ESFREGUE DOIS DISCOS DE VIDRO AO ACASO E OBTENHA UMA ESFERA PERFEITA

Qualquer pessoa pode fazer um espelho de telescópio à mão. Você fixa um disco de vidro, a “ferramenta”, numa mesa, coloca um segundo disco por cima, o futuro espelho, põe grão abrasivo entre os dois e empurra o disco de cima para a frente e para trás em passadas curtas. Você anda devagar ao redor da mesa e vai girando o espelho, para que cada direção receba a sua parte. Cada passada é um pouco diferente da anterior. Depois você troca por um abrasivo mais fino, e de novo, e de novo.

O resultado é surpreendente: as duas superfícies convergem sozinhas para esferas que se encaixam perfeitamente, precisas a algumas dezenas de nanômetros. Os manuais descrevem a receita em detalhe. O que eles não dão, segundo Emmanuel Schaan, do SLAC National Accelerator Laboratory e do Kavli Institute for Particle Astrophysics and Cosmology da Universidade Stanford, é uma explicação física, a partir de princípios fundamentais, de por que qualquer superfície inicial acaba esférica.

Uma única lei de desgaste

Schaan parte da lei de Preston, publicada em 1927 para o polimento de vidro plano: em cada ponto, o material se desgasta a uma taxa proporcional à pressão local e à velocidade com que as superfícies deslizam uma sobre a outra. Acrescente um modelo simples de contato — quanto mais uma superfície se projeta em relação à outra, mais ela é pressionada — e tudo decorre de uma única equação.

A primeira consequência vem apenas da simetria. Um par de superfícies só para de mudar se as duas forem idênticas e tiverem a mesma aparência depois de cada movimento da passada. Passadas que deslizam em duas direções deixam apenas planos; passadas que giram em torno de dois eixos diferentes deixam apenas esferas. Como um espelho desbastado à mão é empurrado e girado em todas as direções, planos e esferas são os únicos pontos de chegada possíveis. Isso vale para qualquer lei de pressão em que a pressão se anula onde as superfícies se encaixam.

Três relógios

Se uma superfície chega de fato a esses pontos de chegada depende da rapidez com que os diferentes defeitos desaparecem.

• Saliências menores que a passada são eliminadas pela média. Elas encolhem exponencialmente num tempo chamado T_grind — de dezenas de minutos a uma hora, na prática.
• O descompasso entre os dois discos some duas vezes mais rápido, porque as duas superfícies se desgastam ao mesmo tempo.
• Desvios maiores que a passada não simplesmente encolhem: tirar a média sobre a área coberta pela passada transforma a equação numa equação de difusão — o tipo de equação que descreve algo que se espalha e se nivela com o tempo. Desvios grandes se espalham e se achatam lentamente. O último a desaparecer abrange o espelho inteiro, e é ele que define o tempo para virar esfera:

T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind

Para a clássica passada “normal”, cujo percurso total é um terço do diâmetro do espelho, isso dá cerca de 30 vezes T_grind — cerca de dez horas.

Por que o plano perde

A gravidade quebra a simetria entre os dois discos. Sempre que o disco de cima ultrapassa a borda do de baixo, a pressão se redistribui: o disco de cima é desbastado com mais força no centro, o de baixo nas bordas. O de cima fica côncavo, o de baixo fica convexo, então os planos são instáveis. As esferas sobrevivem desde que se formem mais rápido do que a gravidade as deforma, o que acontece com passadas curtas o bastante: as duas superfícies continuam então esferas que se encaixam, cuja curvatura aumenta lentamente. Passadas longas invertem essa ordem, e é exatamente por isso que os construtores de espelhos começam com uma passada longa, “cordal”, para cavar o centro, e depois passam para a passada normal para torná-lo esférico.

O diário de bordo de um espelho

As ordens de grandeza são conferidas com o diário de bordo do espelho de 25 centímetros que Schaan desbastou à mão em cerca de 50 horas. Com duas mãos pressionando a 1 a 2 quilopascals e deslizando a 0,1 a 0,3 metro por segundo, o abrasivo mais grosso remove alguns micrômetros por minuto. Cavar a depressão de 3 milímetros no centro deveria levar cerca de 10 horas: o diário registra 11 h 50. Torná-lo esférico deveria levar cerca de 30 × T_grind, de novo cerca de 10 horas: o diário registra 12 h 50. O modelo explica até por que cada etapa de abrasivo fino durou mais ou menos o mesmo tempo, entre 2 h 15 e 5 h 25: o abrasivo mais fino remove material mais devagar, mas também tem uma camada de danos menos profunda a remover, e os dois efeitos se compensam.

Seixos e lixa

As mesmas equações cobrem dois casos do dia a dia. Num tambor de polimento de pedras, seixos de cerca de 1 centímetro se esfregam em deslocamentos de cerca de 1 milímetro. Pequenas saliências desaparecem em semanas, então as pedras ficam brilhantes; mas o fator (R_rock/R_stroke)² de cerca de 100 empurra o tempo para virarem esferas para anos. Os tambores rotativos, com contatos deslizantes mais longos, arredondam mais as arestas do que os vibratórios. Lixar um pequeno objeto plano é o extremo oposto: a passada é maior que o objeto, a deformação é imediata e as bordas sempre se arredondam.

O modelo deixa de fora o atrito, a pressão irregular de mãos reais e a ferramenta macia de piche usada no polimento final, e suas verificações são ordens de grandeza, não um experimento dedicado. O artigo, aceito com condições no American Journal of Physics, é apresentado como um caso para a sala de aula: equilíbrios estáveis e instáveis, decaimento exponencial e difusão, tudo a partir de esfregar dois pedaços de vidro um no outro.