এলোমেলোভাবে দুটি কাচের চাকতি ঘষুন, পেয়ে যাবেন নিখুঁত গোলক

যে কেউ হাতে দুরবিনের আয়না বানাতে পারেন। একটি কাচের চাকতি, “টুল”, টেবিলে আটকে দিন, তার ওপর রাখুন দ্বিতীয়টি, অর্থাৎ ভবিষ্যতের আয়না, দুটির মাঝে দিন ঘষার দানা (abrasive grit), তারপর ওপরের চাকতিটিকে ছোট ছোট টানে সামনে-পেছনে ঠেলুন। ধীরে ধীরে টেবিলের চারপাশে হাঁটুন আর চলতে চলতে আয়নাটি ঘোরান, যাতে প্রতিটি দিক তার ভাগ পায়। প্রতিটি টান আগেরটির চেয়ে একটু আলাদা। তারপর আরও মিহি দানায় যান, আবার, আবার, আবার।

ফলাফল বিস্ময়কর: দুটি পৃষ্ঠ নিজে থেকেই এগিয়ে যায় পরস্পরের সঙ্গে নিখুঁতভাবে মিলে যাওয়া গোলকের দিকে, নির্ভুলতা কয়েক দশ ন্যানোমিটার। নির্দেশিকা-বইগুলো এই প্রণালী বিশদে বর্ণনা করে। কিন্তু এসএলএসি ন্যাশনাল অ্যাক্সিলারেটর ল্যাবরেটরি (SLAC National Accelerator Laboratory) এবং স্ট্যানফোর্ড ইউনিভার্সিটির কাভলি ইনস্টিটিউট ফর পার্টিকল অ্যাস্ট্রোফিজিক্স অ্যান্ড কসমোলজির (Kavli Institute for Particle Astrophysics and Cosmology) এমানুয়েল শানের (Emmanuel Schaan) মতে, সেগুলো যা দেয় না, তা হলো মৌলিক নীতি থেকে (from first principles) একটি ভৌত ব্যাখ্যা: যেকোনো প্রারম্ভিক পৃষ্ঠ কেন শেষে গোলাকার হয়ে যায়।

ক্ষয়ের একটিমাত্র সূত্র

শান শুরু করেছেন প্রেস্টনের সূত্র (Preston’s law) থেকে, যা 1927 সালে প্লেট কাচ পালিশের জন্য প্রকাশিত হয়েছিল: প্রতিটি বিন্দুতে উপাদান ক্ষয় হয় এমন হারে, যা স্থানীয় চাপ এবং পৃষ্ঠ দুটি পরস্পরের ওপর দিয়ে যে বেগে পিছলে যায় তার সমানুপাতিক। এর সঙ্গে যোগ করুন একটি সরল সংস্পর্শ-মডেল — একটি পৃষ্ঠ অন্যটির তুলনায় যত বেশি উঁচিয়ে থাকে, তাকে তত জোরে চাপা হয় — আর সবকিছু বেরিয়ে আসে একটিমাত্র সমীকরণ থেকে।

প্রথম পরিণতিটি আসে কেবল প্রতিসাম্য থেকেই। এক জোড়া পৃষ্ঠের বদল থামে কেবল তখনই, যখন দুটি হুবহু এক এবং টানের প্রতিটি নড়াচড়ার পরেও একই রকম দেখায়। যে টান দুই দিকে পিছলে যায়, তা টিকিয়ে রাখে কেবল সমতল; যে টান দুটি ভিন্ন অক্ষের চারপাশে ঘোরে, তা টিকিয়ে রাখে কেবল গোলক। যেহেতু হাতে ঘষা আয়নাকে সব দিকে ঠেলা ও ঘোরানো হয়, তাই সমতল আর গোলকই একমাত্র সম্ভাব্য শেষবিন্দু। এ কথা খাটে এমন যেকোনো চাপ-সূত্রের ক্ষেত্রে, যেখানে পৃষ্ঠ দুটি যেখানে মিলে যায় সেখানে চাপ শূন্য হয়ে যায়।

তিনটি ঘড়ি

কোনো পৃষ্ঠ সত্যিই সেই শেষবিন্দুতে পৌঁছায় কি না, তা নির্ভর করে বিভিন্ন ত্রুটি কত দ্রুত মিলিয়ে যায় তার ওপর।

টানের চেয়ে ছোট উঁচু অংশগুলো গড় হয়ে মুছে যায়। সেগুলো সূচকীয়ভাবে (exponentially) ছোট হয়ে আসে T_grind নামের একটি সময়-মাপে — বাস্তবে কয়েক দশ মিনিট থেকে এক ঘণ্টা।
দুটি চাকতির মধ্যকার অমিল মিলিয়ে যায় দ্বিগুণ দ্রুত, কারণ দুটি পৃষ্ঠই একসঙ্গে ক্ষয় হয়।
টানের চেয়ে বড় বিচ্যুতিগুলো কেবল ছোট হয়ে যায় না: টান যে এলাকা জুড়ে চলে, তার ওপর গড় নিলে সমীকরণটি পরিণত হয় একটি ব্যাপন সমীকরণে (diffusion equation) — যে ধরনের সমীকরণ বর্ণনা করে সময়ের সঙ্গে কোনো কিছুর ছড়িয়ে পড়া আর নিজেকে সমান করে নেওয়া। বড় বিচ্যুতিগুলো ধীরে ধীরে ছড়িয়ে পড়ে আর চ্যাপ্টা হয়ে যায়। সবশেষে যেটি যায়, সেটি পুরো আয়না জুড়ে বিস্তৃত, আর সেটিই ঠিক করে গোলক হয়ে উঠতে কত সময় লাগবে:

T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind

ধ্রুপদি “নরমাল” টানের (normal stroke) ক্ষেত্রে, যার পূর্ণ গতিপথ আয়নার ব্যাসের এক-তৃতীয়াংশ, এটি দাঁড়ায় প্রায় T_grind-এর 30 গুণ — প্রায় দশ ঘণ্টা।

সমতল কেন হেরে যায়

মাধ্যাকর্ষণ দুটি চাকতির মধ্যকার প্রতিসাম্য ভেঙে দেয়। ওপরের চাকতিটি যখনই নিচেরটির কিনারা ছাড়িয়ে ঝুলে থাকে, চাপের পুনর্বণ্টন ঘটে: ওপরের চাকতিটি বেশি জোরে ঘষা খায় তার কেন্দ্রে, নিচেরটি তার কিনারায়। ওপরেরটিতে খোঁদল তৈরি হয়, নিচেরটি ফুলে ওঠে, তাই সমতল অস্থিতিশীল। গোলক টিকে থাকে, যতক্ষণ সেগুলো মাধ্যাকর্ষণের বিকৃতির চেয়ে দ্রুত তৈরি হয়, আর যথেষ্ট ছোট টানের ক্ষেত্রে ঠিক তা-ই ঘটে: তখন দুটি পৃষ্ঠ পরস্পরের সঙ্গে মিলে যাওয়া গোলকই থেকে যায়, যাদের বক্রতা ধীরে ধীরে বাড়ে। লম্বা টান এই ক্রম উল্টে দেয়, আর ঠিক এই কারণেই আয়না-নির্মাতারা কেন্দ্রটি খুঁড়তে শুরু করেন একটি লম্বা “কর্ডাল” টান (chordal stroke) দিয়ে, তারপর সেটিকে গোলাকার করতে চলে যান নরমাল টানে।

একটি আয়নার লগবুক

মাত্রাক্রমের (orders of magnitude) হিসাবগুলো যাচাই করা হয়েছে লেখকের নিজের 25 সেন্টিমিটার আয়নার লগবুকের সঙ্গে মিলিয়ে, যা হাতে ঘষা হয়েছিল প্রায় 50 ঘণ্টায়। দুই হাত 1 থেকে 2 কিলোপাসকাল চাপে চেপে সেকেন্ডে 0.1 থেকে 0.3 মিটার বেগে পিছলে গেলে, সবচেয়ে মোটা দানা মিনিটে কয়েক মাইক্রোমিটার উপাদান সরায়। কেন্দ্রের 3 মিলিমিটার খোঁদল খুঁড়তে লাগার কথা প্রায় 10 ঘণ্টা: লগবুক বলছে 11 ঘণ্টা 50 মিনিট। সেটিকে গোলাকার করতে লাগার কথা প্রায় 30 × T_grind, আবারও প্রায় 10 ঘণ্টা: লগবুক বলছে 12 ঘণ্টা 50 মিনিট। মডেলটি এমনকি ব্যাখ্যা করে কেন মিহি দানার প্রতিটি পর্যায়ে মোটামুটি একই সময় লেগেছিল, 2 ঘণ্টা 15 মিনিট থেকে 5 ঘণ্টা 25 মিনিটের মধ্যে: মিহি দানা উপাদান সরায় আরও ধীরে, কিন্তু তাকে সরাতে হয় ক্ষতিগ্রস্ত স্তরের আরও অগভীর একটি পরত, আর দুটি প্রভাব পরস্পরকে কাটাকাটি করে দেয়।

নুড়ি আর শিরিষ কাগজ

একই সমীকরণ দৈনন্দিন দুটি ক্ষেত্রকেও ধরে। একটি রক টাম্বলারে (rock tumbler) প্রায় 1 সেন্টিমিটার চওড়া নুড়িগুলো প্রায় 1 মিলিমিটারের সরণে পরস্পরের ওপর ঘষা খায়। ছোট উঁচু অংশগুলো কয়েক সপ্তাহের মধ্যে মিলিয়ে যায়, তাই পাথরগুলো চকচকে হয়ে ওঠে; কিন্তু (R_rock/R_stroke)² গুণকটি, যা প্রায় 100, গোলক হয়ে ওঠার সময়কে ঠেলে নিয়ে যায় কয়েক বছরে। ঘূর্ণায়মান টাম্বলার, যাদের পিছলে যাওয়া সংস্পর্শ আরও লম্বা, কম্পনশীল টাম্বলারের চেয়ে কিনারা বেশি গোল করে। একটি ছোট চ্যাপ্টা বস্তুকে শিরিষ কাগজে ঘষা হলো উল্টো চরম: টান বস্তুটির চেয়ে লম্বা, বিকৃতি তাৎক্ষণিক, আর কিনারাগুলো সবসময় গোল হয়ে যায়।

মডেলটি বাদ রেখেছে ঘর্ষণ, আসল হাতের অসম চাপ আর চূড়ান্ত পালিশে ব্যবহৃত নরম পিচের টুল, আর এর যাচাইগুলো মাত্রাক্রমের, কোনো বিশেষভাবে নকশা করা পরীক্ষার নয়। আমেরিকান জার্নাল অব ফিজিক্সে (American Journal of Physics) শর্তসাপেক্ষে গৃহীত গবেষণাপত্রটি উপস্থাপিত হয়েছে শ্রেণিকক্ষের একটি দৃষ্টান্ত হিসেবে: স্থিতিশীল ও অস্থিতিশীল সাম্যাবস্থা, সূচকীয় হ্রাস আর ব্যাপন — সবই দুটি কাচের টুকরো পরস্পরের সঙ্গে ঘষে।