काचेच्या दोन तबकड्या कशाही घासा, परिपूर्ण गोल तयार होतो

कोणीही हाताने दुर्बिणीचा आरसा बनवू शकतो. एक काचेची तबकडी, “हत्यार” (tool), टेबलाला घट्ट बसवायची, तिच्यावर दुसरी तबकडी — भावी आरसा — ठेवायची, दोघींच्या मध्ये अपघर्षक चूर्ण (grit) घालायचे, आणि वरची तबकडी लहान चालींनी (strokes) पुढे-मागे ढकलायची. टेबलाभोवती हळूहळू फिरत, आरसाही फिरवत राहायचे, जेणेकरून प्रत्येक दिशेला तिचा वाटा मिळेल. प्रत्येक चाल आधीच्या चालीपेक्षा थोडी वेगळी असते. मग अधिक बारीक चूर्ण घ्यायचे, आणि पुन्हा, आणि पुन्हा.

परिणाम थक्क करणारा असतो: दोन्ही पृष्ठभाग आपोआप एकमेकांशी परिपूर्णपणे जुळणाऱ्या गोलांकडे वळतात, काही दहा नॅनोमीटरपर्यंत अचूक. मार्गदर्शिका ही कृती तपशीलवार सांगतात. SLAC National Accelerator Laboratory आणि Stanford विद्यापीठाच्या Kavli Institute for Particle Astrophysics and Cosmology येथील Emmanuel Schaan यांच्या मते, त्या जे देत नाहीत ते म्हणजे, कोणताही सुरुवातीचा पृष्ठभाग शेवटी गोलाकारच का होतो, याचे मूलभूत तत्त्वांपासून (first principles) केलेले भौतिक स्पष्टीकरण.

झिजेचा एकच नियम

Schaan यांची सुरुवात प्रेस्टनच्या नियमापासून (Preston’s law) होते, जो 1927 मध्ये प्लेट ग्लास पॉलिश करण्यासाठी प्रकाशित झाला होता: प्रत्येक बिंदूवर, पदार्थ झिजण्याचा दर तिथल्या स्थानिक दाबाच्या आणि पृष्ठभाग एकमेकांवरून ज्या वेगाने सरकतात त्या वेगाच्या समप्रमाणात असतो. त्यात एक साधे संपर्क-प्रतिमान (contact model) जोडा — एक पृष्ठभाग दुसऱ्याच्या तुलनेत जितका जास्त बाहेर डोकावतो, तितका तो जोराने दाबला जातो — आणि सर्व काही एकाच समीकरणातून निष्पन्न होते.

पहिला निष्कर्ष केवळ सममितीतून येतो. पृष्ठभागांची जोडी बदलणे तेव्हाच थांबवते, जेव्हा दोन्ही पृष्ठभाग एकसारखे असतात आणि चालीच्या प्रत्येक हालचालीनंतरही तसेच दिसतात. दोन दिशांना सरकणाऱ्या चाली फक्त प्रतल शिल्लक ठेवतात; दोन वेगवेगळ्या अक्षांभोवती फिरणाऱ्या चाली फक्त गोल शिल्लक ठेवतात. हाताने घासलेला आरसा प्रत्येक दिशेला ढकलला आणि फिरवला जात असल्याने, प्रतल आणि गोल हेच शक्य असलेले अंतिम टप्पे आहेत. जिथे पृष्ठभाग जुळतात तिथे दाब शून्य होतो, अशा कोणत्याही दाब-नियमासाठी हे खरे ठरते.

तीन घड्याळे

पृष्ठभाग प्रत्यक्षात त्या अंतिम टप्प्यांपर्यंत पोहोचतो की नाही, हे वेगवेगळे दोष किती वेगाने नाहीसे होतात यावर अवलंबून असते.

चालीपेक्षा लहान उंचवटे सरासरीत विरून जातात. ते T_grind नावाच्या कालावधीत घातांकीय पद्धतीने (exponentially) आकुंचन पावतात — व्यवहारात काही दहा मिनिटांपासून एका तासापर्यंत.
दोन तबकड्यांमधील विसंगती दुप्पट वेगाने नाहीशी होते, कारण दोन्ही पृष्ठभाग एकाच वेळी झिजतात.
चालीपेक्षा मोठी विचलने नुसती आकुंचन पावत नाहीत: चाल व्यापत असलेल्या क्षेत्रावर सरासरी घेतल्याने समीकरण एका विसरण समीकरणात (diffusion equation) रूपांतरित होते — काळानुसार पसरत जाणाऱ्या आणि स्वतःला सपाट करत जाणाऱ्या गोष्टीचे वर्णन करणारे समीकरण. मोठी विचलने हळूहळू पसरतात आणि सपाट होतात. सर्वांत शेवटी जाणारे विचलन संपूर्ण आरसा व्यापते, आणि तेच गोल बनण्याचा कालावधी ठरवते:

T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind

क्लासिक “सामान्य” चालीसाठी (normal stroke), जिचा पूर्ण प्रवास आरशाच्या व्यासाच्या एक-तृतीयांश असतो, हे सुमारे T_grind च्या 30 पट येते — सुमारे दहा तास.

प्रतल का हरते

गुरुत्वाकर्षण दोन तबकड्यांमधील सममिती मोडते. जेव्हा जेव्हा वरची तबकडी खालच्या तबकडीच्या बाहेर डोकावते, तेव्हा दाबाचे पुनर्वितरण होते: वरची तबकडी तिच्या मध्यभागी अधिक जोराने घासली जाते, खालची तबकडी तिच्या कडांवर. वरची खोलगट होते, खालची फुगीर होते, म्हणून प्रतल अस्थिर असतात. गुरुत्वाकर्षण गोलांना विकृत करते त्यापेक्षा ते अधिक वेगाने तयार होत असतील, तोपर्यंत गोल टिकतात, आणि पुरेशा लहान चालींसाठी असेच होते: तेव्हा दोन्ही पृष्ठभाग एकमेकांशी जुळणारे गोल राहतात, ज्यांची वक्रता हळूहळू वाढत जाते. लांब चाली हा क्रम उलटवतात, आणि म्हणूनच आरसा बनवणारे आधी मध्यभाग खोदण्यासाठी लांब “जीवा” चालीने (chordal stroke) सुरुवात करतात, आणि मग तो गोलाकार करण्यासाठी सामान्य चालीकडे वळतात.

एका आरशाची नोंदवही

Schaan यांनी स्वतः सुमारे 50 तासांत हाताने घासलेल्या 25 सेंटिमीटरच्या आरशाच्या नोंदवहीशी या परिमाणांच्या क्रमांची (orders of magnitude) पडताळणी केली आहे. दोन हातांनी 1 ते 2 किलोपास्कल दाब देत आणि सेकंदाला 0.1 ते 0.3 मीटर वेगाने सरकवत, सर्वांत जाडे चूर्ण मिनिटाला काही मायक्रोमीटर पदार्थ काढून टाकते. मध्यभागी 3 मिलिमीटरचा खळगा खोदायला सुमारे 10 तास लागायला हवेत: नोंदवही 11 तास 50 मिनिटे सांगते. तो गोलाकार करायला सुमारे 30 × T_grind, म्हणजे पुन्हा सुमारे 10 तास लागायला हवेत: नोंदवही 12 तास 50 मिनिटे सांगते. बारीक चूर्णाचा प्रत्येक टप्पा साधारण सारख्याच कालावधीचा, 2 तास 15 मिनिटे ते 5 तास 25 मिनिटांचा, का होता हेही प्रतिमान स्पष्ट करते: बारीक चूर्ण पदार्थ अधिक हळू काढते, पण त्याला काढून टाकायचा असलेला हानीचा थरही कमी खोल असतो, आणि हे दोन परिणाम एकमेकांना रद्द करतात.

खडे आणि सँडपेपर

हीच समीकरणे रोजच्या दोन प्रकरणांनाही लागू होतात. दगड घोटणाऱ्या यंत्रात (rock tumbler), सुमारे 1 सेंटिमीटर आकाराचे खडे सुमारे 1 मिलिमीटरच्या हालचालींमध्ये एकमेकांवर घासले जातात. लहान उंचवटे काही आठवड्यांत नाहीसे होतात, त्यामुळे दगड चकचकीत होतात; पण सुमारे 100 इतका (R_rock/R_stroke)² हा घटक गोल बनण्याचा कालावधी वर्षांपर्यंत ढकलतो. फिरत्या (rotary) यंत्रांमध्ये, सरकणारे संपर्क अधिक लांब असल्याने, कंपनशील (vibratory) यंत्रांपेक्षा कडा अधिक गोलाकार होतात. एखादी लहान सपाट वस्तू सँडपेपरने घासणे हे दुसरे टोक आहे: चाल वस्तूपेक्षा लांब असते, विकृती तात्काळ होते, आणि कडा नेहमीच गोलाकार होतात.

हे प्रतिमान घर्षण, खऱ्या हातांचा असमान दाब आणि अंतिम पॉलिशसाठी वापरले जाणारे डांबराचे (pitch) मऊ हत्यार यांना वगळते, आणि त्याच्या पडताळण्या या कामासाठी खास केलेल्या प्रयोगाऐवजी परिमाणांच्या क्रमांच्या पातळीवरच्या आहेत. American Journal of Physics मध्ये सशर्त स्वीकारलेला हा शोधनिबंध वर्गात शिकवण्याजोगे एक उदाहरण म्हणून मांडलेला आहे: स्थिर आणि अस्थिर समतोल, घातांकीय क्षय आणि विसरण, हे सर्व काचेचे दोन तुकडे एकमेकांवर घासण्यातून.