இரண்டு கண்ணாடி வட்டுகளைத் தாறுமாறாகத் தேய்த்தால், கச்சிதமான கோளம் கிடைக்கிறது

யார் வேண்டுமானாலும் ஒரு தொலைநோக்கி ஆடியைக் கையால் உருவாக்கலாம். ஒரு கண்ணாடி வட்டை — “கருவி” (tool) — ஒரு மேசையில் பொருத்துகிறீர்கள்; இரண்டாவது வட்டை — வருங்கால ஆடியை — அதன் மேல் வைக்கிறீர்கள்; அவற்றுக்கிடையே சிராய்ப்புத் தூளைப் போட்டு, மேல் வட்டைக் குறுகிய அசைவுகளில் முன்னும் பின்னுமாகத் தள்ளுகிறீர்கள். ஒவ்வொரு திசைக்கும் அதன் பங்கு கிடைக்கும்படி, மேசையைச் சுற்றி மெதுவாக நடந்தபடியே ஆடியைத் திருப்புகிறீர்கள். ஒவ்வோர் அசைவும் முந்தையதிலிருந்து சற்று வேறுபடுகிறது. பிறகு இன்னும் நுண்ணிய சிராய்ப்புத் தூளுக்கு மாறுகிறீர்கள்; மீண்டும், மீண்டும், மீண்டும்.

விளைவு வியக்கவைக்கிறது: இரு மேற்பரப்புகளும் தாமாகவே கச்சிதமாகப் பொருந்தும் கோளங்களை நோக்கிக் குவிகின்றன; துல்லியம் சில பத்து நானோமீட்டர்கள். கையேடுகள் இந்தச் செய்முறையை விரிவாக விவரிக்கின்றன. SLAC தேசிய முடுக்கி ஆய்வகம் (SLAC National Accelerator Laboratory), Stanford பல்கலைக்கழகத்தின் துகள் வானியற்பியல் மற்றும் அண்டவியலுக்கான Kavli நிறுவனம் (Kavli Institute for Particle Astrophysics and Cosmology) ஆகியவற்றைச் சேர்ந்த Emmanuel Schaan-இன் கூற்றுப்படி, அவை தராதது இதுதான்: எந்தத் தொடக்க மேற்பரப்பும் இறுதியில் ஏன் கோள வடிவம் பெறுகிறது என்பதற்கு, அடிப்படைக் கோட்பாடுகளிலிருந்து (first principles) தொடங்கும் ஓர் இயற்பியல் விளக்கம்.

ஒரே ஒரு தேய்மான விதி

Schaan, தட்டுக் கண்ணாடியை (plate glass) மெருகேற்றுவதற்காக 1927-இல் வெளியிடப்பட்ட Preston விதியிலிருந்து (Preston’s law) தொடங்குகிறார்: ஒவ்வொரு புள்ளியிலும், பொருள் தேய்ந்து போகும் வீதம், அங்குள்ள அழுத்தத்துக்கும், மேற்பரப்புகள் ஒன்றையொன்று கடந்து வழுக்கிச் செல்லும் வேகத்துக்கும் விகிதசமமாக இருக்கிறது. ஓர் எளிய தொடுகை மாதிரியைச் சேர்த்தால் — ஒரு மேற்பரப்பு மற்றொன்றைப் பொறுத்து எவ்வளவு அதிகமாகத் துருத்திக்கொண்டிருக்கிறதோ, அவ்வளவு அதிகமாக அது அழுத்தப்படுகிறது — அனைத்தும் ஒரே சமன்பாட்டிலிருந்து பின்தொடர்கின்றன.

முதல் விளைவு சமச்சீரிலிருந்து மட்டுமே வருகிறது. இரண்டு மேற்பரப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்தவையாக இருந்து, அத்துடன் அசைவின் ஒவ்வோர் இயக்கத்துக்குப் பிறகும் மாறாமல் தோன்றினால் மட்டுமே, அந்த இணை மாறுவது நிற்கிறது. இரண்டு திசைகளில் வழுக்கும் அசைவுகள் தளங்களை மட்டுமே விட்டுவைக்கின்றன; இரண்டு வெவ்வேறு அச்சுகளைச் சுற்றித் திரும்பும் அசைவுகள் கோளங்களை மட்டுமே விட்டுவைக்கின்றன. கையால் தேய்க்கப்படும் ஆடி எல்லாத் திசைகளிலும் தள்ளப்பட்டுத் திருப்பப்படுவதால், தளங்களும் கோளங்களுமே சாத்தியமான ஒரே இறுதி நிலைகள். மேற்பரப்புகள் பொருந்தும் இடங்களில் அழுத்தம் பூஜ்ஜியமாகும் எந்த அழுத்த விதிக்கும் இது பொருந்தும்.

மூன்று கடிகாரங்கள்

ஒரு மேற்பரப்பு உண்மையில் அந்த இறுதி நிலைகளை அடைகிறதா என்பது, வெவ்வேறு குறைபாடுகள் எவ்வளவு வேகமாக மறைகின்றன என்பதைப் பொறுத்தது.

• அசைவின் வீச்சை விடச் சிறிய புடைப்புகள் சராசரியாக்கப்பட்டு மறைகின்றன. T_grind எனப்படும் ஒரு கால அளவில் அவை அடுக்குக்குறி முறையில் (exponentially) சுருங்குகின்றன — நடைமுறையில் பத்துக்கணக்கான நிமிடங்களிலிருந்து ஒரு மணி நேரம் வரை.
• இரண்டு வட்டுகளுக்கு இடையிலான பொருந்தாமை இரு மடங்கு வேகமாக மறைகிறது, ஏனெனில் இரு மேற்பரப்புகளும் ஒரே நேரத்தில் தேய்கின்றன.
• அசைவின் வீச்சை விடப் பெரிய விலகல்கள் வெறுமனே சுருங்குவதில்லை: அசைவு மூடும் பரப்பின் மீது சராசரி எடுப்பது, சமன்பாட்டை ஒரு விரவல் சமன்பாடாக (diffusion equation) மாற்றுகிறது — ஏதோ ஒன்று காலப்போக்கில் பரவித் தன்னைத்தானே சமன்செய்துகொள்வதை விவரிக்கும் வகைச் சமன்பாடு. பெரிய விலகல்கள் மெதுவாகப் பரவித் தட்டையாகின்றன. கடைசியாக மறைவது முழு ஆடியையும் தழுவுகிறது; கோளமாக ஆவதற்கான நேரத்தை அதுவே நிர்ணயிக்கிறது:

T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind

முழுப் பயணம் ஆடியின் விட்டத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்காக இருக்கும் பாரம்பரிய “இயல்பு” (normal) அசைவுக்கு, அது சுமார் T_grind-இன் 30 மடங்கு — சுமார் பத்து மணி நேரம்.

தளம் ஏன் தோற்கிறது

ஈர்ப்பு விசை இரண்டு வட்டுகளுக்கு இடையிலான சமச்சீரை உடைக்கிறது. மேல் வட்டு கீழ் வட்டுக்கு வெளியே நீண்டிருக்கும் ஒவ்வொரு முறையும், அழுத்தம் மறுபங்கீடு அடைகிறது: மேல் வட்டு அதன் மையத்தில் அதிகமாகத் தேய்க்கப்படுகிறது, கீழ் வட்டு அதன் விளிம்புகளில். மேலது குழிகிறது, கீழது புடைக்கிறது; எனவே தளங்கள் நிலையற்றவை. ஈர்ப்பு விசை அவற்றைச் சிதைப்பதை விட வேகமாகக் கோளங்கள் உருவாகும் வரை அவை நிலைக்கின்றன; போதுமான அளவு குறுகிய அசைவுகளுக்கு அப்படித்தான் நடக்கிறது: அப்போது இரு மேற்பரப்புகளும், வளைவு மெதுவாக அதிகரிக்கும், ஒன்றுக்கொன்று பொருந்தும் கோளங்களாகவே இருக்கின்றன. நீண்ட அசைவுகள் இந்த வரிசையைத் தலைகீழாக்குகின்றன; அதனால்தான் ஆடி செய்பவர்கள் மையத்தைக் குடைவதற்கு நீண்ட “நாண்” (chordal) அசைவுடன் தொடங்கி, பிறகு அதைக் கோளமாக்க இயல்பு அசைவுக்கு மாறுகின்றனர்.

ஓர் ஆடியின் பதிவேடு

இந்த அளவு வரிசைகள் (orders of magnitude), சுமார் 50 மணி நேரத்தில் கையால் தேய்க்கப்பட்ட, ஆசிரியரின் சொந்த 25 சென்டிமீட்டர் ஆடியின் பதிவேட்டுடன் ஒப்பிட்டுச் சரிபார்க்கப்படுகின்றன. இரண்டு கைகள் 1 முதல் 2 கிலோபாஸ்கல் அழுத்தத்துடன் அழுத்தி, வினாடிக்கு 0.1 முதல் 0.3 மீட்டர் வேகத்தில் வழுக்கும்போது, மிகக் கரடுமுரடான சிராய்ப்புத் தூள் நிமிடத்துக்குச் சில மைக்ரோமீட்டர்களை அகற்றுகிறது. மையத்தில் 3 மில்லிமீட்டர் குழியைக் குடைவதற்குச் சுமார் 10 மணி நேரம் ஆக வேண்டும்: பதிவேடு 11 h 50 என்கிறது. அதைக் கோளமாக்குவதற்குச் சுமார் 30 × T_grind, அதாவது மீண்டும் சுமார் 10 மணி நேரம் ஆக வேண்டும்: பதிவேடு 12 h 50 என்கிறது. நுண்ணிய சிராய்ப்புத் தூளின் ஒவ்வொரு கட்டமும் ஏன் ஏறக்குறைய ஒரே நேரம் — 2 மணி 15 நிமிடத்திலிருந்து 5 மணி 25 நிமிடம் வரை — நீடித்தது என்பதையும் மாதிரி விளக்குகிறது: நுண்ணிய தூள் பொருளை மெதுவாக அகற்றுகிறது; ஆனால் அது அகற்ற வேண்டிய சேத அடுக்கும் ஆழம் குறைந்தது; இரண்டு விளைவுகளும் ஒன்றையொன்று சமன்செய்கின்றன.

கூழாங்கற்களும் உப்புத்தாளும்

அதே சமன்பாடுகள் அன்றாட வாழ்வின் இரண்டு நிகழ்வுகளையும் உள்ளடக்குகின்றன. ஒரு கல் உருட்டியில் (rock tumbler), சுமார் 1 சென்டிமீட்டர் அகலமுள்ள கூழாங்கற்கள் சுமார் 1 மில்லிமீட்டர் நகர்வுகளில் தேய்கின்றன. சிறிய புடைப்புகள் சில வாரங்களுக்குள் மறைகின்றன, எனவே கற்கள் பளபளப்பாகின்றன; ஆனால் சுமார் 100 ஆகும் (R_rock/R_stroke)² என்ற காரணி, கோளங்களாக ஆவதற்கான நேரத்தை ஆண்டுகளுக்குத் தள்ளுகிறது. நீண்ட வழுக்குத் தொடுகைகள் கொண்ட சுழல் உருட்டிகள் (rotary tumblers), அதிர்வு உருட்டிகளை (vibratory tumblers) விட விளிம்புகளை அதிகமாக உருட்டுகின்றன. ஒரு சிறிய தட்டையான பொருளை உப்புத்தாளால் தேய்ப்பது மறு எல்லை: அசைவு பொருளை விட நீளமானது, உருக்குலைவு உடனடியானது, விளிம்புகள் எப்போதும் உருண்டையாகிவிடுகின்றன.

இந்த மாதிரி உராய்வையும், உண்மையான கைகளின் சீரற்ற அழுத்தத்தையும், இறுதி மெருகேற்றலுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் மென்மையான கீல் கருவியையும் (pitch tool) கணக்கில் கொள்ளவில்லை; அதன் சரிபார்ப்புகள் ஒரு பிரத்யேகப் பரிசோதனை அல்ல, அளவு வரிசைகள் மட்டுமே. American Journal of Physics இதழில் நிபந்தனையுடன் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டுள்ள இந்த ஆய்வுக்கட்டுரை, ஒரு வகுப்பறைப் பாடமாக முன்வைக்கப்படுகிறது: நிலையான, நிலையற்ற சமநிலைகள், அடுக்குக்குறித் தேய்வு (exponential decay), விரவல் — இவை அனைத்தும் இரண்டு கண்ணாடித் துண்டுகளை ஒன்றோடொன்று தேய்ப்பதிலிருந்து.