FROTTEZ DEUX DISQUES DE VERRE AU HASARD, OBTENEZ UNE SPHÈRE PARFAITE

Tout le monde peut fabriquer un miroir de télescope à la main. On fixe un disque de verre, l’« outil », sur une table, on pose dessus un second disque, le futur miroir, on met de l’abrasif entre les deux, et on pousse le disque du dessus par de courts allers-retours. On tourne lentement autour de la table en faisant pivoter le miroir, pour que chaque direction ait sa part. Aucun geste n’est tout à fait identique au précédent. Puis on passe à un grain plus fin, et encore, et encore.

Le résultat est stupéfiant : les deux surfaces convergent d’elles-mêmes vers deux sphères parfaitement assorties, exactes à quelques dizaines de nanomètres. Les manuels décrivent la recette en détail. Ce qu’ils ne donnent pas, selon Emmanuel Schaan, du SLAC National Accelerator Laboratory et de l’Institut Kavli d’astrophysique des particules et de cosmologie de l’université Stanford, c’est une explication physique, depuis les premiers principes, de la raison pour laquelle n’importe quelle surface de départ finit sphérique.

Une seule loi d’usure

Schaan part de la loi de Preston, publiée en 1927 pour le polissage du verre à vitre : en chaque point, la matière s’use à une vitesse proportionnelle à la pression locale et à la vitesse à laquelle les surfaces glissent l’une sur l’autre. Ajoutez un modèle de contact simple — plus une surface dépasse de l’autre, plus elle est pressée — et tout découle d’une seule équation.

La première conséquence vient de la symétrie seule. Un couple de surfaces cesse d’évoluer seulement si les deux sont identiques et restent les mêmes après chaque mouvement du geste. Des gestes qui glissent dans deux directions ne laissent que des plans ; des gestes qui tournent autour de deux axes différents ne laissent que des sphères. Comme un miroir meulé à la main est poussé et tourné dans toutes les directions, plans et sphères sont les seuls points d’arrivée possibles. Cela vaut pour toute loi de pression où la pression s’annule là où les surfaces coïncident.

Trois horloges

Qu’une surface atteigne vraiment ces points d’arrivée dépend de la vitesse à laquelle disparaissent les différents défauts.

• Les bosses plus petites que le geste sont effacées par la moyenne. Elles diminuent de façon exponentielle, sur un temps appelé T_grind — de quelques dizaines de minutes à une heure en pratique.
• L’écart entre les deux disques s’efface deux fois plus vite, car les deux surfaces s’usent en même temps.
• Les défauts plus grands que le geste ne font pas que diminuer : la moyenne sur la zone balayée par le geste transforme l’équation en équation de diffusion — celle qui décrit quelque chose qui s’étale et s’égalise avec le temps. Les grands défauts s’étalent et s’aplanissent lentement. Le dernier à partir couvre tout le miroir, et c’est lui qui fixe le temps pour devenir une sphère :

T_sphere = (32/π²) × (R_miroir / R_course)² × T_grind

Ici, R_miroir est le rayon du miroir et R_course la distance dont le miroir s’écarte du centre pendant un geste, soit la moitié de la course totale. Pour le coup « normal » classique, dont la course totale vaut un tiers du diamètre du miroir, R_course vaut un tiers de R_miroir, et cela fait environ 30 fois T_grind — une dizaine d’heures.

Pourquoi le plan perd

La gravité brise la symétrie entre les deux disques. Dès que le disque du dessus déborde de celui du dessous, la pression se redistribue : le disque du dessus est usé plus fort en son centre, celui du dessous sur ses bords. Le premier se creuse, le second se bombe : les plans sont instables. Les sphères survivent tant qu’elles se forment plus vite que la gravité ne les déforme, ce qui est le cas pour des courses assez courtes : les deux surfaces restent alors des sphères assorties dont la courbure augmente lentement. Les longues courses inversent l’ordre — c’est précisément pourquoi les fabricants de miroirs commencent par un long coup « en corde » pour creuser le centre, puis passent au coup normal pour le rendre sphérique.

Le carnet d’un miroir

Les ordres de grandeur sont confrontés au carnet d’un miroir de 25 centimètres meulé à la main par Schaan, en 50 heures environ. Avec deux mains qui appuient à 1 à 2 kilopascals et glissent à 0,1 à 0,3 mètre par seconde, le grain le plus gros enlève quelques micromètres par minute. Creuser le creux de 3 millimètres au centre devrait prendre une dizaine d’heures : le carnet indique 11 h 50. Le rendre sphérique devrait prendre environ 30 × T_grind, là encore une dizaine d’heures : le carnet indique 12 h 50. Le modèle explique même pourquoi chaque étape de grain fin a duré à peu près le même temps, entre 2 h 15 et 5 h 25 : un grain plus fin enlève la matière plus lentement, mais il a aussi une couche de dégâts moins profonde à retirer, et les deux effets se compensent.

Cailloux et papier de verre

Les mêmes équations couvrent deux cas de tous les jours. Dans un tonneau à polir, des cailloux d’environ 1 centimètre frottent sur des excursions d’environ 1 millimètre. Les petites bosses disparaissent en quelques semaines, et les pierres deviennent brillantes ; mais le facteur (R_caillou/R_course)², d’environ 100, repousse à des années le temps pour devenir sphérique. Les tonneaux rotatifs, aux glissements plus longs, arrondissent davantage les arêtes que les tonneaux vibrants. Poncer un petit objet plat est l’extrême opposé : la course est plus longue que l’objet, la déformation est immédiate, et les bords s’arrondissent toujours.

Le modèle laisse de côté le frottement, la pression inégale de vraies mains et l’outil en poix souple du polissage final, et ses vérifications sont des ordres de grandeur, pas une expérience dédiée. L’article, accepté sous conditions par l’American Journal of Physics, se veut un cas d’école : équilibres stables et instables, décroissance exponentielle et diffusion, le tout en frottant deux morceaux de verre.