняются. Они уменьшаются экспоненциально с характерным временем T_grind — на практике от десятков минут до часа.
- Несовпадение двух дисков исчезает вдвое быстрее, потому что изнашиваются обе поверхности сразу.
- Отклонения больше штриха не просто уменьшаются: усреднение по площади, которую покрывает штрих, превращает уравнение в уравнение диффузии — такое, которое описывает, как что-то со временем расплывается и выравнивается. Крупные отклонения расплываются и сглаживаются медленно. Последнее из них охватывает всё зеркало, и оно задаёт время, за которое зеркало становится сферой:
T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind
Для классического «нормального» штриха, полный ход которого составляет треть диаметра зеркала, это около 30 × T_grind — около десяти часов.
Почему проигрывает плоскость
Гравитация нарушает симметрию между двумя дисками. Всякий раз, когда верхний диск свешивается за край нижнего, давление перераспределяется: верхний диск сильнее шлифуется в центре, нижний — по краям. Верхний становится вогнутым, нижний — выпуклым, поэтому плоскости неустойчивы. Сферы сохраняются, пока они образуются быстрее, чем гравитация их искажает, а так бывает при достаточно коротких штрихах: тогда две поверхности остаются совпадающими сферами, кривизна которых медленно растёт. Длинные штрихи меняют порядок на обратный, и именно поэтому мастера зеркал начинают с длинного «хордового» штриха, чтобы выбрать центр, а затем переходят на нормальный штрих, чтобы сделать поверхность сферической.
Журнал одного зеркала
Порядки величин проверены по рабочему журналу собственного 25-сантиметрового зеркала автора, отшлифованного вручную примерно за 50 часов. Когда две руки создают давление от 1 до 2 килопаскалей и двигают диск со скоростью от 0,1 до 0,3 метра в секунду, самый крупный абразив снимает несколько микрометров в минуту. Выборка 3-миллиметрового углубления в центре должна занять около 10 часов — в журнале записано 11 ч 50 мин. Придание сферической формы должно занять около 30 × T_grind, то есть снова около 10 часов, — в журнале 12 ч 50 мин. Модель объясняет даже, почему каждый этап с мелким абразивом длился примерно одинаково — от 2 ч 15 мин до 5 ч 25 мин: более мелкий абразив снимает материал медленнее, но и слой повреждений, который ему нужно убрать, у него тоньше, и два эффекта компенсируют друг друга.
Камешки и наждачная бумага
Те же уравнения описывают два бытовых случая. В галтовочном барабане камешки размером около 1 сантиметра трутся друг о друга со смещениями около 1 миллиметра. Мелкие бугорки исчезают за несколько недель, поэтому камни начинают блестеть; но множитель (R_rock/R_stroke)², около 100, отодвигает время, за которое они стали бы сферами, на годы. Ротационные барабаны, где скользящий контакт длиннее, скругляют края сильнее, чем вибрационные. Шлифовка наждачной бумагой небольшого плоского предмета — противоположная крайность: штрих длиннее самого предмета, деформация наступает сразу, и края всегда скругляются.
Модель не учитывает трение, неравномерное давление настоящих рук и мягкий смоляной полировальник, которым выполняют финальную полировку, а её проверки — это оценки порядков величин, а не специально поставленный эксперимент. Статья, условно принятая в American Journal of Physics, задумана как учебный пример: устойчивое и неустойчивое равновесие, экспоненциальное затухание и диффузия — и всё это из трения двух кусков стекла друг о друга.